Представление об электрическом поле.

Существуют три характерных признака заряда. Во-первых, заряды могут быть положительными и отрицательными. Во-вторых, величина заряда не зависит от условий его определения. В частности, заряд не меняется при движении с релятивистскими скоростями. В-третьих, в изолированной системе заряды сохраняются (закон сохранения зарядов).

Взаимодействие зарядов осуществляется через поле. Это ставит задачи описания силового и энергетического проявления электрического поля при наличии или отсутствии как связанных, так и свободных, зарядов.

Взаимодействие зарядов. Закон Кулона.

Сила взаимодействия так называемых точечных зарядов определяется законом Кулона. Точечный заряд – заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями от этого тела до других тел, несущих электрический заряд.

Основное предположение Кулона: при соприкосновении двух одинаковых заряженных шариков заряд распределяется между обоими шариками поровну. Это, собственно, был способ дозировки зарядов в установке.

Результат измерений Кулона: сила взаимодействия двух точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

F=k(q1q2/r^2)

В случае одноименных зарядов сила, вычисленная по формуле (1), оказывается положительной (что соответствует отталкиванию между зарядами). В случае разноименных зарядов сила отрицательна (притяжение зарядов друг к другу

Сила взаимодействия между зарядами, сосредоточенными на телах конечных размеров определяется, если разбить каждый из зарядов на такие малые заряды dq, чтобы их можно было считать точечными.

Напряженность поля.

Пусть поле создается точечным зарядом q. На точечный пробный заряда q в точке, определяемой радиус-вектором r (рис.3), действует сила

F=q(1/4pi(e0)*(q/r^2)*(r/r)

Это отношение однозначно характеризует электрическое поле: E=F/q

Векторную величину E называют напряженностью электрического поля в в той точке, в которой пробный заряд испытывает действие силы f. Напряженность электрического поля численно равна силе, действующей на единичный точечный заряд, находящийся в данной точке поля. Векторы Е и f параллельны при условии положительного заряда q_пp.

Таким образом, напряженность поля точечного заряда пропорциональна величине заряда q и обратно пропорциональна квадрату расстояния r от заряда до данной точки поля: E=(1/4pi(e0))(q/r^2)*(r/r)

Единица напряженности электрического поля – напряженность, при которой на заряд, равный 1 Кл действует сила равная 1Н. Эта единица напряженности электрического поля называется вольт на метр и обозначается в/м.

Сила, действующая на пробный заряд, равна f = q_пp ×E.

Суперпозиция полей.

Опытный факт: сила, с которой система зарядов действует на некоторый не входящий в систему заряд, равна векторной сумме сил, с которыми действует на данный заряд каждый из зарядов системы в отдельности. Следствие: напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности: E=E1+E2+…En

Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) электрических полей. Принцип суперпозиции позволяет вычислить напряженность поля любой системы зарядов, представимых в виде малых величин dq (точечных зарядов).

такому же закону, как и у поля точечного заряда.

Поле диполя.

Напряженность поля электрического диполя.

Посмотреть по Иродову. Электрический диполь – система двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов: +q и –q. Расстояние между ними значительно меньше, чем расстояние до тех точек, в которых определяется поле системы. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя.

напряженность поля диполя в произвольной точке определяется формулой

E=(1/4h(e0))*(p/r^3)(кор(1+3сos^2альфа)

где a – угол между осью диполя и направлением на данную точку

Линии напряженности.

Поток вектора напряженности.

Электрическое поле задается указанием для каждой точки величины и направления вектора Е. Совокупность этих векторов образует поле вектора напряженности электрического поля. В гидродинамике поле, например, вектора скорости, можно представить очень наглядно с помощью линий тока. Аналогично электрическое поле можно описать с помощью линий напряженности, которые называются сокращенно линиями Е.

Линию Е удобно выбрать так, чтобы касательная к ней в каждой точке была параллельна вектору Е. При этом густоту линий, пронизывающих единицу поверхности площадки, перпендикулярной к линиям, можно приравнять численному значению модуля вектора Е. Тогда по картине линий напряженности можно судить о направлении и величине вектора Е в разных точках пространства (рис. 7).

Рис. 7.

Рис. 8.

Линии Е точечного заряда – радиальные прямые, направленные от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен (рис. 8).

Можно доказать, что линии одним концом опираются на заряд, другим уходят в бесконечность.

В соответствии с приведенными выше соглашениями полное число линий N, пересекающих сферическую поверхность радиуса r, равно произведению густоты линий на поверхность сферы 4 π r². Густота линий по условию численно равна

Следовательно, N численно равно

т. е. число линий на любом расстоянии от заряда одно и то же. Следовательно, линии нигде, кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются. Это свойство линий Е является общим для всех электростатических полей, создаваемых любой системой неподвижных зарядов: линии напряженности могут начинаться или заканчиваться лишь на зарядах, либо уходить в бесконечность. Поскольку густота линий Е выбирается равной численному значению Е, количество линий, пронизывающих площадку dS, перпендикулярную к вектору Е, численно равно Е dS. Если нормаль площадки dS ориентирована под углом a к Е, количество линий, пронизывающих площадку, численно равно:

, (8)

где E_n – составляющая вектора Е по направлению нормали к площадке (нормальная составляющая). Отсюда количество линий Е, пронизывающих произвольную поверхность, оказывается равным:

(9)

Определение. Если имеется поле некоторого вектора А, то выражение

(10)

где А_n – нормальная составляющая вектора А по направлению к dS, называется потоком вектора А через поверхность S.

В зависимости от природы вектора А выражение (10) имеет различный физический смысл. Например, поток вектора плотности потока энергии равен потоку энергии через соответствующую поверхность. Поток вектора скорости жидкости

дает объем жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность S.

Таким образом, поток вектора Е

(11)

численно равен количеству линий Е, пронизывающих поверхность S.

Поток (11) есть алгебраическая величина. Знак его зависит от выбора направления нормали к элементарным площадкам, на которые разбивается поверхность S при вычислении Ф.

Изменение направления нормали на противоположное изменяет знак у E_n, следовательно, и знак у потока Ф. В случае замкнутых поверхностей принято вычислять поток, выходящий

из охватываемой поверхностью области наружу. Поэтому под нормалью к dS в дальнейшем будет всегда подразумеваться обращенная наружу, т. е. внешняя, нормаль. В тех местах, где вектор Е направлен наружу (т. е. линия Е выходит из объема, охватываемого поверхностью), Е_n и соответственно dФ будут положительны; в тех же местах, где вектор Е направлен внутрь (т. е. линия Е входит в объем, охватываемый поверхностью), Е_n и dФ будут отрицательны (рис.9).

Теорема Гаусса

Окружающую точечный заряд q сферическую поверхность любого радиуса r пересекает линий Е. То есть, из точечного заряда выходит (либо к нему сходится) линий. В соответствии с (9) поток вектора Е через некоторую поверхность численно равен количеству линий Е, пересекающих эту поверхность. Следовательно, поток вектора Е через охватывающую заряд сферическую поверхность равен . Знак потока совпадает со знаком заряда.

Независимость потока от поверхности. Поток вектора Е равен для поверхности любой другой формы, если она замкнута и заключает внутри себя точечный заряд q,. Для поверхности, не имеющей «морщин» (рис. 10,а), это утверждение очевидно. Действительно, такая поверхность, как и поверхность сферы, пересекается каждой линией Е только один раз.

Поэтому число пересечений равно количеству линий, выходящих из заряда, т. е. . При вычислении потока через поверхность с «морщинами» (на рис. 10,6 показана только одна из линий Е) нужно учесть, что число пересечений данной линии с поверхностью может быть в рассматриваемом случае только нечетным, причем эти пересечения будут вносить в общий поток попеременно то положительный, то отрицательный вклад. То есть, сколько бы раз данная линия не пересекала поверхность, результирующий вклад в поток будет равен либо плюс единице (для линии, выходящей в конечном счете наружу), либо минус единице (для линии, входящей внутрь). Таким образом, какова бы ни была форма замкнутой поверхности, охватывающей точечный заряд q, поток вектора Е сквозь эту поверхность оказывается равным .

Пусть внутри некоторой замкнутой поверхности заключено несколько точечных зарядов произвольных знаков: q₁, q₂ и т. д. Поток вектора Е по определению равен

(12)

(кружок у знака интеграла указывает на то, что интегрирование производится по замкнутой поверхности). В силу принципа суперпозиции полей

(13)

Подстановка (13) в выражение для потока дает

где – нормальная составляющая напряженности поля, создаваемого i-м зарядом в отдельности. Последняя перестановка операции суммирования и интегрирования возможна, так как i относится к нумерации зарядов, интегрирование ведется по произвольной поверхности.

Выше было показано:

Следовательно,

(14)

Это утверждение носит название теоремы Гаусса. Теорема может быть сформулирована следующим образом: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую

Рис. 11.

поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e ₀.

В частности. Если внутри поверхности заряды отсутствуют, поток равен нулю. В этом случае напряженность поля создавается зарядами, расположенными вне поверхности. Каждая линия напряженности пересекает поверхность четное число раз, выходя наружу столько же раз, сколько и входя внутрь (рис. 11). В итоге вклад, вносимый в поток каждой из линий, будет равен нулю. Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью r, теорема Гаусса должна быть записана следующим образом:

(15)

где интеграл справа берется по объему V, охватываемому поверхностью S.

6. Напряженность для различных конфигураций источников поля.

В случае удачной симметрии распределения зарядов теорема Гаусса позволяет найти напряженность поля гораздо проще, чем с использованием формулы для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции полей.

Определения.

Объемная плотность заряда аналогична обычной плотности: p=lim(dq/dV)

где dq – заряд, заключенный внутри малого объема dV.

Поверхностная плотность заряда: сигма=lim(dq/dS)

где Dq – заряд, находящийся на отрезке цилиндрического тела, имеющем длину Dl

Пользуясь теоремой Гаусса можно получить значения напряженностей для ряда часто используемых случаев распределения зарядов.

1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости.Плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью (сигма). Из соображений симметрии следует, что Е в любой точке поля перпендикулярна к плоскости. В самом деле, поскольку плоскость бесконечна и заряжена однородно (т. е. с постоянной плотностью), нет никаких оснований к тому, чтобы сила, действующая на пробный заряд, отклонялась в какую-либо сторону от

нормали к плоскости.

Очевидно также, что в симметричных относительно плоскости точках Е одинакова по величине и противоположна по направлению.

откуда E=сигма/2(e0)

Таким образом, на любом расстоянии от плоскости напряженность одинакова по величине.

2. Поле двух разноименно заряженных плоскостей.

Поле двух параллельных бесконечных плоскостей, заряженных разноименно с одинаковой поверхностной плотностью сигма, определяется суперпозицией полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. В области между плоскостями (рис. 15) складываемые поля имеют одинаковое направление, так что результирующая напряженность равна E=сигма/e0

Вне объема, ограниченного плоскостями, складываемые поля имеют противоположные направления, так что результирующая напряженность равна нулю.

3. Поле бесконечного заряженного цилиндра.

Имеется бесконечная цилиндрическая поверхность радиуса R, заряженная с постоянной поверхностной плотностью сигма. Симметрия задачи подсказывает, что напряженность поля в любой точке направлена перпендикулярно к оси цилиндра, а величина напряженности определяется только расстоянием r от оси цилиндра. При этом на одинаковых расстояниях от центра цилиндра напряженность одинакова. E=сигма/e0

4. Поле заряженной сферической поверхности. Поле сферической поверхности радиуса R, заряженной с постоянной поверхностной плотностью s, очевидно, характеризуется центральной симметрией. То есть направление вектора Е в любой точке проходит через центр сферы, а величина напряженности является функцией только расстояния r от центра сферы.

E=сигма/e0

5. Поле объемно заряженной сферы радиуса R, заряженной с постоянной объемной плотностью r. Как и в предыдущем случае, поле такой сферы обладает центральной симметрией. Понятно, что для поля вне сферы получается тот же результат [в том числе и формула (17)]. Однако для точек внутри сферы результат будет иным. Сферическая поверхность радиуса r < R заключает в себе заряд,

E=(1/4pi(e0))*(q/R^3)*(r)

Таким образом, внутри сферы напряженность поля растет линейно с расстоянием r от центра сферы. Вне сферы напряженность убывает по такому же закону, как и у поля точечного заряда.

7. Работа сил электростатического поля

Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в поле другого неподвижного точечного заряда, является центральной. Из механики известно, что центральное поле сил потенциально. То есть, работа действительно зависит лишь от начального и конечного положений этого заряда (от r₁ и r₂) и не зависит от траектории перемещения заряда q'. Следовательно, силы, действующие на заряд q' в поле неподвижного заряда q, потенциальны.

Этот вывод распространяется на поле любой системы неподвижных зарядов. Сила , действующая на точечный заряд q', по принципу суперпозиции равна

F=суммFi

где – сила, обусловленная i-м зарядом системы источников поля. Работа равна сумме работ, совершаемых отдельными силами:

A=суммAi

Каждое из слагаемых не зависит от пути. Следовательно, не зависит от пути и работа A.

Еще можно сказать о циркуляции и о том что циркуляция равна нуля в потенц поле

8. Потенциал

Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией, за счет которой совершается работа силами поля.

Следовательно, работа (9.1) равна разности значений потенциальной энергии, которыми обладал заряд q' в точках 1 и 2 поля заряда q:

Отсюда выражение для потенциальной энергии заряда q' в поле заряда q

W=(1/4pi(e0))(qq/r)+C

Значение постоянной С выбирается таким, чтобы при удалении заряда на бесконечность (r = ¥) потенциальная энергия обращалась в нуль.

Величина фи=W/q

называется потенциалом поля в данной точке и является энергетической характеристикой электрического поля.

Потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Следовательно потенциал поля точечного заряда равен: фи=(1/4pi(e0))(q/r)

Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

потенциальная энергия заряда q, находящегося в точке поля с потенциалом фи

W=qфи

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.

А=qфи

9. Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом

Электрическое поле можно описать либо с помощью векторной величины Е, либо с помощью скалярной величины фи. Между этими величинами должна существовать связь. Так как Е пропорциональна силе, действующей на заряд, а фи – потенциальной энергии заряда, понятно, что эта связь должна быть аналогична связи между потенциальной энергией и силой.

Используя обозначение градиента, можно написать E = – gradфи

Напряженность электрического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком.

Соотношение между напряженностью поля и потенциалом точечного заряда. Потенциал этого поля равен

Фи=

Проекция gradj на направление r равна

gradфи =(-1/4pi(e0))(q/r^2)

Разность потенциалов между двумя бесконечными разноименно заряженными плоскостями (однородное поле).

Фи1-фи2= E*d d-расстояние между пластинами конденастора

В частности, это выражение определяет связь разности потенциалов между пластинами конденсатора с напряженностью поля в конденсаторе. Расстояние между пластинами равно d.

Поле диполя.

Потенциал поля электрического диполя.

Посмотреть по Иродову. Электрический диполь – система двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов: +q и –q. Расстояние между ними значительно меньше, чем расстояние до тех точек, в которых определяется поле системы. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя. Задача: найти напряженность поля на оси диполя, а также на прямой, проходящей через центр диполя и перпендикулярной к его оси (рис. 4).

Положение точек на этих прямых определим их расстоянием r от центра диполя.

Таким образом, Е_ll = 2 Е_^. В общем случае рассмотрения напряженность поля диполя в произвольной точке определяется формулой

E=(1/4pi(e0)(p/r^3)(кор(1+3cos^2a)

где a – угол между осью диполя и направлением на данную