Измерение коэффициента теплопроводности сыпучих тел.

Цель работы: измерить коэффициент теплопроводности кварцевого песка.

Оборудование и принадлежности:источник питания, вольтметр-амперметр, цилиндр с кварцевым песком, термопара.

Элементы теории.

Процесс переноса теплоты из области тела с более высокой температурой в области, где она ниже, называется теплопроводностью.

Плотность потока теплоты

(1)

где - количество теплоты, проходящее за время через площадку S ; единичный вектор, перпендикулярный к площадке и совпадающий с направлением распространения теплоты. Величина q показывает, какое количество теплоты переносится в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к направлению распространения теплоты.

Предположим, что в неограниченной среде перенос теплоты происходит в одном направлении, вдоль которого направим ось Х . Тогда вектор будет иметь только одну составляющую , зависящую от одной координаты х и времени t,

(2)

где единичный вектор оси Х.

Рис.1

Мысленно выделим в среде цилиндр длинной , площадью основания S , с образующей, параллельной оси Х, (рис.1). Количество теплоты, поступающее в выделенный объем через сечение с координатой за время , равно . Количество теплоты, ушедшее за это же время через сечение с координатой , равно . Через боковую поверхность выделенного объема поток теплоты отсутствует. Поэтому полное количество теплоты, поступившее за время dt в цилиндр

(3)

Теплота вызовет изменение температуры вещества в выделенном цилиндре. Оно определится по формуле

(4)

где с- удельная теплоёмкость вещества. Масса цилиндра , где - плотность вещества. Из (3) и (4) следует, что

(5)

(Температура Т так же, как и плотность потока теплоты, зависит не только от времени t, но и от координаты х).

Выражение (5) легко обобщить на случай, когда плотность потока теплоты имеет три компоненты:

(6)

Плотность потока теплоты в соответствии с основным законом теплопроводности (законом Фурье) прямо пропорциональна градиенту температуры:

(7)

где - теплопроводность вещества; единичные векторы декартовой системы координат. Теплопроводность в соответствии с (1) и (7) численно равна количеству теплоты, которое проходит через единичную площадку, перпендикулярную к направлению распространения теплоты, в единицу времени при единичном градиенте температуры. Из (6) и (7) следует уравнение теплопроводности

(8)

В общем случае теплопроводность зависит от температуры. Но если градиент температуры не очень большой, то величину можно приблизительно считать постоянной. Тогда из (8) получим

, (9)

где

(10)

- температуропроводность среды.

Это уравнение описывает скорость выравнивания пространственной неоднородности температуры в среде. Величина а играет роль коэффициента диффузии температуры.

Теория метода.

Рис.2. Схема установки для измерения теплопроводности сыпучих тел.

Пространство между двумя цилиндрами радиусами r₁ и r₂ заполнено кварцевым песком (рис.2а). Внутренний цилиндр r₁ нагревается электрическим нагревателем до температуры , потребляющем мощность Р. Внешний цилиндр охлаждается так, чтобы его температура Т₂ оставалась всё время постоянной.

Через некоторое время после включения нагревателя устанавливается стационарное состояние, при котором температура внутреннего цилиндра становится постоянной. Тем самым между внутренним и внешним цилиндрами устанавливается постоянная разность температур (рис.2б). Величина этой разности температур зависит от теплопроводности исследуемого вещества (в частности кварцевого песка).

Если высота цилиндра равна , то количество тепла, протекающее в одну секунду через любое цилиндрическое сечение

радиуса r, определяется уравнением:

(11)

где - градиент температуры вдоль радиуса цилиндра. Если высота цилиндра достаточна велика по сравнению с радиусом, то температуру вдоль оси цилиндра можно считать повсюду одинаковой.

В стационарном состоянии равно мощности нагревателя .

Следовательно,

(12)

откуда

или (13)

Интегрируя, получаем

(14)

где С- постоянная интегрирования, которую можно найти из условия, что температура при и при , то есть , ,

(15)

Таким образом, установившаяся температура нагреваемого цилиндра равна:

(16)

Измерив температуры и и зная геометрические размеры прибора и мощность нагревателя, можно вычислить коэффициент теплопроводности песка по формуле:

(17)

Таблица1. Коэффициент теплопроводности некоторых твердых материалов в интервале температур 0-18 ⁰С.

Задание:

1. Собрать установку как показано на рис.3.

2. Перед включением в сеть приборов проверить правильность соединения проводов.

3. Установить на источнике питания напряжение U=26V и силу тока I=0.75A.

4. Подождать пока установится температура Т₁ внутреннего цилиндра. Измерить с помощью второй термопары температуру Т₂ внешнего цилиндра. Для этого подключить к вольтметру термопару Т_2. Рассчитать коэффициент теплопроводности кварцевого песка по формуле (17).

Рис.3. Блок-схема установки.

5. Установить силу тока на источнике I=0,8A и I=1,1A. Измерить коэффициенты теплопроводности при других значениях температур Т₁ и Т_2.

6. Данные занести в таблицу

Таблица 2. Результаты измерений.

7. Сравнить полученные коэффициенты теплопроводности с табличными. Сделать необходимые выводы.

Контрольные вопросы:

1. Что называется плотностью потока теплоты?

2. Сформулировать основной закон теплопроводности.

3. Какой физический смыл теплопроводности и температуропроводности вещества?

Литература:

6. Физический практикум/ Под ред. Г.С. Кембровского/. – Мн.: изд.-во «Университетское», 1986-352с.

7. Трофимова Т.И. Курс физики. -М.: Высшая школа. 1997.

Лабораторная работа №8