Решение уравнения методом факторизации
1. Уравнение обобщенного гипергеометрического типа
, (5.5)
2. ,
,
,
,
![]() ![]() |
,
,
,
,
:
;
:
;
;
,
,
3. С учетом и
получаем
,
,
:
,
,
,
,
.
4. Из (5.8)
![]() |
.
5. Если – целое не отрицательное число, то применима формула Родрига (5.7)
![]() |
,
,
,
.
дает
,
где
– обобщенный полином Лагерра.
В результате
, (6.85а)
,
.
Если – не целое, то нормировка
не существует и физическое состояние отсутствует.
6. Условие ортонормированности (5.11)
![]() ![]() |
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Выбираем из условия ортонормированности в виде
. (6.86)
тогда
.
Из
(6.85а)
получаем
, (6.87)
где
,
,
.
Физический смысл параметров
– радиальное квантовое число, равное числу нулей радиальной части волновой функции;
– главное квантовое число определяет энергию электрона
;
– орбитальное квантовое число определяет модуль момента импульса электрона
;
– число проекций на ось z орбитального момента с числом l.
Решения низших порядков:
;
,
.
Нормировка плотности вероятности
В сферических координатах требуем
,
,
.
Для переменной r
,
для переменной x
,
. (6.88)
Нормировка определяет выбор постоянной .
Доказательство (6.88):
Используем
(6.76)
при
,
находим
.
Подстановка
(6.87)
дает
,
и получаем (6.88).
Рекуррентные соотношения
1. Равенство для полиномов Лагерра с одинаковыми порядками α
(6.58)
умножаем на и с учетом
,
,
(6.87)
получаем соотношение между функциями с одинаковыми l
– . (6.89)
Дважды используем
, (6.59)
Находим
,
.
В результате
.
Заменяем
,
,
Получаем
.
Умножаем равенство на
,
И сравниваем с
, (6.87)
приходим к соотношению, где индекс l у функции, стоящей слева, на единицу меньше, чем у функций, стоящих справа:
– . (6.90)
Используя (6.57) и (6.61), находим
.
Выражая с помощью (6.58) и заменяя
, получаем
.
Полагая ,
и умножая на
, находим соотношение, где индекс l у функции, стоящей слева, на единицу больше, чем у функций, стоящих справа:
. (6.91)
4. Дифференцируем
, (6.87)
используем
, (6.54)
получаем
.
Используем рекуррентные соотношения (6.58) и (6.61), которые выравнивают верхний индекс и убирают множитель x из круглой скобки:
.
В результате
– . (6.92)
Вычисление матричных элементов
, (1)
.
1. Среднее расстояние до ядра электрона в состоянии
в атоме водорода.
С учетом оператора радиуса и радиального объема
, находим
,
где сделана замена . Вычисляем интеграл с помощью условия ортонормированности и рекуррентного соотношения, устраняющего x под интегралом:
(6.86)
– . (6.89)
При возведении в квадрат рекуррентного соотношения условие ортогональности зануляет перекрестные произведения, остается сумма квадратов слагаемых
.
С учетом нормировок
,
,
,
находим
.
В результате
. (П.5.8)
2. Рекуррентное соотношение Крамерса
, (П.5.10)
где
;
.
Доказательство:
· Интегрируем
по частям, где
,
.
Свободное слагаемое обращается в нуль, получаем
.
В результате
.
· Аналогично находим
,
,
где
.
· Используем уравнение Шредингера для радиальной функции
. (П.5.11)
Умножая уравнение на , интегрируем и получаем
.
Умножаем (П.5.11) на , интегрируем и находим
.
· Исключая S из уравнений, получаем (П.5.10).
Частные случаи
1. При из
, (П.5.10)
находим
,
,
– теорема вириала связывает полную энергию со средним значением потенциальной энергии .
2. При получаем
. (П.5.8)
3. При находим
.
Соотношение (П.5.10) не позволяет найти .
Полиномы Лежандра
,
;
;
;
– описывают угловую зависимость в полярных и сферических координатах;
– входят в собственные функции оператора момента импульса и оператора Лапласа;
– множество образует ортонормированный базис на интервале
.
Полиномы исследовал Андре Мари Лежандр в 1785 г.
Уравнение Лежандра
, (6.93)
Учитываем
,
тогда
. (6.93а)
Для угловой переменной
,
,
,
из (6.93а) для получаем
. (6.94)
Метод факторизации
1. Уравнение
(6.93)
гипергеометрического типа
![]() |
2. Сравнение дает
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
3. Граничные условия
![]() |
в виде
дают
,
.
4. Весовая функция
![]() |
.
5. Решение Родрига
![]() |
дает
.
Полагаем
,
получаем формулу Родрига дляполинома Лежандра
. (6.96)
Свойство четности
, (6.97)
тогда
, n – нечетное.
6. Ортонормированность
![]() ![]() |
Учитываем
,
,
,
,
,
,
тогда условие ортонормированности
. (6.112)
7. Производящая функция
![]() |
,
.
Из уравнения для ξ
![]() ![]() |
в виде
находим решение
,
которое при
.
Использовано
,
.
Из
![]() |
с учетом
,
получаем
.
Заменяем , тогда
, (6.101)
. (6.102)