Механические гармонические колебания

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат xоколо положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты хот времени tзадается уравнением, аналогичным уравнению (140.1), где s = х:

(141.1)

Согласно выражениям (140.4) и (140.5), скорость v и ускорение а колеблющейся точки соответственно равны

(141.2)

Сила F = ma, действующая на колеблющуюся материальную точку массой т, с учетом (141.1) и (141.2) равна

Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия).

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна

(141.3) (141.4)

Потенциальная энергии материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна

(141.5) (141.6)

Сложив (141.3) и (141.5), получим формулу для полной энергии:

(141.7)

Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна. Из формул (141.4) и (141.6) следует, что Т и П изменяются с частотой 2w₀,т. е. с частотой, которая в два раза превышает частоту гармонического колебания. На рис. 200 представлены графики зависимости х, Т и П от времени. Так как ásin²añ = ácos² añ = 1/2, то из формул (141.3), (141.5) и (141.7) следует, что áТñ = áПñ = 1/2Е.

Рис. 200

Гармонический осциллятор.

Пружинный, физический и математический

Маятники

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (140.6):

(142.1)

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными; см. §146).

1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине в совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = - kx, где k— жесткость пружины. Уравнение движения маятника

тх̈ = - kx

или

Из выражений (142.1) и (140.1) следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х = A cos(w₀t + j) сциклической частотой

(142.2) (142.3)

Формула (142.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (см. (21.3)), т. с. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (141.5) и (142.2), равна

3. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 201).

Рис. 201

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (18.3) момент М возвращающей силы можно записать в виде

где J— момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О, l — расстояние между ней и центром масс маятника, F_t = - mgsina » mga — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления F_tи a всегда противоположны; sina » a соответствует малым колебаниям маятника, т.e. малым отклонениям маятника из положения равновесия). Уравнение (142.4) можно записать в виде

(142.5)

идентичное с (142.1), решение которого (140.1) известно:

(142.6)

Из выражения (142.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w₀(см. (142.5)) и периодом

(142.7)

где L = J/(ml)— приведенная длина физического маятника.

Точка О' на продолжении прямой ОС,отстоящая от точки Оподвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 201). Применяя теорему Штейнера (16.1), получим

т. е. ОО' всегда больше ОС.Точка подвеса Омаятника и центр качаний О'обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка Оподвеса станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника

(142.8)

где l — длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (142.7), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

(142.9)

Сравнивая формулы (142.7) и (142.9), видим, что если приведенная длина Lфизического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.