Потенциальная энергия тела и системы тел

Поле как форма материи, осуществляющее силовое взаимодействие между телами. Силовые поля в механике. Потенциальные силы. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом потенциальном поле. Нормировка потенциальной энергии. Понятие о силе как градиенте потенциальной энергии. Потенциальная энергия в полях физических сил: однородное поле, центральное поле, гравитационное поле, электростатическое поле, поле сил упругости. Непотенциальность сил трения.

Полем сил называют область пространства, в каждой точке которого на помещенную туда частицу действует сила, закономерно меняющаяся от точки к точке. Примером может служить поле силы тяжести Земли или поле сил сопротивления в потоке жидкости (газа). Если сила в каждой точке силового поля не зависит от времени, то такое поле называют стационарным. Ясно, что силовое поле, стационарное в одной системе отсчета, в другой системе может оказаться и нестационарным. В стационарном силовом поле сила зависит только от положения частицы.

Работа, которую совершают силы поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2, зависит, вообще говоря, от пути. Однако среди стационарных силовых полей имеются такие, в которых эта работа не зависит от пути между точками 1 и 2. Этот класс полей, обладая рядом важнейших свойств, занимает особое место в физике. Рассмотрим свойства таких полей.

Введем определение: стационарное силовое поле, в котором работа силы поля на пути между двумя любыми точками не зависит от формы пути, а зависит только от положения этих точек, называется потенциальным, а сами силы - консервативными.

Если это условие не выполняется, то силовое поле не является потенциальным, а силы поля называют неконсервативными. К числу таких сил принадлежит, например, сила трения, так как работа этой силы зависит в общем случае от пути.

Покажем, что в потенциальном поле работа сил поля на любом замкнутом пути равна нулю.Действительно, любой замкнутый путь (рис. 6.1) можно разбить произвольно на две части: 1а2 и 2b1. Так как поле

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru
Рис. 6.1. Работа в потенциальном поле сил

потенциально, то, по условию потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru С другой стороны, очевидно, что потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru Поэтому

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru

что и требовалось доказать.

Наоборот, если работа сил поля на любом замкнутом пути равна нулю, то и работа этих сил на пути между произвольными точками 1 и 2 от формы пути не зависит, т. е. поле потенциально. Для доказательства выберем два произвольных пути: 1а2 и 1b2 (рис. 6.1). Составим из них замкнутый путь 1a2b1. Работа на этом замкнутом пути по условию равна нулю, т. е. потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru Отсюда потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru Но потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru , поэтому потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru

Таким образом, равенство нулю работы сил поля на любом замкнутом пути есть необходимое и достаточное условие независимости работы от формы пути, и может считаться отличительным признаком любого потенциального поля сил.

Рассмотрим важный случай поля центральных сил. Всякое силовое поле вызывается действием определенных тел. Сила, действующая на частицу А в таком поле, обусловлена взаимодействием этой частицы с данными телами. Если силы, зависят только от расстояния между взаимодействующими частицами и направлены по прямой, соединяющей эти частицы, отих называют центральными. Такими примерами служат силы гравитационные, кулоновские и упругие.

Центральную силу, действующую на частицуА со стороны частицы В, можно представить в общем виде:

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru , (6.1)

где потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru -функция, зависящая при данном характере взаимодействия только от r - расстояния между частицами; потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru единичный вектор, задающий направление радиус-вектора частицы А относительно частицы В (рис.6).

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru
Рис. 6.2 Работа в поле центральных сил

Докажем, что всякое стационарное поле центральных сил потенциально. Для этого найдем работу центральных сил в случае, когда силовое поле вызвано наличием одной неподвижной частицы B, а затем обобщим результат на произвольный случай. Элементарная работа силы

на перемещении потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru есть потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru Так как потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru проекция вектора потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru на вектор потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru , или на соответствующий радиус-вектор потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru (рис. 6.2), то потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru Работа же этой силы на произвольном пути от точки 1 до точки 2

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru

Полученное выражение зависит, очевидно, только от вида функции потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru , т. е. от характера взаимодействия и от значений и потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru - начального и конечного расстояний между частицами A и B. От формы пути оно никак не зависит. Это и означает, что данное силовое поле потенциально.

Обобщим полученный результат на стационарное силовое поле, вызванное наличием совокупности неподвижных частиц, действующих на частицу A с силами потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru .., каждая из которых является центральной. В этом случае работа результирующей силы при перемещении частицы A из одной точки в другую равна алгебраической сумме работ отдельных сил. А так как работа каждой из этих сил не зависит от формы пути, то и работа результирующей силы от нее также не зависит. Таким образом, действительно, любое стационарное поле центральных сил потенциально.

Введем понятие потенциальной энергии частицы в поле. То, что работа сил потенциального поля зависит только от начального и конечного положений частицы, дает возможность ввести чрезвычайно важное понятие потенциальной энергии.

Представим себе, что мы перемещаем частицу в потенциальном поле сил из разных точек P в фиксированную точку O. Так как работа сил поля не зависит от формы пути, то остается зависимость ее только от положения точки P (при фиксированной точке O ). А это значит, что данная работа будет некоторой функцией радиус-вектора r точки P.

Обозначив эту функцию потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru , запишем

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru (6.2)

Функцию потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru называют потенциальной энергией частицы в данном поле.

Потенциальная энергия (U)— механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Потенциальная энергия системы является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Теперь найдем работу сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 (рис.6.3). Так как работа не зависит от пути, выберем путь,

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru
Рис. 6.3. Введение понятия потенциальной энергии

проходящий через точку O. Тогда работа на пути 1O2 может быть представлена в виде

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru

или с учетом (6.2)

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru (6.3)

Выражение, стоящее справа, есть убыль потенциальной энергии, т. е. разность значений потенциальной энергии частицы в начальной и конечной точках пути. Таким образом, работа сил поля на пути 1-2 равна убыли потенциальной энергии частицы в данном поле.

Изменение какой-либо произвольной физической величины X можно характеризовать либо ее приращением, либо убылью. Приращением величины X называют разность конечного потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru и начального потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru значений этой величины:

Приращение потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru .

Убылью величины X называют разность ее начального потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru и конечного потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru значений:

Убыль потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru ,

т. е. убыль величины X равна ее приращению, взятому с обратным знаком. Приращение и убыль - величины алгебраические: если потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru , то приращение положительно, а убыль отрицательна, и наоборот.

Очевидно, частице, находящейся в точке O поля, всегда можно приписать любое заранее выбранное значение потенциальной энергии. Это соответствует тому обстоятельству, что путем измерения работы может быть определена лишь разность потенциальных энергий в двух точках поля, но не ее абсолютное значение. Однако как только фиксирована потенциальная энергия в какой-либо точке, значения ее во всех остальных точках поля однозначно определяются формулой (6.3).

Формула (6.3) дает возможность найти выражение потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru для любого потенциального ноля сил. Для этого достаточно вычислить работу, совершаемую силами поля на любом пути между двумя точками, и представить ее в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциальная энергия потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru .

Именно так и было сделано при вычислении работы в полях упругой и гравитационной (кулоновской) сил, а также в однородном поле тяжести. Потенциальная энергия частицы в данных силовых нолях имеет следующий вид:

1) в поле упругой силы

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru (6.4)

2) в поле точечной массы (заряда)

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru (6.5)

где потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru для гравитационного взаимодействия и потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru для кулоновского взаимодействия;

3) в однородном поле сил тяжести

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru (6.6)

Еще раз подчеркнем, что потенциальная энергия потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru - это функция, которая определяется с точностью до прибавления некоторой произвольной постоянной. Это обстоятельство, однако, совершенно несущественно, ибо во все формулы входит только разность значений потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru в двух положениях частицы. Поэтому произвольная постоянная, одинаковая для всех точек поля, выпадает. В связи с этим ее обычно опускают, что и сделано в трех предыдущих выражениях.

Отметим еще одно важное обстоятельство. Потенциальную энергию следует относить не к частице, а к системе взаимодействующих между собой частицы и тел, вызывающих силовое поле. При данном характере взаимодействия потенциальная энергия взаимодействия частицы с данными телами зависит только от положения частицы относительно этих тел.

Определим связь потенциальной энергии и силы поля. Взаимодействие частицы с окружающими телами можно описывать двумя способами: с помощью сил или с помощью потенциальной энергии. В классической механике оба способа используют одинаково широко. Однако первый способ обладает несколько большей общностью, ибо он применим и к таким силам, для которых нельзя ввести потенциальную энергию (например, к силам трения). Второй же способ применим только в случае консервативных сил.

Наша задача - установить связь между потенциальной энергией и силой поля, точнее, определить поле сил потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru по заданной потенциальной энергии потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru как функции положения частицы в поле.

Ранее было показано, что при перемещении частицы из одной точки потенциального поля в другую работа, которую производят силы поля, может быть представлена как убыль потенциальной энергии частицы, т. е. потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru Это относится и к элементарному перемещению потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru или

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru (6.7)

Учитывая, что потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru , где потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru - элементарный путь, перепишем уравнение (6.7) в форме

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru

где потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru - это убыль потенциальной энергии в направлении перемещения потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru . Отсюда

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru (6.8)

т. е. проекция силы поля - вектора потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru - в данной точке на направление перемещения потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru равна с обратным знаком производной потенциальной энергии потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru по данному направлению. Символ потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru - частнойпроизводной - подчеркивает, что производная берется по определенномунаправлению.

Перемещение потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru мы можем взять в любом направлении, в частности вдоль координатных осей х, у, z. Если перемещение потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru , например, параллельно оси х, то его можно представить так: потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru где потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru орт оси потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru приращение координаты. x. Тогда paбота силы потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru на перемещении потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru , параллельном оси x,

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru

где потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru проекция вектора потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru на орт потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru а не на перемещение потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru , как в случае потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru

Подставив последнее выражение в уравнение (6.8), получим

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru

где символ частной производной означает, что потенциальная энергия потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru при дифференцировании должна рассматриваться как функция одного аргумента х, остальные же аргументы должны оставаться при этом постоянными. Ясно, что для проекций потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru и потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru уравнения будут аналогичны уравнению для потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru .

Итак, взяв с обратными знаками частные производные функции U по х, у и z, мы найдем проекции потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru и потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru вектора потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru на орты потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru . Отсюда легко найти и сам вектор: потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru или

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru

Величину, стоящую в скобках, называют градиентом скалярной функцииU и обозначают потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru или потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru Мы будем пользоваться вторым, более удобным, обозначением, где значок потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru "набла" означает символический векторный оператор

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru .

Поэтому потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru формально можно рассматривать как произведение символического вектора потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru на скаляр потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru .

Таким образом, связь между силой поля и потенциальной энергией как функцией координат можно представить в следующем компактном виде:

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru (6.9)

т. е. сила поля потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru равна со знаком минус градиенту потенциальной энергиичастицы в данной точке поля. Последняя формула дает возможность, зная функцию потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru , восстановить поле сил потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru .

Пример. Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид:

а) потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru где потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru постоянная;

б) потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru где потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru постоянный вектор, потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru радиус-вектор точки поля потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru

Найдем соответствующее каждому случаю поле сил:

а) потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru

б) представим сначала функцию U в виде потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru ; тогда

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru

Смысл градиента станет нагляднее и яснее, если ввести понятие эквипотенциальной поверхности- поверхности, во всех точках которой потенциальная энергия U имеет одно и то же значение. Ясно, что каждому значению U соответствует своя эквипотенциальная поверхность.

Из формулы (6.9) следует, что проекция вектора потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. Это значит, что вектор потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru нормален эквипотенциальной поверхности в данной точке. Далее, возьмем перемещение потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru в сторону уменьшения U, тогда U меньше 0, и, согласно (6.8), потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru т.е. вектор потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru направлен в сторону уменьшения U. А так как потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru противоположен по направлению вектору потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru , то мы приходим к выводу, что градиент U - это вектор, направленный по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания потенциальной энергии U.

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru
Рис. 6.4. Эквипотенциальные поверхности и направление силы

Сказанное поясняет рис. 6.4, относящийся к двумерному случаю. На нем изображена система эквипотенциалей потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru , a также градиент потенциальной энергии U и соответствующий вектор силы потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru в точке А поля. Полезно подумать, какими будут векторы этих двух величин, например, в точке В данного поля.

В заключение заметим, что можно говорить о градиенте не только функции U, но и любой другой скалярной функции координат. Понятие градиента широко используется в самых различных разделах физики, особенно в теории электромагнетизма.

Рассмотрим понятие поля сил. Опыт показывает, что в случае гравитационных и электростатических взаимодействий сила потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru , действующая на частицу А со стороны окружающих тел (системы В), пропорциональна массе (или заряду) частицы А Другими словами, сила потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru может быть представлена в виде произведения двух величии:

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru , (6.10)

где m-масса (или заряд) частицы A, потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru - некоторый вектор (для гравитационных сил вблизи поверхности Земли он совпадает с вектором ускорения свободного падения), зависящий как от положения частицы А, так и от свойств окружающих тел - системы В.

Такое представление силы открывает возможность иной физической интерпретации взаимодействия, связанной с понятием поля. А именно: в этом случае говорят, что система В создает в окружающем пространстве поле, характеризуемое вектором потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru . По-другому можно сказать, .что в каждой точке пространства система В - источник поля - создает такие условия (вектор потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru ), при которых частица, помещенная в эти точки, испытывает действие силы (6.10). Причем считают, что поле (вектор потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru ) существует безотносительно к тому, есть ли в нем частица А или нет. При рассмотрении стационарных случаев, понятие поля может рассматриваться как чисто условное (формальное), введенное лишь для удобства описания явлений. Однако при переходе к переменным полям выясняется, что понятие поля имеет глубокий физический смысл: поле есть физическая реальность.

Вектор потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru называют напряженностью поля. Одно из важнейших свойств полей заключается в том, что поле, образованное несколькими источниками, равно сумме полей, созданных каждым из них. Точнее, напряженность G результирующего поля в произвольной точке

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru (6.11)

где потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru - напряженность поля соответствующего источника в этой же точке. Эта формула выражает так называемый принцип суперпозиции(или наложения) полей, который является отражением опытных фактов и дополняет законы механики.

Обратимся теперь к потенциальной энергии частицы. Согласно (6.10), формулу (6.7) можно записать так: потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru Поделив обе части на т и обозначив потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru получим

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru (6.12)

или

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru (6.13)

Функцию потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru называют потенциалом поля в точке с радиус-вектором потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru .

Формула (6.13) дает возможность, в частности, найти потенциал любого гравитационного и электростатического полей. Для этого достаточно вычислить интеграл потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru по произвольному пути между точками 1 и 2 и представить затем полученное выражение в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциал потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru . Так, потенциалы гравитационного ноля точечной массы т и кулоновского поля точечного заряда q определяются, согласно (6.5), формулами

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru (6.14)

Заметим, что потенциал потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru , как и потенциальная энергия, может быть определен только с точностью до прибавления некоторой произвольной постоянной, также совершенно несущественной. Поэтому ее обычно опускают, полагая равной нулю.

Итак, поле можно описывать или в векторном виде потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru , или в скалярном потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru . Оба способа эквиваленты. Практически же оказывается, что второй способ описания поля с помощью потенциала потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru в большинстве случаев значительно удобнее. Этому есть несколько причин.

1. Зная потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru , можно немедленно вычислить потенциальную энергию U и работу сил поля A:

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru (6.15)

2. Вместо трех компонент векторной функции потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru проще задавать скалярную функцию потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru .

3. Когда поле создается многими источниками, потенциал потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru рассчитывать легче, чем вектор потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru : потенциалы - скалярные величины, их можно просто складывать, не заботясь о напрвлении сил. Действительно, согласно (6.11) и (6.12), потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru то есть

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru (6.16)

где потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru потенциал, создаваемый потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru частицей в данной точке поля.

4. И наконец, зная функцию потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru , можно легко восстановить поле потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru - как антиградиент потенциала потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru :

потенциальная энергия тела и системы тел - student2.ru (6.17)

Эта формула непосредственно следует из (6.9).

Наши рекомендации