Напряженность как градиент потенциала. Эквипотенциальные поверхности

Найдем взаимосвязь между напряженно­стью электростатического поля, являю­щейся его силовой характеристикой, и по­тенциалом — энергетической характери­стикой поля.

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и x₂-x₁=dx, равна E_xdx. Та же работа равна j₁-j₂=-dj Прирав­няв оба выражения, можем записать

E_x=-дj/дx, (85.1)

где символ частной производной подчерки­вает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей у и z, можем найти вектор Е:

где i,j, k — единичные векторы коорди­натных осей х, у, z.

Из определения градиента (12.4) и (12.6) следует, что

т. е. напряженность Е поля равна гради­енту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор на­пряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения рас­пределения потенциала электростатиче­ского поля, как и в случае ноля тяготения, пользуются эквипотенциальны­ми поверхностями— поверхностями, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение.

Если поле создается точечным заря­дом, то его потенциал, согласно (84.5),

j=(1/4pe₀)Q/r. Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае — концентрические сферы. С дру­гой стороны, линии напряженности в слу­чае точечного заряда — радиальные пря­мые. Следовательно, линии напряженно­сти в случае точечного заряда перпенди­кулярны эквипотенциальным поверхно­стям.

Линии напряженности всегда нормаль­ны к эквипотенциальным поверхностям. Действительно, все точки эквипотенциаль­ной поверхности имеют одинаковый по­тенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна ну­лю, т. е. электростатические силы, дей­ствующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхно­стям. Следовательно, вектор Е всегда нор­мален к эквипотенциальным поверхно­стям, а поэтому линии вектора Е ортого­нальны этим поверхностям.

Эквипотенциальных поверхностей во­круг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциаль­ными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных повер­хностей наглядно характеризует напря­женность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, на­пряженность поля больше.

Итак, зная расположение линий на­пряженности электростатического поля, можно построить эквипотенциальные по­верхности и, наоборот, по известному рас­положению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля величину и направление напряжен­ности поля. На рис. 133 для примера по­казан вид линий напряженности (штрихо­вые линии) и эквипотенциальных повер­хностей (сплошные линии) полей положи­тельного точечного заряда (а) и за­ряженного металлического цилиндра, име­ющего на одном конце выступ, а на другом—впадину (б).