Фотонный газ. Статистика Бозе-Эйнштейна. Распределение фотонов по энергиям

Статистика Бозе-Эйнштейна-см 19 билет

Фотонный газ. Так как фотоны – бозоны (спин фотона s = 1), они подчиняются статистике Бозе- Эйнштейна; функция распределения по фазовым ячейкам

Разберёмся, чему равен химический потенциал μ фотонного газа. Число частиц N ≠ const, так как фотоны непрерывно поглощаются и излучаются. Фотонный газ стремится к минимуму внутренней энергии U за счёт изменения N: ¶ U/¶ N = 0
Но по определению химического потенциала μ =(¶ U/¶ N)_V,S=const. Поэтому μ =0.
С учётом равенства нулю химического потенциала функция распределения запишется как

(здесь и далее в этом разделе мы опускаем индекс i).

По определению функции распределения f(ε)= dN_ε/dg,
где dN_ε – число фотонов с энергией от ε до ε + dε, dg – число ячеек, соответствующих этой энергии.
Число фазовых ячеек в фазовом объёме dΓ, в котором энергия частиц лежит ε до ε + dε, dg=2VdΓ_p /h³
так как h³/2 – объём фазовой ячейки. Поскольку энергия фотона не зависит от координаты,

dΓ=(òòòdxdydz)dp_xdp_ydp_z =VdΓ_p, где V – объём полости, в которой находится фотонный газ, dΓ_p – элемент объёма в подпространстве импульсов. Так как энергия фотона зависит только от модуля импульса, а не от его направления, выбираем dΓ_p в виде тонкого сферического слоя радиуса p и толщины dp: dΓ_р=4πp²dp.
Так как энергия фотона ε = cp (c – скорость света в вакууме; если излучение распространяется в среде, в всех формулах этого параграфа можно заменить c на v), p=ε/c; dp= dε/с ®dΓ_р=4πε²dε/с³; dg= 8πVε²dε/с³;

или (43.3),

Формула Планка. Законы излучения чёрного тела

Энергия фотонов с энергией ε до ε + dε в объёме V :dW= εdN_ε.
Так как ε = ħω, спектральная плотность энергии излучения : u_ω,T =dW/Vdω = ħωdN_ε /(Vdω).
Подставив сюда выражение (43.3), получим

Из соотношения r_ω,T= u_{ω, T}*v/4 следует, что-------------------------------------------------------®

Из r_λ,T= r_ω,Tdω/ dλ=(2πv/λ²) r_ω,Tследует

Итак, – формула Планка.

Законы излучения чёрного тела
1. Закон Кирхгофа
2. Закон Планка
3. Закон Стефана-Больцмана: интегральнаяизлучательная способность чёрного тела пропорциональна четвёртой степени термодинамической температуры: R_T=σT⁴ , где σ = 5,67*10^-8 Вт/К – постоянная Стефана-Больцмана.
4. Закон смещения Вина: длина волны, соответствующая максимуму спектральной излучательной способности чёрного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре: λ_mT=b где b = 2,90∙10^–3м∙К – постоянная Вина.

5. Формула Рэлея-Джинса

Из классических соображений можно получить формулу: r_ω,T= ω²kT/2πc²– формула Рэлея-Джинса.

Из этой формулы следует R_T= òr_ω,T dω®∞

– «ультрафиолетовая катастрофа». Получается, что энергия излучения тела бесконечно велика, что противоречит закону сохранения энергии. Ультрафиолетовая катастрофа была преодолена Планком, который при выводе формулы для спектральной излучательной способности воспользовался гипотезой о том, что энергия гармонического осциллятора может принимать только дискретный ряд значений: ħω, 2ħω, 3ħω и т. д., кратных кванту энергии.

Формула Рэлея-Джинса – частный случай формулы Планка при малых частотах излучения :

24)Оптическая пирометрия
Оптическая пирометрия – совокупность оптических методов измерения температур, основанных на законах теплового излучения. Приборы, которые при этом используются, называются пирометрами.
Пирометры:

1.радиационные регистрируют интегральное излучение нагретого тела
2.оптические регистрируют излучение нагретого тела на узком участке спектра

Поток излучения Φ – средняя мощность оптического излучения за время, много большее периода световой волны.
♦Энергетическая освещённость – поток излучения, приходящийся на единичный участок поверхности тела, на которое падает свет: E=dΦ/dS
♦Энергетическая сила света – поток излучения тела в определённом направлении, приходящийся на единичный телесный угол: I =dΦ/dΩ .
♦Энергетическая яркость – энергетическая сила света, испускаемого с единичного участка поверхности тела в направлении нормали: B=dI/dScosφ .Смысл обозначений dS, dΩ, φ показан на РИС.

♦Спектральная плотность энергетической яркости – энергетическая яркость в единичном диапазоне частот (длин волн):
b_ω=dB/dω; b_λ=dB/dλ.
♦Радиационная температура Tр – температура чёрного тела, при которой его энергетическая яркость равна энергетической яркости исследуемого тела:B⁰(T_p)=B .

♦Яркостная температура Tя – температура чёрного тела, при которой его спек- тральная плотность энергетическая яркость равна спектральной плотности энер- гетической яркости исследуемого тела для данной длины волны:
b⁰_λ(Tя)=b_λ.
♦Цветовая температура Tц – температура чёрного тела, при которой относи- тельные распределения спектральной плотности энергетической яркости иссле- дуемого тела и чёрного тела близки в видимой области спектра:
Обычно λ1 = 660 нм (красный) и λ2 = 470 нм (зелёно-голубой).
Цветовая температура серого тела совпадает с её истинной температурой и может быть найдена из закона смещения Вина.