Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний.

Мгновенное значение функции Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru можно получить как проекцию на горизонтальную ось отрезка длиной Um, вращающегося относительно начала прямоугольной системы координат с угловой частотой ω = 2p×f в положительном направлении (против часовой стрелки) (рис. 2.3).

Вращающийся отрезок будем называть вектором.

Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru

Рис. 2.3. Представление синусоиды вращающимся вектором

В момент t = 0 вектор образует с горизонтальной осью угол ψ и его проекция на горизонтальную ось равна Umcos ψ, т.е. мгновенному значению функции Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru при t = 0. За время t = t1 вектор повернется на угол ω t1 и окажется повернутым относительно горизонтальной оси на угол ω t1 +y, его проекция на ось будет равна Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru и т.д.

Таким образом, рассмотрение гармонических колебаний можно заменить рассмотрением вращающихся векторов. Для получения мгновенных значений условимся проектировать вектора на горизонтальную ось.

Если гармонические колебания имеют одну и ту же частоту, то соответствующие этим колебаниям векторы вращаются с одинаковой угловой частотой, и поэтому углы между ними сохраняются неизменными.

Зарисуем две гармонические функции

Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru , (2.9)

имеющие одинаковую угловую частоту ω и начальные фазы y1 и y2 (рис. 2.4).

Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru

Рис. 2.4. Векторы напряжений и соответствующие синусоиды

Кривая u1, смещенная влево относительно u2, возрастает от нуля до своего положительного максимума раньше, чем кривая u2. Поэтому говорят, что u1 опережает по фазе u2, или наоборот. Разность начальных фаз φ = y1 – (–y2) называется фазовым сдвигом или углом сдвига u1 относительно u2. Этот угол и образуют векторы, показанные на верхней части рис. 2.4.

При равенстве начальных фаз, т.е. при φ = 0, векторы направлены в одну и ту же сторону, т.е. совпадают по фазе (синфазны). При фазовом сдвиге 180° векторы направлены в диаметрально противоположные стороны (находятся в противофазе).

Диаграмма, изображающая совокупность векторов, построенных с соблюдением их взаимной ориентации по фазе, называется векторной диаграммой.

Векторное представление гармонических функций, частота которых одинакова, облегчает алгебраические операции с ними и дает возможность наглядно представить процессы, происходящие в цепи.

Например, операция сложения

Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru (2.10)

При использовании векторной диаграммы с целью установления фазовых сдвигов или амплитудных значений гармонических величин, имеющих одинаковую частоту, векторная диаграмма может считаться неподвижной. Это равносильно переходу во вращающуюся вместе с векторами систему координат.

Построение векторной диаграммы обычно не связано с определением мгновенных значений гармонических функций. В этом случае они строятся не для амплитуд, а для действующих значений. Кривые мгновенных значений называются временными диаграммами.

Колеблющееся тело может принимать участие в нескольких колебательных процессах, тогда следует найти результирующее колебание, другими словами, колебания необходимо сложить. В данном разделе будем складывать гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru

применяя метод вращающегося вектора амплитуды, построим графически векторные диаграммы этих колебаний (рис. 1). Tax как векторы A1 и A2 вращаются с одинаковой угловой скоростью ω0, то разность фаз (φ2 - φ1) между ними будет оставаться постоянной. Значит, уравнение результирующего колебания будет

Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru (1)

В формуле (1) амплитуда А и начальная фаза φ соответственно определяются выражениями

Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru (2)

Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru

Значит, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает при этом также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ2 - φ1) складываемых колебаний.

Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru

Рис.1

Исследуем выражение (2) в зависимости от разности фаз (φ2 - φ1):

1) φ2 - φ1 = ±2mπ (m = 0, 1, 2, ...), тогда A=A1+A2, т. е. амплитуда результирующего колебания А будет равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) φ2 - φ1 = ±(2m+1)π (m = 0, 1, 2, ...), тогда A=|A1–A2|, т. е. амплитуда результирующего колебания будет равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Амплитуда результирующего колебания максимальна и равна сумме амплитуд слагаемых колебаний: если разность фаз этих колебаний составляет четное число п; если же разность фаз составляет нечетное число п, то амплитуда результирующего колебания минимальна и равна разности амплитуд слагаемых колебаний.

Для практики представляет особый интерес случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. После сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, которые возникают при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω+Δω, причем Δω<<ω. Выберем начало отсчета так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе Δω/2<<ω, получим

Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru (3)

Результирующее колебание (3) можно считать как гармоническое с частотой ω , амплитуда Аσ которого изменяется по следующему периодическому закону:

Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru (4)

Частота изменения Аσ в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т. е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний:

Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru

Период биений

Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru

Вид зависимости (3) показан на рис. 2, где сплошные жирные линии представляют график результирующего колебания (3), а огибающие их линии - график медленно меняющейся согласно уравнению (4) амплитуды.

Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru

Рис.2

Нахождение частоты тона (звука определенной высоты) биений между эталонным и измеряемым колебаниями — наиболее часто используемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений применяется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.

При исследовании сложного колебательного процесса нужно знать, что любые сложные периодические колебания s=f(t) можно представить в виде суперпозиции (наложения) одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, которые кратны циклической частоте ω0 :

Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru
Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. - student2.ru (5)

Представление в виде (5) любой периодической функции связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье. Слагаемые ряда Фурье, которые определяют гармонические колебания с частотами ω0, 2ω0, 3ω0, ..., называются первой (или основной), второй, третьей и т. д. гармониками сложного периодического колебания.

Наши рекомендации