Прохождение частиц через потенциальный барьер. Туннельный эффект
Рассмотрим основные закономерности туннельного эффекта на примере преодоления микрочастицей, движущейся с E, потенциального барьера высотой U0>E.
<РИС>
U(x)={0, -¥<x<0 ; U0, 0£x£l ; 0, l£x<¥}
Классическая частица с E<U0 отразится в точке x0 от барьера и будет двигаться назад.
Поведение квантовой частицы описывается уравнением Шрёдингера, которое выглядит по разному в областях (1,3) и 2.
1,3: d2Y/dx2 + (2mE/‚2)Y = 0 ;
2: d2Y/dx2 + (2m/‚2)(E-U0)Y = 0, E-U0 < 0; Y = elx ;
Подстановка в первое уравнение приводит к характеристическим уравнениям: l2 + 2mE/‚2 = 0; l=±sqrt(2mE)/‚=±ik;
Общее решение в (1,3) имеет вид падающей и отражённой волны де Бройля:
Y1=A1e+ikx+B1e ¾ ikx ;
Y3=A3eik(x-l) + B3e ¾ ik(x-l) ; Т.к. нет отражения, то B3=0;
В области (2) корни l2 + [2m(U0-E)]/‚2 = 0 действительны и равны:
l= ± sqrt(2m(U-E0))/‚ = ± ƒ ;
Решение в области (2): Y2=A2eƒx + B2e ¾ ƒx ;
Коэффициенты можно найти из условия непрерывности Y-функции и её производной на границе барьера:
Y1(0)=Y2(0); Y1’(0)=Y2’(0); Y2(l)=Y3(l); Y3’(l)=Y3’(l);
A1 + B1 = A2 + B2 ; A2eƒl + A2e¾ƒl += A3 ;
ikA1 - ikB1 = ƒA2 - ƒB2 ; ƒA2eƒl - ƒA2e¾ƒl = ikA3 ;
Отношение квадратов модулей амплитуд называется КОЭФФИЦИЕНТОМ ОТРАЖЕНИЯ, который описывает вероятность отражения частицы от барьера.
R=|B2|2/|B1|2 ¾ коэффициент отражения; R¹1 даже если E>U0 ;
Д=|A3|2/|A1|2 ¾ КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ (прозрачности) ¾ вероятность, что частица пройдет через барьер: Д¹0, даже если E<U0 ;
Если ввести: n2=ƒ2/k2 = (U0-E)/E ;
Д=[16n2/(n2+1)2]e¾2ƒl » e (¾2/‚)sqrt(2m(U0-E))l ;
Д зависит от массы частицы, ширины барьера, соотношения высот...
Из неравенства нулю Д при E<U0 => в туннеле Ek < 0;
В квантовой механике не имеет смысла деление E на Ek и Ep , т.к. это противоречило бы принципу неопределённости. Т.о. R+Д=1;
Аналог туннельного эффекта имеет место в классической электромагнитной теории, которая предсказывает, что волна, падающая из более плотной среды в менее плотную, представляет собой тонкий слой между двумя плотными средами, даже при плотном внутреннем отражении проникает в “запрещённую” область и распространяется в виде бегущей волны.
Туннельный эффект ¾ квантовое явления, связанное с волновыми свойствами частиц. Туннельный эффект объясняет ионизацию атомов, холодную эмиссию (вырывание e¾ из металлов под действием электрического поля), a-распад ядер.
ВОПРОС-12 {31-33, к: 68-72}: КВАНТОВАНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
Важная задача ¾ изучение движения частицы в поле центральных сил.
В классической механике такое движение описывается с помощью моментов импульсов, в квантовой механике ¾ с помощью оператора момента импульса.
Особенность оператора ¾ факт, что ^Lx^Ly ¹ ^Ly^Lx , т.е. операторы момента импульса не коммутируют.
Это значит, что соответствующие проекции не могут быть одновременно измерены: если одна проекция определена, то две остальные ¾ нет.
Однако, каждый из этих операторов коммутирует с квадратом момента импульса: ^Lя^L2 ¹ ^L2^Lz ;
Это означает, что момент импульса и одна из его проекций могут одновременно иметь одинаковые значения.
Оператор ^L2 имеет общие собственные функции с оператором каждой из его проекций: ^L2Y=L2Y ; ^LzY=LzY ;
^L2Y=L2Y ; ^LzY=LzY ; (x, y, z) à (r, Q, j);
x=r×sinQ×cosj; y=r×sinQ×cosj; z=r×cosQ ; {0£r<¥, 0£Q£p, 0£j£2p)
L2=‚2l(l+1);
l=0 (s) , 1 (p) , 2 (d) , 3 (f) , 4 (g) , 5 (h) ¾ азимутальное квантовое число
l=0 => S-состояние; L=‚sqrt(l(l+1));
КВАНТОВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ МОМЕНТОВ ИМПУЛЬСА
Найдём вид оператора одной из проекций (LZ) в сферической системе координат.
^LzY=LzY ;
(д/дj)=(дx/дj)(д/дx) + (дy/дj)(д/дy) + (дz/дj)(д/дz);
(дx/дj)=-r×sinQ×sinj=-y; (дy/дj)=r×sinQ×cosj=x; (дz/дj)=0;
(д/дj)=-y(д/дx)+x(д/дy);
^PX=-i‚(д/дx); ^PY=-i‚(д/дy); -i‚(д/дj)=x^PY-y^PX=^LZ à ^LZ=-i‚(д/дj)
-i‚(дY/дj)=LZY; Y=ce¾(i/‚)Lzj ;
Т.к. j ¾ циклическая переменная с T=2p, то из условия однозначности следует: Y(j)=Y(j+2p)
e¾(i/‚)Lzj = e¾(i/‚)Lz(j+2p) à e¾(i/‚)Lz2p =1 ; Lz=m‚ ; m=0, ±1, ±2, ... ¾ магнитное квантовое число. Найдём max(m) из условия:
m‚£‚sqrt(l(l+1)); max(m)=l ; m=0, ±1, ±2, ... ±l и l=0, 1, 2 ... => Lz<L
Направление момента импульса остаётся неопределённым не совпадает с выбранным направлением. ‚ является естественной единицей момента импульса и его проекции. m ¾ магнитное квантовое число.
Ввиду изотропности пространства нет преимущественного направления, пока оно не выделено физически (например ¾ включением параллельно ему магнитного поля).
Всего ¾ (2l +1) значений.
ВОПРОС-13 {33-34, к: 72-75}: МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ЗАРЯЖЕННОЙ МИКРОЧАСТИЦЫ
Механический момент импульса неразрывно связан с магнитным моментом, т.к. орбитальное движение создаёт магнитное поле.
L=[r, p]; Pm=Isn; L=rmeJ; Pm=enpr2=[w=2pn; J=wr]=(|e|Jr)/2;
Pm/L=|e|/(2me)=gC ¾ орбитальное гиромагнитное отношение.
Pm=-(eL/2me)=[(e‚)/(2me)]×sqrt(l(l+1)) ;
mБ = e‚/2me=9,27×10-24 Дж/тл ¾ магнетон Бора (естественная единица измерения магнитного момента).
Pmz = -(eLz)/(2me)Lz=-(e‚m)/(2me)=- mБm ;
ОПЫТЫ ШТЕРНА-ГЕРЛАХА. СПИН ЭЛЕКТРОНА {к: 73-75}
L=‚×sqrt(l(l+1)); Lz=‚m; Pm=-mБ×sqrt(l(l+1)); Pmz=-mБm ;
Квантование моментов импульса обнаружено в 1921 году. Идея опыта ¾ определение силы, действующей на атомы в неоднородном магнитном поле.
<РИС>
Fz=Pmz(дb/дz);
<РИС>
Если бы Pm мог иметь произвольную ориентацию, то на пластинке наблюдался бы непрерывный растянутый свет с большей плотностью в центре.
Но наблюдалась система узких полос, смещённых по Oz в соответствии с Pmz=-mБm => проекция магнитного момента атома на направление магнитного поля квантуется.
У атомов, находящихся в S-состоянии (m=0) (атомы с одним валентным электроном) ¾ вместо одной полоски было две.
Этот факт указывает, что в S-состоянии атом обладает магнитным моментом, проекция которой на направление магнитного поля обладает двумя значениями ±mБ ;
Голдсмит и Уленбек (1925): “Электрон обладает собственным моментом импульса ¾ спином”.
LS=‚×sqrt(S(S+1)); LSz=‚ms; (2s+1)=2 => S=1/2 ;
PSmz=±mБ ; PSmz/LSz=|e|/me=gS ¾ спиновое гиромагнитное отношение;
gs=2ge ;
Элементарный магнетик ¾ сам электрон. Так была установлена спиновая природа ферромагнетизма. Спин не имеет аналога в макромире. Спин ¾ одновременно релятивистское и квантовое свойство.
ВОПРОС-14: СПИН-ОРБИТАЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
СЛОЖЕНИЕ ОРБИТАЛЬНЫХ И СПИНОВЫХ МОМЕНТОВ
Каждому механическому моменту импульса заряженной частицы соответствуют магнитные моменты, которые взаимодействуют между собой как круговые токи.
Это приводит к взаимодействию соответствующих механических импульсов ¾ спин-орбитальному взаимодействию.
Есть два способа взаимодействия:
1. LS-связь: реализуется, если спин-орбитальное взаимодействие мало (в сильных магнитных полях).
При этом складываются порознь все векторы орбитальных моментов системы и спиновых моментов.
Величины результирующих моментов: L=‚×sqrt(L(L-1)), L ¾ орбитальное квантовое число.
Для системы из двух частиц: L= l1+l2, l1+l2-1, ... , |l1-l2| ¾ ряд значений. L=‚×sqrt(l(l+1)) ¾ орбитальный момент импульса одной частицы. Lz=mz‚; mz=0, ±1, ±2, ..., ±L (всего 2L+1);
Спиновые моменты импульса: Ls=‚×sqrt(S(S+1))
Чётные S: от 0 до N(1/2) , N=6: S=0, 1, 2, 3, ...
Нечётные S: от Ѕ до N(1/2) , N=1/2, 3/2, 5/2, 7/2 ;
Полный момент импульса системы определяется как векторная сумма результирующих орбитальных и спиновых моментов, а его величина = LI=‚×sqrt(J(J+1)), J ¾ квантовое число результирующих моментов импульса.
В следствие различной взаимной ориентации L и Ls I принимает ряд значений.
J=L+S; L+S-1; ... ; |L-S|
L=3; S=1; => J=4, 3, 2;
L=3; S=1/2; => J=7/2, 5/2;
Если оперировать квантовомеханическими векторами как обычными, но с учётом квантования их абсолютных величин и их проекций,
LJZ=mJ‚; mJ=0, ±1, ±2, ±3 .... всего (2J+1);
то можно построить наглядную векторную модель, согласно которой вектор может иметь направление образующей конуса и вращаться равномерно вокруг направления z;
Проекции L и Ls сохраняются со временем, т.е. являются интегралами движения.
2. j-j-связь: реализуется в слабых магнитных полях , если спин-орбитальное взаимодействие велико. Складываются векторы орбитальных и спиновых моментов в результирующий момент импульса.
Lj=‚×sqrt(j(j+1)); j=l±S=l±1/2;
А затем результирующий момент импульса частиц складывается в результирующий момент импульса системы: Lj=‚×sqrt(J(J+1)); LJ=SLj;
СИМВОЛИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ
Учёт спина приводит к введению новых квантовых чисел J и mj.
Энергетическое состояние частицы определяется: n, l, j ;
Символически оно обозначается nlj, где l=0(s), 1(p), 2(d), 3(f), 4(g), 5(h)
2P1/2 ¾ главное число n=2, P-состояние=1, j=1/2;
Энергетические состояние системы зависит от взаимной ориентации моментов импульсов отдельных частиц: L, S, J;
Символическое обозначение энергетического состояния системы (“терма”): 2S+1LJ ; 2S+1 = ƒ ¾ мультиплексность терма.
ВОПРОС-15 {37-38, к: 80-83}: ФИЗИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ И АТОМНОГО ЯДРА
Масштабы времён, расстояний и масс в физических процессах:
| Время | , сек | Размер | , м | Масса | , кг |
| Возраст Вселенной | 1017=1,5×1010 лет | Видимая часть Вселенной | 1026 | Метагалактика | 1053 |
| Распад протона | > 1032 лет | Ядро | 10-15 | Протон | 1,672× 10-27 |
| Время жизни частицы резонанса | 10-23 | Кварк | 10-18 | Нейтрино | 10-35=? |
| Планковское время, tп=sqrt(G‚/c5) | ~10-44 | Планковская длина, lп=sqrt(G‚/c3) | ~10-35 | Масса Планка, mп=sqrt(c‚/G) | 2,8×10-8 |
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
| Вид взаимод | Интенсивность | Радиус, m | Время, с |
| Гравитацион. | 10-32 | ¥ | ¥ |
| Электромагн. | 10-2 | ¥ | 10-16 |
| Слабое | 10-15 | 10-18 | 10-10¾10-8 |
| Сильное | 10-15 | 10-23¾10-22 |
Слабое взаимодействие проявляется:
1. Взрыв сверхновых
2. 2. Радиоактивность (самопроизвольное превращение атомов ядер с использованием элементарных частиц).
dN=-lNdt, N=N0e¾lt ; N ¾ количество нераспавшихся ядер
t==1/l; T1/2=ln2/l ¾ период полураспада
A=2N ¾ активность (число распадов в единицу времени).
T1/2 (плутония-299)= 24390 лет.
n (нейтрино) à p (ротон) + e¾ (электрон) + ne~ (антинейтрино)
Сильное взаимодействие проявляется:
1. Притяжение нуклонов в ядре: Eсвязи=c2Dm; Dm=[Zmp+(A-Z)mn]-mя
2. X+a=Y+b ¾ ядерный распад ¾ процесс сильного взаимодействия, приводящий к преобразованию ядер: a, b à p, n, a ...
Q=c2(Sm - Sm’);
ТЕРМОЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ {к: 83}
21H + 31H = 42He + 10n (Q=17,6 Мэв)
ВОПРОС-16 {38-40, к: 83-86}: КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
1. m: me, (mn=10-35 кг), mz=200000me ; E=mc2 ; p+p à p+p+p+p
2. q:
3. t ¾ время жизни
4. Спин:
а) S=1/2 + n, n=0, 1, 2 ... ¾ фермионы
б) S=n, n=0, 1, 2, 3 ... ¾ бозоны
Все элементарные частицы (>300) делятся на 2 группы по участию/неучастию в сильном взаимодействии:
Неучаствующие частицы ¾ лептоны:
| Название, обозначен. | Масса | Заряд | Спин | Год открытия |
| Электрон, e¾ | -1 | 1/2 | ||
| Электрон-ное ней-трино, n | 10-4 = ? | 1/2 | ||
| Глюон, m¾ | -1 | 1/2 | ||
| Глюонное нейтрино, nm | 1/2 | |||
| t-лептон (таон) | -1 | 1/2 | ||
| Таонное нейтрино, nt | 1/2 |
Каждая частица имеет античастицу (отличен знак какой-либо характеристики: электрон¾позитрон).
Частицы, участвующие в сильном взаимодействии ¾ адроны:
3 кварка: барионы (тяжёлые)
2 кварка: мезоны
Все адроны состоят из 6 частиц:
| Назва-ние (аромат) | Масса | Заряд | Спин | Цвет | Год откры-тия |
| u (up) | 5 МЭВ | +2/3 | 1/2 | красный | |
| d (down) | 7 МЭВ | -1/3 | 1/2 | ¾зелён- | |
| s (strange) | 150 МЭВ | -1/3 | 1/2 | ый жёлтый | |
| c (char-med) | 1,3 ГЭВ | +2/3 | 1/2 | ¾ фиолет; | |
| b (beau-ty) | 5 ГЭВ | -1/3 | 1/2 | синий¾ оранжев | |
| t (true) | > 20 ГЭВ | +2/3 | 1/2 |
Из e, n, u, d построены все стабильные частицы:
Из... построены:
а) стабильные частицы: e, n, u, d
б) Нестабильные частицы: m, nm, s, c ; t, 1/t, b, t
ЧАСТИЦЫ ¾ ПЕРЕНОСЧИКИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ {к: 86}
| Взаимод | Частицы | Масса, me | Заряд | Спин | Год откр |
| Гравит | Гравитон | ? | |||
| Электром | Фотон | ||||
| Слабое | W± Z0-бозон | ±1 | |||
| Сильное | 8 глюонов |
ВОПРОС-17 {41, к: 86}: ЧАСТИЦЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
| Название | Э/м | Слабое | Сильное | Гравитац |
| Частицы | Лептоны | Лептоны, кварки | Кварки | Лептоны, кварки |
| Заряд взаимо-действия | Электрич заряды | Аромат | Цвет | Масса |
| Теория взаимо-действия | Квантовая электродинамика, Фейнман, 1952 | E>100 ГЭВ Фотоны и W±, Z0 неразличимы | E>1014 ГЭВ лептоны и кварки неразличимы | E>1019 ГЭВ, фермионы и бозоны неразличи |
| Теория слабого электро взаимод.(1987) | Теория великого объединения, 1973 | мы => “супер-сила” | ||