Теорема Гаусса-Остроградского.

Пусть в замыкании области заданы функции непрерывные на вместе со своими производными . Тогда:

.

При этом, поверхность ориентирована наружу области .

∆. а) Рассмотрим :

.

Здесь учтено, что т.к. . Получено, что

.

б) и в) получаются аналогично:

, .

Складывая три полученные формулы, получим формулу Гаусса-Остроградского. ▲

Def: Величина для векторного поля называется дивергенцией векторного поля: ,

и теперь формулу Гаусса-Остроградского можно записать так: .

*. Рассмотрим в точку и – сферу радиуса с центром в точке . Найдем:

.

(Здесь, по ходу преобразований была применена теорема о среднем).

Следовательно: ,

т.е. дивергенция векторного поля есть мощность источника силовых линий поля , расположенного в точке . Это, инвариантное относительно системы координат, определение дивергенции.

И теорема Гаусса-Остроградского может быть сформулирована так, что будет ясен ее физический смысл:

Поток векторного поля через замкнутую поверхность равен суммарной мощности источников векторного поля расположенных внутри области.

Дивергенция – еще одна, скалярная, характеристика векторного поля.

Теорема Стокса.

Пусть в заданы функции , непрерывные вместе со своими первыми производными Пусть замкнутый контур в , а –поверхность в натянутая на контур , причем одинаково взаимно ориентированы. Тогда:

= =

= .

∆. Интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией векторного поля.

а). Пусть .

б), в) Аналогично:

, .

Суммируя полученные три формулы, получаем формулу Стокса. ▲.

Def: Вектор с координатами называется ротором векторного поля . ,

и тогда формула Стокса запишется так: .

Рассмотрим , и , найдем:

следовательно:

Получили инвариантное относительно системы координат определение :

Проекция ротора векторного поля на вектор нормали к поверхности определяется пределом отношения циркуляции вдоль замкнутого контура к мере поверхности ограниченной данным контуром, когда контур стягивается в точку. И теорема Стокса:

Циркуляция векторного поля вдоль контура есть сумма циркуляций поля в точках расположенных на поверхности , краем которой является контур .

Задача о движении твердого тела.

Пусть твердое тело движется по закону: , где . Запишем

, и тогда: , ,

.

Получаем тогда: т.е. . Этот пример объясняет термин «ротор поля» или «вихрь поля» или «вращение поля».

Примеры:

1°. .

2°. .

3°.

4°.Вычислить по внешней стороне конуса с крышкой .

Применяя формулу Гаусса – Остроградского, получаем:

ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА – ОПЕРАТОР «НАБЛА»

Введем векторно-дифференциальный оператор . Тогда легко

видеть, что: gradf(x, y, z) = ; div ; rot .

Примерывычислений с помощью оператора «набла»:

1°. =

.

2°. Найти div и rot , если – постоянный вектор, – радиус-вектор точки.

3°. Найти div и rot .

4°. Вычислить интеграл по замкнутой поверхности S: , – постоянный вектор, – единичный вектор нормали к S, – радиус-вектор точки.