Механический смысл несобственного интеграла.

Если непрерывна и неотрицательна на промежутке , то есть масса стержня с плотностью .

Пример. Вычислить

1) Пусть , тогда

2) ; .

Следовательно, при несобственный интеграл расходится, а при сходится.

Пример. Вычислить интеграл .

.

Пример. Вычислить

7.2.2. Несобственные интегралы от функций, заданных на конечном отрезке , но неограниченных на этом отрезке.

Пусть функция непрерывна в промежутке и неограниченна на этом промежутке.

Рассмотрим произвольное .

Интеграл существует, т.к. непрерывна на отрезке .

Несобственный интеграл определяется следующим равенством

.

Если непрерывна в промежутке и неограниченна на нем, то несобственный интеграл определяется аналогично предыдущему интегралу:

, где ; .

Пусть теперь непрерывна на множестве и неограниченна на этом множестве.

Несобственный интеграл определяется следующим равенством:

, если оба интеграла справа существуют.

Далее рассмотрим случай, когда непрерывна в интервале и неограниченна на этом интервале.

Несобственный интеграл определяется равенством:

, где a<c<b, при этом оба интеграла в правой части должны существовать, т.е. должны сходиться.

Можно показать, что сходимость интеграла и его значение не зависят от выбора точки с.

Пример. Вычислить интеграл .

1)

2) .

Таким образом, несобственный интеграл , сходится, а при расходится.

С геометрической точки зрения несобственный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, осью OY, прямой и графиком функции при .

7.2.3. Признаки сходимости несобственных интегралов.

В данном пункте под несобственным интегралом мы будем понимать какой-либо из ранее рассмотренных несобственных интегралов. В частности, a и b могут равняться .

Теорема 1. Если в рассматриваемом промежутке выполняются неравенства , то из сходимости несобственного интеграла следует сходимость несобственного интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла . (Без док-ва).

Определение. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Теорема 2. Если несобственный интеграл сходится абсолютно, то он сходится. (Без док-ва).

Пример. Исследовать на сходимость интеграл .

- сходится (см. п. 7.1.1.). По теореме 1 сходится интеграл . Это означает, что данный интеграл сходится абсолютно. Следовательно, по теореме 2 данный интеграл сходится.

Отметим, что данные рассуждения не позволяют найти точное значение интеграла .

Лекция 8.

Тема: Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление объемов тел.

8.1. Вычисление площадей плоских фигур.

8.1.1. Вычисление площади фигуры в декартовой системе координат.

Пусть на плоскости задана ограниченная область D.

Область D проецируется на ось ОХ в отрезок . Будем предполагать, что любая прямая , пересекает границу области D в двух точках. Прямые и могут иметь с границей области общие отрезки.

В данном случае можно записать уравнение кривой, ограничивающей область D снизу и уравнение кривой, ограничивающей область D сверху .

Отрезок [a,b] произвольным способом разобьем на n частей точками . Это разбиение обозначим через Т. Через обозначим наибольшую из длин частей разбиения. Пусть , тогда .

В каждой из частей разбиения произвольным способом выберем по точке .

Прямые разобьют область D на n частей. К-тую часть разбиения заменим прямоугольником с основанием и высотой .

Площадь S фигуры D приближенно равна .

Определение. Площадью S области D называется , если предел существует. Если данный предел не существует, то область D площади не имеет. Если область D имеет площадь, то она называется квадрируемой.

В определении площади области D сумма, стоящая под знаком предела является интегральной суммой для функции , поэтому и

.

Если и непрерывные функции на отрезке , то по теореме существования определенного интеграла можно утверждать, что область D имеет площадь, т.е. область D квадратируема.

Замечание 1. Область D можно проецировать на ось OY на отрезок и тогда , где кривая ограничивает область D снизу, а кривая ограничивает область D сверху.

Замечание 2. Если область D такова, что сразу нельзя по предыдущим формулам вычислить площадь в области D, то область D надо разбить на конечное число частей, не имеющих общих внутренних точек, так что можно вычислить площадь каждой из частей. Тогда площадь в области D вычислится как сумма площадей частей разбиения.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Область D проецируется на ось OX в отрезок [0,3]. Сверху область D ограничена линией

Снизу область D ограничена линией . По формуле находим:

8.1.2. Вычисление площади фигуры, граница которой задана параметрически.

Пусть область D проецируется на ось OX в отрезок [a,b] и . Функция x=x(t) на промежутках и монотонна и имеет непрерывную производную.

В частности, если требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, причем уравнение верхней кривой , задано параметрически

, где x(t) монотонная функция имеет непрерывную производную на , , то где .

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и одной аркой циклоиды

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом . Запишем уравнение эллипса в параметрическом виде: x=acost, y=bsint,

.

8.1.3. Вычисление площади фигуры в полярной системе координат.

Вычислим теперь площадь области D в полярной системе координат.

Пусть область D ограничена лучами и . Будем предполагать, что любой луч , , пересекает границу области D в двух точках. В этом случае область D будет ограничена двумя линиями , и лучами .

Угол между лучами и разобьем произвольным способом на n частей лучами .

Это разбиение обозначим через (Т), , где .

В каждом частичном угле выберем произвольным способом луч .

К-тому углу поставим в соответствие два круговых сектора с радиусами и .

Площадь области D приближенно равна

.

Естественно за S принять предел таких сумм при .

Выражение, стоящее под знаком предела, является интегральной суммой для функции .

Следовательно,

.

Рассмотрим два частных случая.

1) Пусть полюс 0 лежит на границе области D. В этом случае , а .

2) Пусть полюс 0 лежит внутри области D

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

8.2. Вычисление объемов тел.

Общее определение объема тела связано с изучением двойного интеграла и будет изложено в III семестре. Сейчас мы рассмотрим некоторые частные случаи.

8.2.1. Вычисление объемов тел по площадям параллельных сечений.

Пусть в пространстве дано ограниченное тело, границей которого является замкнутая поверхность.

Данная область проецируется на ось ОХ в отрезок . Будем предполагать, что известна площадь сечения данного тела плоскостью .

Отрезок произвольным способом разобьем на n частей точками . Пусть , .

Плоскости разобьют данное тело на n частей.

В каждом из отрезков разбиения произвольным способом выберем по точке .

Объем К-той части разбиения данного тела приближенно равен , а объем всего тела приближенно равен

.

За объем тела принимают предел сумм при , т.е.

.

Сумма, стоящая под знаком предела, является интегральной суммой для функции s(x), поэтому

.

Отметим, что мы дали определение объема тела и указали способ его вычисления.

Пример. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом .

Данный эллипсоид проецируется на ось OX в отрезок . плоскость пересекает тело по области, границей которой является эллипс . Найдем полуоси этого эллипса ; .

Следовательно, полуосями эллипса являются

Поэтому, площадь сечения равна

.

Объем тела вычисляется по формуле

.

Если a=b=c, то тело, ограниченное эллипсоидом, является шаром.

, где a – радиус шара.

8.2.2. Вычисление объемов тел вращения.

Пусть тело является телом вращения криволинейной трапеции вокруг оси OX.

В этом случае и .

Пусть теперь тело является телом вращения фигуры D, которая не пересекает оси OX, причем любая прямая, параллельная оси OY пересекает границу D не более чем в двух точках.

.

Пример. Вычислить объем тела вращения круга , , вокруг оси OX.

Такое тело называется тором.

Фигура D ограничена сверху полуокружностью , а снизу полуокружностью . Поэтому

Последний интеграл есть площадь половины круга радиуса r. Поэтому .

Лекция 9.

Тема: Вычисление длины кривой, площади поверхности тела вращения.

9.1. Вычисление длины кривой.

9.1.1. Пусть некоторая кривая является графиком функции , , для которой является непрерывной функцией на . Такие кривые называются гладкими.

Во-первых, мы должны дать определение длины кривой, во-вторых, указать способ ее вычисления.

Отрезок произвольным способом разобьем на n частей точками

Этому разбиению будет соответствовать некоторое разбиение кривой AB на n частей точками .

Соседние точки на кривой соединим отрезками, в результате получим ломаную . Длина К-того участка ломаной равна , где .

Длина l данной кривой приближенно равна длине ломаной , т.е. .

За длину кривой принимают . Кривая, имеющая длину называется спрямляемой. Вычислять длину кривой с помощью определения неудобно. Далее дадим способ вычисления длины кривой с помощью определенного интеграла.

Т.к. по условию непрерывна на , то тоже непрерывна на . Поэтому на каждом из отрезков удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, по которой .

Поэтому, .

.

Выражение под знаком предела является интегральной суммой для функции . Следовательно,

. (1)

Мы предположили, что непрерывная функция на , поэтому подынтегральная функция непрерывна на и длина такой кривой существует, т.е. кривая спрямляема.

9.1.2. Пусть уравнение кривой задано параметрически , где и непрерывны на , причем .

Заметим, что в равенстве (1) выражение, стоящее под знаком интеграла, есть дифференциал длины кривой: . Дифференциал длины кривой, заданной параметрически, записывается в следующем виде:

, поэтому

(2)

9.1.3. Рассмотрим кривую, которая задана в полярной системе координат.

.

Напомним, что дифференциал дуги кривой в полярной системе координат имеет вид: , поэтому

. (3)

Пример. Вычислить длину кривой от точки до точки

По формуле (1) получаем:

Пример. Вычислить длину одной арки циклоиды

.

По формуле (2) получаем

Пример. Вычислить длину кардиоиды

Т.к. кардиоида симметрична относительно поляры OP, то достаточно найти длину кардиоиды при , а затем удвоить.

.

9.2. Вычисление площади поверхности тела вращения.

Пусть кривая AB задана параметрически

, (4)

где непрерывны на отрезке . В этом случае кривая AB спрямляема, т.е. имеет длину, которую обозначим µ. Точка A имеет координаты . Рассмотрим на кривой AB точку M с координатами . Дуга AM спрямляема, т.к. вся кривая AB спрямляема. Пусть l(t) длина дуги AM. Функция l(t) возрастает с возрастанием t. Через t=t(l) обозначим обратную функцию. Подставляя это значение в уравнение (4), получим:

(5)

, т.е. мы имеем параметрическое представление кривой, где за параметр принимается длина кривой l. Такое представление кривой бывает удобным во многих вопросах математики.

Пусть кривая AB задана уравнениями (5).

Дадим определение площади поверхности тела вращения.

Отрезок произвольным способом разобьем на n частей точками

Это разбиение обозначим через (T). , . Точкам , на кривой AB будут соответствовать точки . Полученные соседние точки соединим отрезками , в результате получим ломаную . Через S(T) обозначим площадь поверхности вращения ломаной вокруг оси OX.

Определение. Площадью S поверхности вращения кривой AB вокруг оси OX называется предел площади S(T) при .

Далее выведем формулу, позволяющую вычислять площадь поверхности вращения с помощью определенного интеграла.

С этой целью подсчитаем площадь S(T). Через обозначим длину отрезка . Поверхность вращения этого отрезка есть усеченный конус, радиусы основания которого равны , а длина образующей равна . Следовательно, площадь поверхности К-того усеченного конуса равна

, а (6)

Правая часть равенства (6) не является интегральной суммой, т.к. не является приращением аргумента l.

Выражение для S(T) преобразуем следующим образом:

(7)

Суммы , являются интегральными суммами для непрерывной функции . Поэтому

.

Покажем теперь, что предел последней суммы в равенстве (7) равен нулю при . Функция непрерывна и поэтому она ограничена: .

, (8)

где µ - длина кривой, а l(T), как и ранее, длина ломаной.

Отсюда

(9)

Из равенств (7), (8) и (9) следует:

.

Это и есть формула для вычисления площади поверхности вращения. При применении этой формулы надо найти длину кривой µ и найти функцию , что представляет определенные неудобства.

Для получения формулы, свободной от этих недостатков, перейдем к исходному заданию кривой в параметрической форме (4). Под знаком интеграла сделаем замену переменной:

, тогда будем иметь:

.

В частности, если уравнение кривой задано в явном виде , , - непрерывна, то , то

.

Пример. Вычислить площадь S поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды , вокруг оси OX.

Пример. Вычислить площадь S поверхности, полученной при вращении кривой , вокруг оси OX.

Пример. Вычислить площадь S поверхности, полученной при вращении кардиоиды , вокруг поляры OP.

В этом случае

Нам достаточно взять половину кардиоиды при и вращать ее вокруг поляры OP.

Литература:

1. Л.Д. Кудрявцев “Краткий курс математического анализа”, Москва, физматлит,2002 г., 400 с.

2. В.С. Зарубин и др. “Интегральное исчисление функций одного переменного” Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999 г., 528 с.

3. ”Сборник задач по математике для ВТУЗов” ред. А.В. Ефимов, Москва, физматлит, 2001 г., 485 с.