Вычисление физических и механических величин

Предположим, что плоская пластина Вычисление физических и механических величин - student2.ru имеет поверхностную плотность распределения масс Вычисление физических и механических величин - student2.ru непрерывную в Вычисление физических и механических величин - student2.ru . Тогда масса Вычисление физических и механических величин - student2.ru этой пластины вычисляется по формуле

Вычисление физических и механических величин - student2.ru .

Моменты инерции Вычисление физических и механических величин - student2.ru Вычисление физических и механических величин - student2.ru и Вычисление физических и механических величин - student2.ru плоской материальной пластины Вычисление физических и механических величин - student2.ru с поверхностной плотностью Вычисление физических и механических величин - student2.ru относительно координатных осей Вычисление физических и механических величин - student2.ru , Вычисление физических и механических величин - student2.ru и начала координат Вычисление физических и механических величин - student2.ru соответственно вычисляются по формулам:

Вычисление физических и механических величин - student2.ru Вычисление физических и механических величин - student2.ru ;

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

В случае однородной пластины (ρ=1) эти формулы принимают более простой вид:

Вычисление физических и механических величин - student2.ru , Вычисление физических и механических величин - student2.ru , Вычисление физических и механических величин - student2.ru .

Координаты центра тяжести материальной пластины Вычисление физических и механических величин - student2.ru с плотностью Вычисление физических и механических величин - student2.ru вычисляется по формулам

Вычисление физических и механических величин - student2.ru Вычисление физических и механических величин - student2.ru ,

где

Вычисление физических и механических величин - student2.ru Вычисление физических и механических величин - student2.ru -

статические моменты пластины Вычисление физических и механических величин - student2.ru относительно осей Вычисление физических и механических величин - student2.ru и Вычисление физических и механических величин - student2.ru соответственно, а Вычисление физических и механических величин - student2.ru - ее масса.

В случае однородной пластины соответственно имеем:

Вычисление физических и механических величин - student2.ru , Вычисление физических и механических величин - student2.ru .

Пример 1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми Вычисление физических и механических величин - student2.ru и Вычисление физических и механических величин - student2.ru .

Имеем Вычисление физических и механических величин - student2.ru . Порядок интегрирования выберем так, как указано на чертеже (рис. 13)

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Рис. 13.

Сначала определим координаты точки А:

Вычисление физических и механических величин - student2.ru Вычисление физических и механических величин - student2.ru Вычисление физических и механических величин - student2.ru и Вычисление физических и механических величин - student2.ru Вычисление физических и механических величин - student2.ru .

Проекция области Вычисление физических и механических величин - student2.ru на ось Вычисление физических и механических величин - student2.ru есть отрезок [0,2]. Таким образом,

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Пример 2. Вычислить площадь параболического сегмента АОВ, ограниченного дугой ВОА параболы Вычисление физических и механических величин - student2.ru и отрезком ВА, соединяющим точки Вычисление физических и механических величин - student2.ru и Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Ясно, что уравнение параболы имеет вид Вычисление физических и механических величин - student2.ru ( Вычисление физических и механических величин - student2.ru ). Фигура Вычисление физических и механических величин - student2.ru , площадь которой надо вычислить, ограничена снизу параболой Вычисление физических и механических величин - student2.ru , а сверху - прямой Вычисление физических и механических величин - student2.ru . Следовательно,

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Вычисления по формуле

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

не применимы ввиду сложности пределов интегрирования. Произведем замену переменных по формулам

Вычисление физических и механических величин - student2.ru откуда Вычисление физических и механических величин - student2.ru

При этом Вычисление физических и механических величин - student2.ru Вычисление физических и механических величин - student2.ru Вычисление физических и механических величин - student2.ru Вычисление физических и механических величин - student2.ru т. е.

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

В плоскости координат Вычисление физических и механических величин - student2.ru соответствующая линия имеет вид Вычисление физических и механических величин - student2.ru т.е. представляет собой окружность, а область Вычисление физических и механических величин - student2.ru - круг Вычисление физических и механических величин - student2.ru с площадью Вычисление физических и механических величин - student2.ru Используя соответствующие формулы, получаем

Вычисление физических и механических величин - student2.ru .

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

Вычисление физических и механических величин - student2.ru Вычисление физических и механических величин - student2.ru (а>0).

Линии даны в полярных координатах, поэтому воспользуемся формулой площади в полярных координатах

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Первая функция Вычисление физических и механических величин - student2.ru определена при Вычисление физических и механических величин - student2.ru , а вторая Вычисление физических и механических величин - student2.ru - при Вычисление физических и механических величин - student2.ru так как при прочих значениях Вычисление физических и механических величин - student2.ru получается r<0. Соответствующая область имеет вид, изображенный на рис.14. Ввиду симметрии фигуры относительно полярной оси можно ограничиться вычислением половины площади, а результат удвоить.

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Рис. 14.

Имеем

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Пример 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями Вычисление физических и механических величин - student2.ru , Вычисление физических и механических величин - student2.ru , Вычисление физических и механических величин - student2.ru , Вычисление физических и механических величин - student2.ru .

Первые два уравнения изображают параболические цилиндры с вертикальной образующей, третье, т. е. Вычисление физических и механических величин - student2.ru - уравнение наклонной плоскости, а уравнение Вычисление физических и механических величин - student2.ru - плоскость Вычисление физических и механических величин - student2.ru . Соответствующее тело изображено на рис. 15; сверху его ограничивает поверхность Вычисление физических и механических величин - student2.ru .

Вычисление физических и механических величин - student2.ru Рис. 15. Вычисление физических и механических величин - student2.ru Рис. 16.

Объем тела вычислим по формуле

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

где область Вычисление физических и механических величин - student2.ru изображена на рис. 16. Имеем

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Пример 6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями Вычисление физических и механических величин - student2.ru , Вычисление физических и механических величин - student2.ru , Вычисление физических и механических величин - student2.ru .

Тело, объем которого нужно вычислить, изображено на рис. 17. В силу симметрии тела относительно плоскости Вычисление физических и механических величин - student2.ru , вычислим объем половины тела и результат удвоим. Координаты точек А и В удовлетворяют системе уравнений Вычисление физических и механических величин - student2.ru и Вычисление физических и механических величин - student2.ru , откуда Вычисление физических и механических величин - student2.ru , Вычисление физических и механических величин - student2.ru .

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Рис.17.

Следовательно,

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Пример 7. Вычислить площадь поверхности сферы Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Сфера симметрична относительно координатных плоскостей, поэтому будем вычислять площадь поверхности той части, которая расположена в первом октанте, а результат умножим на 8. Запишем поверхность верхней полусферы явно, т. е. в виде Вычисление физических и механических величин - student2.ru , и воспользуемся соответствующей формулой. Имеем:

Вычисление физических и механических величин - student2.ru Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Переходя к полярным координатам Вычисление физических и механических величин - student2.ru найдем искомую площадь

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Пример 8. Определить массу круглой пластины радиуса R с центром в начале координат, если поверхностная плотность материала пластины в точке Вычисление физических и механических величин - student2.ru равна Вычисление физических и механических величин - student2.ru , где k>0 – фиксированное число.

Переходя от прямоугольных координат к полярным, имеем

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Пример 9. Найти массу круглой пластины Вычисление физических и механических величин - student2.ru Вычисление физических и механических величин - student2.ru с поверхностной плотностью Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Имеем:

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Последний интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции по симметричному отрезку относительно начала координат. Поэтому, делая подстановку Вычисление физических и механических величин - student2.ru , получим

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Пример 10. Найти моменты инерции квадратной пластины Вычисление физических и механических величин - student2.ru , Вычисление физических и механических величин - student2.ru относительно осей координат и начала координат, если плотность пластины пропорциональна ординате точки пластины с коэффициентом k.

Вычисления производим по соответствующим формулам этого параграфа учитывая, что Вычисление физических и механических величин - student2.ru

1) Вычисление физических и механических величин - student2.ru

2) Вычисление физических и механических величин - student2.ru

3) Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Пример 11. Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной параболой Вычисление физических и механических величин - student2.ru и прямой Вычисление физических и механических величин - student2.ru если плотность пластины постоянна и равна Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Сделаем чертеж (рис. 18). Находим абсциссы точек А и В пересечения прямой Вычисление физических и механических величин - student2.ru и параболы Вычисление физических и механических величин - student2.ru Из системы уравнений Вычисление физических и механических величин - student2.ru находим Вычисление физических и механических величин - student2.ru и Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Рис. 18.

1). Масса пластины Вычисление физических и механических величин - student2.ru равна

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

2). Вычислим статические моменты пластины относительно координатных осей

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Вычисление физических и механических величин - student2.ru

3). Координаты центра тяжести найдем теперь по формулам

Вычисление физических и механических величин - student2.ru Вычисление физических и механических величин - student2.ru

Контрольные вопросы:

  1. Приведите формулу для вычисления ограниченной области D плоскости Оху.
  2. По какой формуле вычисляется масса плоской пластины с плотностью распределения масс Вычисление физических и механических величин - student2.ru ?
  3. Приведите формулу для вычисления момента инерции Вычисление физических и механических величин - student2.ru плоской материальной пластины Вычисление физических и механических величин - student2.ru с поверхностной плотностью Вычисление физических и механических величин - student2.ru относительно оси Вычисление физических и механических величин - student2.ru .
  4. По какой формуле вычисляется статический момент пластины Вычисление физических и механических величин - student2.ru относительно оси Вычисление физических и механических величин - student2.ru .
  5. Приведите формулы для вычисления координат центра тяжести материальной пластины Вычисление физических и механических величин - student2.ru с плотностью Вычисление физических и механических величин - student2.ru .

Наши рекомендации