Частные производные ФНП, их геом. смысл. Частные производные высших порядков.

ФНП. Основные понятия. Предел и непрерывностьФНП.

Если каждой упорядоченной совокупности значений переменных х1, х2,..., хп соответствует определенное значение переменной z, то будем называть z ФНП х1, 2,..., пх х и записывать z = f (x1, x2,..., xn) . В случае n = 2: z = f (x, y) ; Совокупность наборов (х1, х2, ..., хп) (точек ℝn ) при которых определяется функция z = f (x1, x2, ..., xn) называется областью определения. Область определения функции двух переменных- некоторое множество точек плоскости.Геом. изображением или графиком функции двух переменных z = f (x, y)-множество точек пространства (х, у, f (x, y)), определяющее, поверхность в системе координат Oxyz . Линией уровня функции z = f (x, y)-множество точек плоскости Oxy , для которых данная функция имеет одно и то же значение (изокривая). Поверхностью уровня функции u = f (x, y,z) - множество точек пространства ℝ3, для которых данная функция имеет одно и то же значение (изоповерхность). Окрестностью радиуса r точки М0(х0, у0) - совокупность всех точек M (х, у) удовлетворяющих неравенств Число A

называется пределом функции z = f (x, y) при стремлении точки М (х, у) к точке М0(х0, у0) (или при х → х0, →уу 0 ), если для ∀ε > 0 ∃r > 0, такое, что для всех точек М (х, у) , удовлетворяющих условию d(M,M0) < r. Функция z = f (x, y) наз. непрерывной в точке (x0, y0) , если она: 1) определена в точке (x0, y0) ; 2) имеет конечный предел при x → x0, y → y0; 3) предел равен значению функции в точке.

Функция z=f(x,y) наз. Непрерывной в области D, если функция непрерывна в каждой точке рассматриваемой области.

Частные производные ФНП, их геом. смысл. Частные производные высших порядков.

ЧПФ нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении приращения переменной к нулю (если этот предел существует).Геом. изображением функции z = f (x, y) является некоторая поверхность P. Полагая, у = const, получим некоторую плоскую кривую.

Поскольку при нах. ЧП по переменной х, у-фиксирован., получаем равенство: tgα=∂z/∂x(x₀,y₀), =∂z/∂x(x₀,y₀)=tgβ. ЧП является функциями от 2 переменных. Можно найти производные от этих функций, они наз. ЧП 2 порядка.

Дифф-сть ФНП. Необходимые условия дифф-ти. Достаточное условие дифф-ти.

Функция z = f (x, y) наз. дифф-ой в точке М0(х0, у0) если ее полное приращение в этой точке. Если функция z = f (x, y) дифф-ема в точке М0( х0, у0) , то она непрерывна в этой точке.Необх. условия дифф-сти: Если функция z=f(x,y) дифф-ма в М₀(х₀,у₀), то она имеет в этой точке ЧП f’_х(x₀,y₀)и f’_у(x₀,y₀), причем f’_х(x₀,y₀)=А, f’_у(x₀,y₀)=В. Достаточное условие дифф-сти: если функция z = f (x, y) имеет частные производные в некоторой r-окрестности точки М0(х0, у0),непрерывные в самой точке М0(х0, у0), тофункция дифференцируема в этой точке.

Полный дифференциал ФНП и его применение в приближенных вычислениях.

Полным дифф-лом dzдифф-мой в точке М0(х0, у0) функции z = f (x, y) называется главная, линейная относительно приращений ∆х и ∆у , часть полного приращения этой функции в точке М0(х0, у0).Полный дифференциал имеет широкое применение в приближенных вычислениях. Если рассмотреть функцию z = f (x, y) , дифференцируемую в точке М0(х0, у0), тоz=f(x₀ + x,y₀ + y) – f(x₀,y₀). Полным дифф-лом второго порядка функции z = f (x, y) называется полныйдифф-ал от ее полного дифф-ла. Применения: можно найти с-б приближенногозначения неск. переменных. ∂z≈α(∂x, ∂y) + β(∂x, ∂y)

Частные производные сложной функции. Полная производная функции

Предположим, что в формуле z=F(u, v), переменные u и v являются непрерывными функциями независимых переменных x и y :u =ϕ (x, y ) и v = ψ(x, y). В этом случае функция z = F(u,v) является сложной ф-ей аргументов x, y.

Формула д/выч. произв. сложной ф-ции от 1 переменной: df/dx=dz/dx=dz/du*du/dx+dz/dv*dv/dx.

Функция от 2 переменных: z=f(u(x,y),v(x,y)). ЧП сложной ф-ции 2 переменных: dz/dx=dz/du*du/dx + dz/dv*dv/dx. Пусть исходная функция имеет вид z = F(x, y,u,v), где y, u и v зависят от одной переменной x : y = f (x), u = ϕ(x) , v = ψ(x). Тогда, по сути, функция z является функцией только одной переменной x и можно ставить вопрос о нахождении производной dz/dx, которая называется полной производной функции z.

Таблица неопределенных интегралов. Метод замены переменной в неопределенном интеграле

1. ∫ 0 ⋅dx = C. 2. ∫ 1⋅dx = x + C.

Пусть функция x = ϕ(t) определена и дифф-ема на некотором множестве X * и пусть X – множество значений

этой функции, на котором определена функция f (x). Тогда, если на множестве X функция f (x) имеет первообразную, то на множестве X * справедлива формула:

Выделим два частных случая замены переменной:

1. Так как dx = d(x + a) , где a = const, то ∫ f (x)dx = ∫ f (x) d(x + a).

2. Так как dх=1/к*d(kx), то ∫ f (x) dx= 1/к ∫ f (x) d(kx).

Формула Ньютона-Лейбница.

Если f(x)εC(|a;b|) и F(x) –какая-нибудь первообразная для y=f(x) на этом отрезке, то справедлива ф-ла Н. Лейбница:

∫f(x)dx=F(b)-F(a).

Теорема барроу:Если f(x)εC(|a;b|), то производная ф-ции сущ. в любой хε|а;b|, причем F’(x)=f(x)

Основные понятия оДУ. Т. о сущ-и и ед-ти. Задача Коши. Общий интеграл и общее решение ДУ. Частные решения. Геом. смысл ДУ.

ДУ называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию у=ϕ (х) и ее производные y′, y′′,..., y(n). F (х, у, у′, у′′, ...,у n )=0. Порядком ДУназывается порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Решением или интегралом ДУназывается всякая функция y = ϕ(x), которая, будучи подставленной в уравнение, превращает его в тождество.

Т. о существовании и единственности решенияДУ. Если в уравнении y’=f(x,y) функция f (x, y) и ее ЧП ∂f/∂y непрерывны в некоторой области D на плоскости Оху, содержащей некоторую точку (x0, y0) , то существует единственное решение этого уравнения y = ϕ(x), удовлетворяющее условию: y = y0 при x = x0.Получение решения уравнения при заданных начальных условиях (x0, y0)∈D называется решением задачи Коши соответствующего уравнения для начальных условий (x0, y0)∈D . Решение ДУ с нач. условиями – решение задачи Коши.

Общим решением ДУпервого порядка называется функция y=ϕ(x,C). Частным решением ДУназывается любая функция y = ϕ(x,C0), которая получается из общего решения y = ϕ(x,C). Геом. смысл:в случае невыполнения хотябы одного из условий торемы сущ-я, через любую точку плоскости может проходить не одно решение, а можт н проходить вообще; общий интеграл представляет собой семейство кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной C (или, как говорят, от одного параметра С). Эти кривые называются интегральными кривыми данного ДУ. Общим решением ДУ наз. ф-ция, равная y=y(x,C), кот. Зависит от х, удовл. условия:эта ф-ция –ршение при любом С. Частному решению соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через некоторую заданную точку плоскости. РешениеДУ, не получающееся из общего интеграла ни при каком значении C и имеющее своим графиком огибающую семейства интегральных кривых, входящих в общее решение, называется особым решением ДУ.

ФНП. Основные понятия. Предел и непрерывностьФНП.

Если каждой упорядоченной совокупности значений переменных х1, х2,..., хп соответствует определенное значение переменной z, то будем называть z ФНП х1, 2,..., пх х и записывать z = f (x1, x2,..., xn) . В случае n = 2: z = f (x, y) ; Совокупность наборов (х1, х2, ..., хп) (точек ℝn ) при которых определяется функция z = f (x1, x2, ..., xn) называется областью определения. Область определения функции двух переменных- некоторое множество точек плоскости.Геом. изображением или графиком функции двух переменных z = f (x, y)-множество точек пространства (х, у, f (x, y)), определяющее, поверхность в системе координат Oxyz . Линией уровня функции z = f (x, y)-множество точек плоскости Oxy , для которых данная функция имеет одно и то же значение (изокривая). Поверхностью уровня функции u = f (x, y,z) - множество точек пространства ℝ3, для которых данная функция имеет одно и то же значение (изоповерхность). Окрестностью радиуса r точки М0(х0, у0) - совокупность всех точек M (х, у) удовлетворяющих неравенств Число A

называется пределом функции z = f (x, y) при стремлении точки М (х, у) к точке М0(х0, у0) (или при х → х0, →уу 0 ), если для ∀ε > 0 ∃r > 0, такое, что для всех точек М (х, у) , удовлетворяющих условию d(M,M0) < r. Функция z = f (x, y) наз. непрерывной в точке (x0, y0) , если она: 1) определена в точке (x0, y0) ; 2) имеет конечный предел при x → x0, y → y0; 3) предел равен значению функции в точке.

Функция z=f(x,y) наз. Непрерывной в области D, если функция непрерывна в каждой точке рассматриваемой области.

Частные производные ФНП, их геом. смысл. Частные производные высших порядков.

ЧПФ нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении приращения переменной к нулю (если этот предел существует).Геом. изображением функции z = f (x, y) является некоторая поверхность P. Полагая, у = const, получим некоторую плоскую кривую.

Поскольку при нах. ЧП по переменной х, у-фиксирован., получаем равенство: tgα=∂z/∂x(x₀,y₀), =∂z/∂x(x₀,y₀)=tgβ. ЧП является функциями от 2 переменных. Можно найти производные от этих функций, они наз. ЧП 2 порядка.