Механические и гармонические колебания. Смещение колеблющейся точки.

Смещение: x=Acos(ώt+φ); V=dx/dt= -Aωsin(ωt+φ)= -Aωcos(ωt+φ+π/2); a=dV/dt= -Aω²cos(ωt+φ). Ампли туды скорости и ускорения Aω и Aω². Фаза скоро сти отлична от фазы смещения на π/2. Фаза уско рения от фазы смещения- на π. В момент време ни, когда х=0 скорость приобретает наибольшее значение. Если х достигает максимально отрица тельного значения, то ускорение приобретает наиб ольшее положительное значение. Сила, действую щая на колеблющуюся точку, по второму закону Ньютона: F=ma; F= -mV²x; (x=Acos(ωt+φ)). Сила про порциональна смещению точки и направлена в противоположную сторону. Кинетическая энергия колеблющейся точки: T=mV²/2= (mA²ω²/2)sin²((ωt+φ) = mA²ω²/4)[1-cos2(ωt+φ)]. Потонцеальная энергия колеблющейся точки: П=òFdx= mω²x²/2= mω²A²cos² (ωt+φ)/2= mA²ω²/4[1+cos2(ωt+1)] E=T+П= mA²ω²/2

61.Гармонический колебания пружинного и математического маятника.

Пружинный маятник – груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий колебания под действием упругой силы F= -kx (k-жёсткость пружины). Уравнение движения матема тического маятника: F=ma; F=m(d²x/dt²); -kx=m(d²x/ dt²); d²x/dt²+(k/m)x=0; ω²=k/m; d²x/dt²+ω²x=0-динами ческое уравнение; ω²=Ök/m –циклическая частота. T=2πÖm/k. Эта формула справедлива только для упругих колебаний в пределах выполнения закона Гука (масса груза >> массы пружины).

62. Физический маятник, уравнение движения.

Физический маятник – твердое тело, совершающий под действием силы тяжести колебания вокруг не подвижной горизонтальной оси подвеса, не про ходящий через центр масс тела. Уравнение движ ения маятника. Если маятник отклонён на некото рый угол L, то на основании основного уравнения динамики вращательного движения M=Iβ²; M=-mglsinL; Iβ²+mglsinL=0; d²L/d²t+(mgl/I)sinL=0. При небольших отклонениях L от положения равновесия, положение физического маятника будет описы ваться уравнением: dL²/dt²+ω²L=0; ω²=mgl/I; T=2π/ω=2πÖI/mgl; I/ml=L; T=2πÖL/g; L=L_ocos(ωt+φ). Приведённая длинна физического маятника: C=I/ml- длинна математического мятника, который колеблется с физическим маятником синхронно. Точка О’, отстоящая от оси подвеса на расстоянии l- центр качения. Точка подвеса О и центр качания О’ обладают свойством взаимозаменяемости. О’О- всегда больше OС. L=I/ml=(I_c+ml²)/ml.

63. Сложение гармонических колебаний и одной частоты биения

x₁=cosA₁(ωt+φ₁); x₂=cosA₂(ωt+φ₂); x=cosA(ωt+φ); A²=A₁²+A₂²+2A₁A₂cos(φ₂-φ₁); tgφ=(A₁sinφ₁+ A₂sinφ₂)/ A₁cosφ₁+ A₂cosφ₂. Амплитуда зависит от разности фаз: если φ₁-φ₂=±2πm, m=1,2,3 то A=A₁+A₂; если φ₂-φ₁=(2m+1)π то A=A₁-A₂. Биение-результат сложения двух колебаний с близкими частотами. x₁=Acosωt; x₂=Acos(ω+πω)t; x=(2Acos(∆ω/2)t)cosωt.При ∆ω<<ω начальные фазы обоих колебаний равны 0, а результирующее колебание x=(2Acos(∆ω/2)t).

Биение.Это результат сложения двух колебаний с близкими частотами x1=Acos(wt) x2=Acos(w+w)t w <<w начальные фазы обеих колебаний = 0. Результирующие колебания = x=(2Acos(w /2)t)cos(wt) 2Acos(w /2)t – амплитуда биений.

Сложение двух колебаний X=Acoswt y=Bcos(wt+ ) --2. Уравнение траекторий результирующего колебания находится исключением t из уравнения 2 : x² /A² -2xy/AB+y² /B² =sin²  --ур элипса , оси этого эллипса ориентированы относительно осей x и y произвольно. Эллиптически поляризованные колебания – это колебания траектории которых имеют форму эллипса. Ориентация осейэллипса, его размеры, зависят от амплитуд, складываемых колебаний и разности фаз.Линейно поляризован ные колебания.При =Tm , где m=+-1,+-2 и т.д.последнее уравнение выражается в форме прямой y=+-(B/A)x. Если m=0,-+2,+-4, где + это чётное значение m, а – нечётные.

Циркулярно-поляризованные.Если  =(2m-1), m=0,-+2, и т.д., то А=B, т.е. эллипс ориентирован относительно координатных осей и вырождается в окружность.

64. Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний.

x=Acosωt y=βcos(ωt+φ) (2). Уравнение траектории результирующего колебания находится из уравнения (2). (3) x²/A²-2xy/AB+y²/B²=sin²φ – уравнение эллипса, оси которого, ориентирован ных относительно x и y произвольно. Эллиптически поляризованные колебания – колебания, траекто рия которых имеют форму эллипса. Ориентиро вание осей эллипса и его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз φ. Линейно поляризованные колебания. При φ=πm m=0;±1;±2 последнееуравнение (3) вырож дается в прямую y=±B/A*X, m=0;±1;±2 , где «+» соответствует 0 и чётным значениям m , а «-» - нечётным значениям m. Циркулярно- поляризован ные колебания. Если φ=(2m+1)π/2, m=0;±1;±2…, то A=B, т.е. эллипс будет ориентироваться относи тельно координатных осей и вырождаться в окруж ность.Фигуры Виссажу – замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновре менно 2 взаимно ^ колебания. Их форма зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз.

65. Затухающие колебания и их анализ.Колебания, амплитуда которых с течением времени уменьша ется(из-за диссипации энергии), наз. свободно затухающими колебаниями. Диссипация происхо дит за счёт термических потерь в электро-магнит ном контуре, за счёт работы против сил сопротив ления. Закон затухающих колебаний определён свойствами данной системы. Линейные системы – идеализированные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы в ходе процесса, не изменяются. Различные по своей природе линейные системы описываются одинаковыми уравнениями, что позволяет осуществлять единственный подход к изучению колебаний различной физической природы.

Фигуры Лиссаж.

Это замкнутые траектории прочерчиваемые точкой, совершающие одновременно 2 взаимно-перпендикулярных колебаний. Их формула зависит от соотношения А, Т и разности фаз.

Свободные затухающие колебания.Колебания амплитуда которых с течением времени умень шается из-за потерь энергии. Дистипация энергии происходит за счёт работы против внешних сил, тепловые потери. Закон затухающих колебаний определён свойствами данной системы. Линейные системы – идеомизированные системы, которых, параметры определены физическими свойствами системы и в ходе процесс не изменяются. Различ ные по своей природе линейные системы описы ваются одинаковыми уравнениями, что позволяет осуществить единый подход к изучению колебаний различной физической природы. Рассмотрим свободные затухающие колебания на примере затухающего маятника. Для пружинного маятника массой m совершающего колебания под действи ем упругой силы F=-kx F=ma F2=-rdx/dt – сила сопротивления, она пропорциональна скорости изменения смещения по времени md² x/dt² =-kx-rdx/dt d² x/dt² +(rdx/mdt )+kx/m=0 d² x/dt² +kx/2 m= d² x/dt² +w² x=0 d² x/dr+2dx/dt+w² x=0. Решение этого уравнения, есть x=A₀e^-t cos(wt+). Время релаксации.  – безразмерная величина,  – постоянное время незатухания по истечению которого А₀ уменьшится в е раз.

Декремент затухания: e^T=A(t₀)/A(t₀+T) =ln (A(t)/A(t+T))=T=T/=1/N . N– число полных колебаний по истечению которых А уменьшится в е раз. Добротность колебательной системы – это величина равная  = . Период затухающих колебаний зависит от величины затухания.

T=2p/(w²-b²)^1/2

Вынужденные механические колебания – это незатухающие колебания, возникающие под действием, периодически изменяющихся сил.

X=Acos(wt-j)

66. Затухающие колебания пружинного маятника, закон движения маятника, декремент, логарифмический декремент затухания.Для пружинного маятника массой m, совершаемого колебания под действием упругой силы F=-kx , можно записать второй закон Ньютона : F=ma, где F=-kx. На пружинном маятнике действует и др. сила: F_r=-r(dx/dt); md²x/dt²=-kx -r(dx/dt) , где r-коэффициент сопротивления , k-жесткость пружины.d²x/dt²+r/m*dx/dt+k/m=0- дифференци альное уравнение описывающее свободно затухающие колебания. Ök/m=ω; r/2m=β; d²/dt²+2β (dx/dt)+ω²x=0. Решение этого уравнения x=A_oe^-βtcos(ωt+φ). Время релаксации.τ=1/β- постоянная времени затухания- промежуток времени, по истеч ению которого, амплитуда колебания уменьшится в е раз. Декремент затухания- отношение амплитуд двух последовательных колебаний, отстоящих друг от друга на период A(t)/A(t+T)=e^βT. Логарифм декремента затухания. θ=lnA(t)/A(t+T)=βT= T/τ=1/N. Физический смысл логарифма декремента затуха ния- это величина, численно равная 1/n, где n- чис ло полных колебаний, по истечению которых, ам плитуда амплитуда уменьшится в е раз. Доброт ность колебательной системы- величина, численно равная Q=π/θ. Период затухания колебаний T=2π/ Öω²-β² зависит от коэффициента затухания. Чем больше коэффициент, тем больше колебания.