Излучательная и поглощательная способность тела. АЧТ. З-ны излучения.

Формула Релея-Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа. Формула Планка для теплового излучения

Для получения явного вида F(w/T) необходимо обратиться к конкретной модели излучения.

С точки зрения классической теории АЧТ можно представить как совокупность осцилляторов, совокупная энергия которых ~ квадрату амплитуды колебаний и непрерывно меняется.

Равновесное излучение в полости можно представить как совокупность стоячих волн различных частот, количество которых в единице объёма:

dn_w=[w²/(p²c³)]dw

Рэлей и Джинс попытались установить аналитический вид f(w,T), опираясь на dn_w=[w²/(p²c³)]dw и исходя из теоремы равномерном распределении энергии по степеням свободы.

Они предположили, что на каждую стоячую волну в среднем приходится энергия <e>=kT (по 1/2 на электрическую и магнитную составляющие).

Т.о. U(w,T) в dw => U(w,T)dw=<e>[w²/(p²×c³)]dw=[w²/(p²×c³)]kTdw

Отсюда следует вид U(w,T):

U(w,T)= [w²/(p²×c³)]kT;

f(w,T)= [w²/(4p²×c²)]kT;

Вывод формулы Рэлея-Джинса безупречен с классической позиции, но он удовлетворяет экспериментальным данным только на малых частотах.

U(T)=òU(w,T) {0, ¥} à ¥

R*(T)=òf(w,T)dw à ¥ ; “Ультрафиолетовая катастрофа”

В 1900 году Планку удалось отыскать вид f(w,T), который удовлетворял опыту во всех диапазонах частот.

Была выдвинута гипотеза, что энергия испускается в виде отдельных порций, величина которых ~ hw=hn=e ;

h=6.63×10^-34 Дж×с ; w=2pn; ‚=h/2p=1.055×10^-34 Дж×с

Размерность h совпадает с “размерностью действия” (энергия × время) => постоянная Планка называется квантом действия.

Из постулатов Планка следует, что если э/м излучение испускается порциями hw, то его энергия кратна этой величине.

e_n=n‚w, n=0, 1, 2 ...

Математически это означает дискретность => нужно применять суммирование, а не интегрирование.

<e>=e_nP_n , e_n=n‚w

P_n ¾ вероятность того, что e колебания с w имеет значение e_n ;

В состоянии равновесия распределение колебаний по значениям энергии подчиняется закону Больцмана:

P_n=(exp[-e_n/(kT)])/(Sexp[-e_n/(kT)] {n=0, ¥})

Среднее значение энергии колебаний частоты w равно:

<e>=(Sn‚w×exp[-(n‚w)/(kT)])/(Sexp[-(n‚w)/(kT)]); {n=0, ¥}

x=‚w/kT; Допустим, что w (и x) изменяется непрерывно:

<e>=‚w×[Sne^-nx/Se^-nx] {n=0, ¥}=‚w×d/dx×(lnSe^-nx);

Сумму под ln легко вычислить, т.к. это убывающая геометрическая прогрессия с первым членом = 1 и знаменателем = e^-nx ;

Se^-nx {n=0, ¥} = 1/(1-e^-x);

<e>=-‚w×d/dx×ln[1/(1-e^-x)]=-‚w[(-e^-x(1-e^-x))/(1-e^-x)²]=

=(‚w×e^-x)/(e^-x-1)=‚w/(e^-x-1)={x=‚w/kT} =>

ИТОГО: <e>=(‚w)/(e^‚w/kT -1);

Таким образом, средняя e, приходящаяся на степень свободы, не одинакова для разных частот стоячих волн.

‚ à 0 => <e>=kT;

С ростом w средняя e убывает => интеграл светимости сходится.

U(w, T)dw=<e>×[w²/(p²c³)]dw=[(‚w²)/(p²c³)]×[1/(e^‚w/kT-1)]dw;

ИТОГО: f(w, T)=[(‚w³)/(4p³c²)]×[1/(e^‚w/kT-1)];

j(l, T)=[(2pc)/l²]ò(w, T);

ИТОГО: j(l, T)=[(4p‚c²)/l⁵]×[1/(e^‚2pc/lkT-1)];

Из формулы Планка следует:

1) Закон Рэлея-Джинса (‚w<<kT):

e^‚w/kT=1+(‚w)/(kT)+ ...

f(w, T)=[w²/(4p²c²)]×kT;

2) Закон излучения Вина (‚w>>kT):

f(w, T)=[(‚w³)/(4p²c²)]e^-hw/kT = Aw³F(w/T);

3) Закон Стефана-Больцмана:

R*=ò{0, ¥} f(w, T)=[‚/(4p²c²)]×ò{0, ¥} [w³×[1/(e^‚w/kT-1)]dw]=

= {x=‚w/kT, w=(xkT)/‚, dw=(kT/h)dx} =

= [‚/(4p²c²)]×[kT/‚]⁴×ò{0, ¥} [x³×[1/(e^x-1)]dx] = [(p²k⁴)/(60c²‚³)]×T⁴=

= sT⁴;

4) Закон смещения Вина:

dj(l, T)/dl à b ; l_max × T = b ; b ¾ постоянная Вина.

Таким образом формула Планка описывает все свойства равновесного теплового излучения.

ВОПРОС-3 {9-10, к: 18-21}: ЯВЛЕНИЕ ИСПУСКАНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ МАТЕРИЕЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СВЕТА (ФОТОЭФФЕКТ)

1887 ¾ Герц, 1888 ¾ Столетов, 1898 ¾ Леонард Томсон

ЗАКОНЫ ФОТОЭФФЕКТА

1) При неизменном спектральном составе света сила тока насыщения пропорциональна падающему световому потоку: I_н ~ Ф

2) Начальная кинетическая энергия линейно растёт с увеличением частоты и не зависит от интенсивности: mJ²_max/2=eU_з ;

3) Существует минимальная частота (w_min или l_max), характерная для каждого металла, начиная с которой фотоэффект не происходит.

w_min ¾ красная граница фотоэффекта

Установленные экспериментально зависимости не могли быть объяснены. Все особенности фотоэффекта объяснил в 1905м году Эйнштейн ¾ “свет поглощается тоже квантами”.

Используя гипотезу квантов, он вывел формулу: ‚w=A_вых + E_k^max

E_k^max = mJ²_max/2 , J << c ; E_k = E-E₀ , J ~ c

E_k^max = E_k^max (w); E_k^max = ‚w - A; y=kx-b;

Мы рассматриваем однофотонный фотоэффект при малых световых потоках: квант поглощается одним электроном.

Мощные лазеры дают многофотонный фотоэффект.

В полупроводниках и диэлектриках имеет место внутренний фотоэффект.

ЭФФЕКТ КОМПТОНА

1923 ¾ рассеивающее вещество в рентгеновском излучении содержит кроме исходного (с l) излучение и с большей l’ ,

причём Dl=l’-l = l_c(1-cosQ) ¾ зависит только от угла Q между начальным пучком и направлением рассеивания и не зависит от l и типа вещества: l_c = 0.0243 A^o = const;

Схема опыта:

<РИС>

Эффект Комптона объясняется как эффект упругого рассеивания фотонов на практически свободных внешних (валентных) электронах атомов рассеивания.

В этом процессе выполняются законы сохранения энергии и импульса.

P=mc=(E/c²)c = E/c = ‚w/c = ‚2p/l=k‚; P=‚k ;

Фотоны имеют нулевую массу покоя, как и все частицы,

движущиеся с C;

До столкновения	После столкновения
Ef=‚w	E’f=hw’
E0=mc2	E’=c×sqrt(p2+m2c2)
Pf=‚k	P’f=‚k’
Pe=0	Pe= ???????

ЗСЭ: ‚w+mc²=‚w’+c×sqrt(p²+m²c²) ; ЗСИ: ‚k=‚k+P_e ; w=kc;

p²=‚²(k²-k’²-2kk’)+2mc(k-k’)‚; p²=‚²(k²-k’²-2kk’cosQ);

cm(k-k’)=‚kk’(1-cosQ) домножим на [(2p)/(‚mckk’)] ; k=2p/l;

ИТОГО: l’-l=[(2p‚)/(mc)]×(1-cosQ);

l_c=(2p‚)/(mc)=h/mc ¾ комптоновская длина волны для частицы

массой m (тут ¾ для e^¾);

Полученная формула согласуется с экспериментом.

Замечание: фотон не может передать часть энергии электрону в поле ядра, т.к. это квант (неделимая порция энергии) => рассеивание следует рассматривать как цепочку событий.

1) Поглощение фотона электроном, слабо связанным с атомом.

2) Изменение состояния электрона (образование виртуального электрона).

3) Испускание этим электроном другого фотона под углом Q к начальной траектории.

Фотон не может передать всю свою энергию электрону, иначе нарушится ЭСИ и ЗСЭ (см. задачу 5.300)

6.Фотон. Его характеристики.

Для объяснения законов теплового излучения Планк предположил, что электромагнитное излучение испускается квантами. Для объяснения фотоэффекта Эйнштейн предположил поглощение квантами.

Он же предположил, что электромагнитное излучение распространяется квантами => оно ¾ совокупность фотонов, а классическое представление об электромагнитном поле оказывается верным лишь для предельного случая (число фотонов велико).

Подтверждающий эксперимент ¾ опыт Ботэ.

<РИС>

Слабое рентгеновское излучение падает на фольгу, которая становится источником вторичного излучения (флуоресценция), которое попадает на счётчик => отметка на ленте.

Если бы излучаемая энергия распределялась равномерно, то отметки на ленте были бы симметричны. Беспорядок отметок => дискретные частицы (фотоны).

Точная теория электромагнитного поля, как поля квантованного, ¾ называется квантовой электродинамикой, согласно которой движение фотонов не может быть описано без учёта волновых свойств.

Соотношения между волновыми и корпускулярными свойствами можно выяснить по распределению интенсивности освещения экрана.

I ~ A² (волновое представление)

Согласно корпускулярному представлению ¾ I ~ плотности потока фотона.

Количество фотонов, регистрируемое фотоумножителем, ¾ случайное в данной точке => вероятность обнаружения фотона в пределах dV определяется выражением: dP=cA²dV, c ¾ коэффициент пропорциональности.

12.Волна де броля…

1924 ¾ гипотеза Луи Де Бройля, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм присущ не только излучению, но и веществу.

Соотношение, связывающее корпускулярные характеристики с волновыми, были обобщены и перенесены на частицы.

Любая частица с E и P связана с волновым процессом, для которого: w=E/‚ и l=2p‚/p=2p‚/mJ ¾ формулы Де Бройля

Найдём l_{пылинки}:

1) m=10^-13 кг и J=10^-4 м/с : l=6.63×10^-7 м ¾ ничтожная малость этой величины объясняет, почему волновые свойства макрочастиц не проявляются.

2) l_{электорна} = 0.7×10^-10 м = 0.7 ангстрем ¾ длина волны мягкого рентгеновского излучения.

При дифракции электронных волн на кристаллах с d=1 ангстрем ¾ наблюдаются волновые свойства электронов.

ОПЫТ ДЭВИСОНА И ДЖЭММЕРА

1927 ¾ экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля.

Пучок электронов падает на кристалл под углом скольжения Q. Отражённые электроны улавливаются ловушкой, соединённой с гальванометром.

Ловушка установлена под углом 90⁰ к потоку в одной плоскости. Измеряя силу тока при разных положениях, можно было судить об интенсивности излучения в различных направлениях.

В опыте показано: при определённом значении ускоряющего напряжения (U) max ???????????? возникает при определённом угле Q (и наоборот).

Это явление получило объяснение на основе дифракции электронных волн, по аналогии с дифракцией рентгеновского излучения.

Рентгеновское излучение отражается от кристалла, если l и Q удовлетворяют условию Вульфа-Брэгга: 2dsinQ=nl; n=1,2,3... ;

d ¾ расстояние между узлами кристаллической решётки.

Если Q=const, то отражение происходит только при определённых

l_n=(1/n)2dsinQ;

Менять l можно, изменяя J электрона, связанного с ускорением движения:

l=h/mJ=[E_k=mJ²/2]=h/sqrt(2mE_k)=[E_k=eU]=h/sqrt(2meU) =>

U_n=(h²n²)/(8d²mesin²Q) ¾ согласовывается с опытом.

1937 ¾ нобелевская премия за открытие волн материи.

УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

Основная задача квантовой механики ¾ нахождение Y-функции и изучение связанных с ней свойств микрочастиц. Наличие у микрочастиц волновых свойств требует особого подхода к изучению их движения. 1926 ¾ Шрёдингер описал движение микрочастиц с помощью волнового уравнения.

Уравнение Шрёдингера не выводится, а постулируется.

УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ

Волновое уравнение обобщено: DY-(1/J²)×(д²Y/дt²)=0 => на случай волны де Бройля.

Y=Y₀=e^{¾i(wt-(k, r))}= {w=E/‚, k=p/‚} = Y₀e^{¾(i / ‚)(Et - (p, r))} ;

ИТОГО: Y(r, t) = e ^{¾(i / ‚)Et} × Y(r) ;

k=w/J; DY+k²Y=0; Для микрочастиц: k=p/‚ ;

Шрёдингер обобщил догадку де Бройля на случай движения частицы в силовом поле. В этом случае её полная энергия: E=p²/2m + U(r)=k²‚²/2m + u à (2m/‚²)(E-U)=k²;

ИТОГО: DY+(2m/‚²)(E-U)Y=0, U ¾ потенциальная энергия в силовом поле.

D=(д²/дx²) + (д²/дy²) + (д²/дz²);

-(‚²/2m)DY=^HY=EY;

[-(‚²/2m)D+U(r)]Y=EY ¾ уравнение Шрёдингера для стационарного состояния.

E₁, E₂, ... E_n ¾ дискретный энергетический спектр

^HY=EY ¾ оператор Гамильтона

ВРЕМЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА {к: 51-52}

В общем случае: ^H=(‚²/2m)D + U(r, t) (E_p уже не имеет смысла).

F=-ÑU; e^{¾(1 / ‚)} и i‚(дY/дt)=EY

ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ВРЕМЕНИ: [(-‚²/2m)D + U(r, t)]Y=i‚(дY/дt);

Решение уравнения Шрёдингера (Y-функция) зависит от вида U(r, t).

Для свободно движущейся частицы U(r, t)=0 => решением является ВОЛНА ДЕ БРОЙЛЯ: Y(r, t)=Y₀×e^{¾(i / ‚)(Et-(r, r))} ¾ т.е. чтобы задать состояние микрочастицы, нужно задать его во всём пространстве.

УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ {к: 52-53}

(-(‚²/2m)D + U(r, t))Y* = -it(дY*/дt) | × Y

(-(‚²/2m)D + U(r, t))Y = -it(дY/дt) | × Y

i(Y*(дY/дt) + Y(дY*/дt))=(‚/2m)(Y*DY-YDY*); D=Ѳ ;

-Y*×(дY/дt)+Y(дY*/дt)=-(‚/2mi) Ñ(Y*ÑY - YÑY*);

r=YY* ¾ плотность вероятности.

j=(‚/2mi)(Y*ÑY - YÑY*);

ИТОГО: дr/дt + (Ñ, j) = 0 ¾ закон изменения вероятности (в локальной форме).

17. Квантование энергии. Движение частиц в глубокой одномерной потенциальной яме.

5.1 Частица в одномерной потенциальной яме с абсолютно высокими и абсолютно непроницаемыми стенками.

Пусть частица движется вдоль O_x в потенциальном поле:

U_x={¥, x<0 ; 0, 0£x£l ; ¥, x>l }

<РИС>

При x<0 => Y(x)=0 , Y(0)=0 , при x>l => Y(x)=0, Y(l)=0 ;

Для одномерного случая уравнение Шрёдингера превращается в обычное дифференциальное уравнение.

0<x<l : d²Y/dx² + (2m/‚²)EY=0;

k²=(2m/‚²)E ¾ k ¾ волновое число волны де Бройля.

Yⁿ + k²Y = 0; (x’’ + w₀²x=0) ; Y=Asin(kx+a); Y(0)=Asina=0 à a=0

Y(l)=Asinkl=0 à kl=±np ;

sin ¾ функция знакопеременная, но мы ограничимся положительными значениями

n=1, 2, 3...

k=pn/l ; k=2p/l => l=nl/2 ¾ на ширине потенциальной ямы укладывается целое число полуволн де Бройля.

k²=(2m/‚²)E; (np²/l²)=(2m/‚²)E à E=[(p²‚²)/(2ml²)]×n² ;

Энергия частицы в потенциальной яме принимает дискретный ряд значений: E₁, E₂, ... E_n ¾ собственные значения энергии частицы, n ¾ главное квантовое число.

Отметим, что квантованность энергии ¾ следствие математических требований, накладываемых на решение уравнения Шрёдингера.

<РИС>

Y=Asin(np/l)x ; ò|Y|²dx=1 {0, l} ; A²òsin²[(np/2)x]dx=1 {0, l };

A²<sin²[(pn/l)x]×l=1 ; A=sqrt(2/l); Y=sqrt(2/l)×sin[(pn/l)x];

Из графика видно, что вероятность обнаружения частицы в состоянии 2 (в середине ямы) равна нулю, а в обеих половинах частица бывает равновероятно.

DE=E_n+1 - E_n = [p²‚²/2ml](2n+1)»[p²‚²/ml²]n ;

5.2 Энергетический спектр и волновые функции микрочастицы в ящике в непроницаемыми стенками: V(0<x<a, 0<y<b, 0<z<c);

Физические условия непроницаемости стенок ящика:

U(r) = {0, r Î V ; ¥, r Ï V}

r Î V => DY+(2m/‚²)EY=0 ; E_n1n2n3 = [p²‚²/2m][n₁²/a² + n₂²/b² + n₃²/c²]

Y(r)=Y₁(x)×Y₂(y) × Y₂(z) = sqrt(8/abc) × sin[n₁p/a]x × sin[n₂p/b]y × sin[n₃p/c]z

Из выражений для собственных значений энергии и собственных функций => одной и той же энергии может соответствовать несколько собственных функций Y.

n₁=n₂=n₃ => 1Y ; n₁=n₂¹n₃ => 3Y ; n₁¹n₂¹n₃ => 6Y

Если собственное значение энергий, которое называется энергетическим уровнем, отвечает нескольким Y-функциям, то такой уровень ВЫРОЖДЕННЫЙ. Число Y ¾ кратность вырождения.

1. Из полученных соотношений следует, что энергия частицы в связанном состоянии принимает ряд дискретных значений (квантуется).

2. Полученные результаты согласуются с соотношением неопределённости. Неопределённости координат порядка l соответствует неопределённость импульса порядка ‚/l ; Если предположить, что значение импульса по порядку величины совпадает с величиной неопределённости импульса ( p~‚/l ) => E=p²/2m = ‚²/2ml² ; (E=p²‚²/2ml² );

Замечание: если потенциальная яма имеет конечную глубину.

Y’’-ƒ²Y=0; ƒ²=(2m/‚²)(U₀-E); Y=const × e^±ƒx : “+” à x > l , “-” à x<0

ЛАЗЕРЫ

Эффект вынужденного излучения ¾ физическая основа создания лазера.

В состоянии термодинамического равновесия N_m<N_n система будет ослаблять проходящее через неё излучение.

При N_m>N_n индуцированное излучение преобладает над поглощением => термодинамически неравновесное состояние с инверсной населённостью.

Процесс создания инверсной населённости ¾ накачка.

Способы накачки:

1. Оптическая ¾ с помощью ламп вспышки (рубиновые лазеры).

2. С помощью возбуждения в газовой среде электрического разряда.

Происходит усиление излучения, проходящего через инверсную область, которое снимает инверсию, переводя энергию излучения атомов в когерентное излучение.

Усиление волны ¾ “отрицательное поглощение”.

I=I₀e^¾ƒl ¾ закон Бугера.

В случае усиления говорят, что коэффициент поглощения ¾ отрицательный.

Для создания генератора когерентных электромагнитных волн не достаточно одного усилителя. Для формирования высоких временной и пространственной когерентности необходимо поместить активную среду в оптический резонатор, представляющий собой два параллельных зеркала.

<РИС>

Расходимость излучения = 10^-4¾10^-5 рад.

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ

Рентгеновские спектры практически не зависят от того, в состав каких химических элементов входит данный элемент => сила, удерживающая атомы в молекулах, вызваны взаимодействием внешних электронов. Рассмотрим, как химическая теория объясняет химические связи. Различаются два вида химических связей => два вида молекул:

1. Ионная (гетерополярная): NaCl ;

2. Ковалентная (гомеополярная): H₂ ;

Квантовомеханическое объяснение второй теории было дано Гейтлером и Лондоном в 1927 году.

ЭНЕРГИЯ МОЛЕКУЛ {к: 108-110}

[-(‚²/2M)D₁ - (‚²/2M)D₂ - (‚²/2M)D₁ - (‚²/2M)D₂ + U(r_i, R_i)]×Y(r_i, R_i)=E(r_i, R_i)Y(r_i, R_i);

u=(-c²/4pe₀)[1/r_1a + 1/r_2a + 1/r_1b + 1/r_2b - 1/r_ab - 1/R];

Нужно искать приближённое решение. Его находят, исходя из деления частиц молекул на две подсистемы: быстро движущиеся электроны и медленно движущиеся ядра.

m_Я=2000m_e ;

В нулевом приближении ядра считают неподвижными и находят закон движения электронов. Затем учитывают колебания ядер относительно равновесия и вращение вокруг центра масс.

E=E₀+E_J+E_r ;

1. E_e(R_i) ¾ электроны в молекулах являются функциями радиус-векторов ядер, причём эта зависимость различна для электронов с парными и антипарными спинами. E₀ ¾ сумма энергий отдельных атомов.

2. E_J ¾ колебательная (вибрационная) энергия.

E_J = (J+1/2)‚w_J ; w_J ¾ зависит от электронной конфигурации.

3. E_r ¾ вращательная (ротационная) энергия.

E_r = Iw²/2 = (Iw)²/2I = L_J²/2I = [‚²J(J+1)]/(2I)

Изобразим энергетические уровни молекулы.

МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ

Зная схему энергетических уровней, можно объединить спектры излучения и поглощения молекулы, которые в отличие от атомных линейчатых спектров называются полосатыми.

Излучение фотона сопровождается: ‚w=E’-E=E’_e+(J’+1/2)‚w’_J -

-(J+1/2)‚w_J + B’J’(J’+1)-B_J(J+1); B=h²/2I ¾ ротационная постоянная.

1. Вращательные спектры: DE_r¹0, lJ=±1;

2. Колебательно-вращательные спектры: DE_r¹0, DE_J¹0, DJ=±1;

3. Электорнно-колебательные спектры: DE_l¹0, DE_J¹0;

4. Электронно-колебательно-вращательные: DE_l¹0, DE_J¹0, DE_r¹0;

КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА

Комбинационное рассеяние света заключается в том, что при прохождении света через газы, жидкости, твёрдые тела кроме несмещённой линии с w₀ содержатся смещённые линии, частоты которых представляют собой комбинацию w₀ и частот колебательных и вращательных переходов рассеивающих молекул.

w=w₀±w_i ;

“+” ¾ фиолетовые спутники, “-“ ¾ красные спутники.

w_i ¾ не зависит от w₀, I_{фиолет.} Растёт с ростом T ;

ВОПРОС-24 {55-58, к: 112-117}: ФИЗИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВЫХ СТАТИСТИК

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Основная задача статистики ¾ найти наиболее вероятное состояние.

Функция распределения ¾ выражает связь между состоянием системы и состоянием частиц.

Состояние системы задаётся с помощью термодинамических параметров.

U, T, m (химический потенциал) и т.д.

TdS=dU+pdV, N=const;

dU=TdS-pdV+mdN, N¹const;

m=(дU/дN)_{S, V} ¾ изменение внутренней энергии системы.

Состояние частиц определяется координатами, импульсом или энергией, которая является функцией от координат и импульса.

Пусть в системе, характеризующейся параметрами T и m, находится dN_T, m(E) частиц с энергией от E до E+dE;

dN_T, m(E) можно представить в виде произведения числа состояний (dn(E) на dE) на вероятность заполнения этих состояний.

f(E)=<n(E)> ¾ среднее число частиц, находящихся в этом состоянии.

Введём функцию плотности состояний r(E):

dN_T, m = (dN/dn)(dN/dE)dE = f(E)r(E)d(E);

òf(E)r(E)dE {0, E_max} = N ¾ условие, фиксирующее число частиц в системе (условие нормировки f(E));

Вид f(E) зависит от свойств частиц. Для проявления специфики микрочастиц необходимо их попадание в одно состояние (“встреча”).

N/n << 1 => свойства системы не зависят от свойств частиц (невырожденные системы, описываемые статистикой Максвелла-Больцмана).

N/n ~ 1 => свойства частиц влияют на свойства системы (врожденные системы, описываемые квантовыми статистиками).

По поведению в коллективе частицы делятся на две большие группы:

1. Фермионы: (S=1/2, 3/2, 5/2, электроны, протоны, нейтроны).

2. Частицы с целым спином: (S=0, 1, 2... (фотоны, фононы, мезоны).

КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА ФЕРМИ-ДИРАКА {к: 114-115}

f_F=1/(e^(E-m)/(kT)+1), m ¾ химический потенциал.

В применении к вырожденному газу фермионов m называют уровнем Ферми и находят из условия нормировки.

F_F(E)={1, E<m ; 0, E>m}

Вблизи абсолютного нуля все уровни с E<m полностью заняты, а с E>m ¾ свободны.

Уровню Ферми соответствует max кинетическая энергия E_ферми, которой могут обладать электроны в металле при нулевой температуре.

E_F, будучи кинетической энергией поступательного движения электронов, не связана с их тепловым движением, а имеет чисто квантовую природу и возникает из-за специфики электронов и фермионов согласно принципу Паули.

Связь между химическим потенциалом и E_F для случая kT<<m выражается соотношением: m=E_F[1-(p²/12)(kT/E_F)²]

m слабо зависит от температуры. Вплоть до температуры плавления kT<<E_F => m считают совпадающим с E_F(0);

КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНА {к: 115

Описывает бозоны (S=0,1, 2)

f_Б-Э=1/(e^(E-m)/(kT)-1) => <n(E)> ¾ среднее число частиц с энергией E

=> m£0, т.к. при E<m среднее число частиц становится < 0;

Для систем с переменным числом частиц m=0 => f_Б-Э=1/(e^E/(kT)-1), E=‚w

Из вида f видно, что в системе может находиться неограниченное число одинаковых фотонов => на фотоны и бозоны не распространяется принцип Паули.

P~N ; Вероятность появления бозона в состоянии, где уже есть N бозонов ~ N.

ПОНЯТИЕ О ФОНОНАХ {к: 116-117}

Атомы в узлах кристаллической решётки связаны между собой => их колебания не являются независимыми.

Тепловое возбуждение атомов кристалла может быть представлено как распространение волн упругих деформаций.

На основании корпускуларно-волнового дуализма каждой волне можно сопоставить движение квазичастиц ¾ фононов ¾ квантов энергии поля упругих деформаций.

Фонону можно приписать энергию e=(‚2pn)/(ln)=(‚w)/(ln)=e/J ¾ скорость распространения упругих волн в кристалле. |k|=2p/l ;

Изучение тепловых колебаний атомов в кристаллической решётке можно заменить изучением движения фононов.

При низких температурах фононы можно считать невзаимодействующими и рассматривать как идеальный фононный газ.

Фононы в кристалле находятся в потенциальном ящике => дискретный энергетический спектр. Они заполняют энергетические состояния от 0 до Emax.

w_max=2pc/l_min ; l_min=2d ;

Т.к. число фононов нефиксировано, функция распределения:

f_Б-Э=1/(e^E/(kT)-1)

ВОПРОС-25 {58-59, к: 117-188}: ФУНКЦИЯ ПЛОТНОСТИ СОСТОЯНИЯ

Для определения полной энергии газо-квантовых частиц (фононы и т.д.) необходима функция плотности состояний (число состояний, приходящихся на единичный интервал энергии).

r(E)=dn(E)/dE ;

Для нахождения r(E) используется представление о фазовом пространстве ¾ многомерном пространстве, где оси координат ¾ координаты частиц и проекций импульсов.

Для системы из N частиц мерность пространства = 6N.

Для одной частицы величина элементарного объёма фазового пространства = dt=d_xd_yd_zdp_xdp_ydp_z ;

Из принципа неопределённости => значение минимального фазового объёма, приходящегося на одно состояние = dt_min=h³ (не ‚³ !)

Знание dt_min позволяет определить общее число состояний квантовых частиц во всём объёме пространства (и элементарном объёме).

dn=dt/dt_min ;

Чтобы получить r(E) в энергетическом представлении, необходимо выразить dt как функцию энергии: интегрируют dt по всем значениям координат и импульсов, а затем используют соотношение между энергией и импульсом.

t=Vò{0, 2p}ò{0, p}ò{0, p}p²sinQdpdQdj = (4pp³V)/3;

n(p)=(4pp³V)/3h³ ; dn(p)=(4pp²V/h³)dP ;

r(p)=(4pp²V)/h³ ¾ функция плотности, составленная в импульсном виде.

ВОПРОС-27 {59, к: 119}: r(E) ДЛЯ ФОНОНОВ

Чтобы перейти к r(E) в энергетической форме нужно воспользоваться соотношениями E <-> p для фононов.

p=e/J; dp=de/J; dn(e)=[(4pe²V)/(J³h³)]de ;

r(e)=[(4pe²V)/(J³h³)]; × 3 (3 типа волн: 2 поперечных, 1 продольный)

r(e)=[(12pe²V)/(J³h³)];

U=òef(e)r(e)dE {0, E_max}; E_max = ‚w_max = kQ_Д ;

ВОПРОС-26 {60, к: 119-120}: r(E) ДЛЯ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ

См. вопросы 25 и 27.

Рассмотрим электрон в пустом ящике с непроницаемыми стенками.

P=sqrt(2mE); dp=[sqrt(2m)/2]E^¾1/2 ;

n(E)=[(4p2mEsqrt(2m)E^¾1/2)/(2h³)] dE ;

r(E)=[4pV(2m)^3/2E^1/2/(2h³)]; × 2 (каждое состояние с E может быть заполнено двумя электронами)

r(E)=[(2m)^3/2V/(2p²‚³)]E^1/2 ; Знание r(E) позволяет определить полное число электронов в системе.

N=òf(E)r(E)dE {0, ¥} ¾ условие нормировки

При невысоких температурах основная часть электронов заполняет уровни с E<E_F => верхний предел интегрирования можно заменить на E_F ;

f(E)=1; N=òr(E)dE {0, E_F} = [[(2m)^3/2V]/(3p²‚³)]E^3/2_F ;

E_F = (‚²/2m)(2p²)^2/3(N/V)^2/3 , n ¾ концентрация.

N=6×10²⁸ м^¾3 для металлов à E_F=9 ЭВ

Средняя энергия электрона выражается:

<E>=[òEf(E)r(E)dE {0, ¥}]/[òf(E)r(E)dE {0, ¥}] ={E<E_F}=

=[òEr(E)dE {0, E_F}]/[òr(E)dE {0, E_F}];

ВОПРОС-28 {60-62, к: 120-123}: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОЁМКОСТИ МЕТАЛЛОВ

C_V = C_V^{решётки} + C_V^{электронного газа} ;

C_V=дU/дT = (д/дT)[3N_A×kT + (3/2)N_AkT] = 3R+(3/2)R=(9/2)R ;

ТЕПЛОЁМКОСТЬ ФОНОННОГО ГАЗА {к: 121}

Для нахождения C_V^{решётки} твёрдых тел используют представление о фононном газе. В приближении фононного газа полная энергия фононов, распределённая по энергетическим уровням, аппроксимирует полную энергию кристалла.

C_V^{решёлтки} = С_V^{фононного газа} = дE^Ф/дT; e^Ф=òf(e)r(e)de {0, e_max}

Выражение для E^max можно получить из условия, что полное число фононных состояний в твёрдом теле £3N; e_max à Q_Д , т.к. e_max=kQ_Д ,

T >> Q_Д , e^Ф=eRT

T < Q_Д , e^Ф=AT⁴

ПЛОТНОСТЬ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА {к: 121-123}

При T=0K свободные электроны металла занимают все энергетические уровни вплоть до уровня Ферми. При повышении температуры электроны подвергаются возбуждению и переходят на более высокие уровни.

KT<<E_F

Тепловому возбуждение подвергаются лишь электроны узкой полосы (~kT), распадающейся у уровня Ферми. Оценим их число. Считаем, что расстояние между уровнями одинаковое.

DE=E_F/(N/2);

В полосе, где E=kT расположено:

kT/DE = kTN/2E_F , kTN/E_F ¾ электронов.

kT/DE ¾ количество уровней, лежащих ниже уровня Ферми в полосе kT.

Каждый из электронов получает энергию kT (при нагреве). Электроны более глубоких уровней свою энергию не меняют.

Увеличение энергии всего электронного газа:

E=kT×(kTN/E_F); C_V=дE/дT=2k²TN/E_F ; C_V=2k×kN_AT/E_F=2RkT/E_F ;

C_V^{классич.}=(3/2)R ; C_V^{квантов.}/C_V^{классич.}=(4RkT)/(3RE_F)»kT/E_F ;

При обычных T: kT=0,01 ЭВ ; E_F»9 ЭВ

C=C^{решётки} + C^{электр.} (пренебрежимо мало) = 3R

ВОПРОС-29 {62-63, к: 123-126}: ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ

Сравним классическую и квантовую теорию электропроводности. В классической теории электронный газ в кристаллах рассматривается как идеальный газ, подчиняющийся статистике Максвелла-Больцмана.

Расчёт тока, возникающего под действием электрического поля с напряжённостью e производится следующим образом:

F=ee; J_Н=a<t>; a=F/m, <t>=<l>/<J>;

После соударения: <J_Н>=J_Н/2=(ee<l>)/(2m<J>);

Подвижность ¾ средняя скорость направленного движения электронов, приобретаемая ими в поле с напряжённостью e=1 В/м

<РИС>

V=<J_Н>

Через S=1м² перпендикулярную направлению тока за 1с пройдут все электроны, заключённые в параллелепипеде с ребром <J_Н>

Число электронов в параллелепипеде: nV=n<J_Н>

Плотность тока: i=en<J_Н>=enUe;

s=i/e=enU; s=(e²n<l>)/(2m<J>);

<J>=sqrt(8kT/pm); s_{классич}=1/sqrt(T) ¾ так кажется, согласно классической теории.

Но по эксперименту s_{эксперимент.}=1/T

Т.о. расчёт, основанный на представлении электронов в виде идеального газа, подчиняющегося статистике Максвелла-Больцмана ¾ неверен.

Расчёт электропроводности металлов, основанный на квантовой статистике Дирака, был проведён Зиммерфельдом:

s=(e²n<l(E_F)>)/(m<J(E_F)>);

<l(E_F)> ¾ средняя длина свободного пробега

<J(E_F)> ¾ средняя скорость электронов, находящихся на уровне Ферми, которая в отличие от <J_{классической}> остаётся почти const, т.к. уровень Ферми мало зависит от температуры.

Существенное различие между классической и квантовой теориями заключается в рассмотрении <l(E_F)>.

Классическая теория (рассматривающая электроны как свободные частицы) видит причину сопротивления в столкновении электронов с узлами кристаллической решётки и <l_{клаасич}>=d (расстояние между узлами решётки).

Квантовая теория рассматривает электроны как частицы с волновыми свойствами, а их движение ¾ как процесс распространения волны Де Бройля: <l_{квантовая}>=(Ed)/(pnkT);

s~<l>~1/T ¾ что согласуется с экспериментальными данными.

<РИС>

ВОПРОС-30 {64-67, к: 126-131}: СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ

Сверхпроводимость ¾ эффект скачкообразного падения сопротивления до нуля при T=T_k (критическая температура).

Сверхпроводимость открыта Киммерлинг-Оннесом в 1911 году, который наблюдал, что при T_k=4,2K электрическое сопротивление ртути скачкообразно падало до нуля.

<РИС>

Сейчас известно ~ 1200 сверхпроводников.

Максимальную T_k=22,3K имеет сплав Na₃Ge (1973 год).

БКШ-ТЕОРИЯ {к: 127-129}

Квантовая теория сверхпроводников создана в 1957 году Бардиным, Купером, Шриффером.

Резкий переход в сверхпроводящее состояние указывает на то, что все электроны проводимости одновременно во всём объёме металла переходят в новое состояние => должна быть корреляция состояний отдельных электронов. Физической причиной такой корреляции может быть взаимодействие электронов, но кулоновские силы приводят к отталкиванию. В данном же случае имеет место притяжение. Качественно механизм сверхпроводимости описывается через электронно-фононное взаимодействие. Это означает следующее: электроны, перемещаясь в решётке, деформируют её своим полем, т.е. смещают ионы из положения равновесия. Обратный переход ионов в исходное состояние сопровождается излучением энергии ¾ рождением фонона. Этот фонон поглощается другими электронами. В результате обмена фононами возникает связанное состояние электронов ¾ куперовская пара. Минимальной энергией такая пара обладает, если импульсы взаимодействующих электронов равны по модули и противоположны по направлению, а спины ¾ антипараллельны.

<РИС>

Пара имеет спин = 0, т.е. она представляет собой бозе-частицу, которая не подчиняется принципу Паули. Они накапливаются в состоянии с минимальным значением энергии ¾ бозе-конденсация.

Куперовские пары, придя в согласованное движение, могут находиться в нём бесконечно долго à сверхпроводимость.

E_max^Ф = ‚w_max = kQ_Д (Q_Д ¾ T Дебая)

Участвовать в образовании куперовских пар могут лишь электроны, которые занимают энергетические уровни в слое kQ_Д ;

При этом, если суммарная энергия двух электронов, находящихся на уровне Ферми, в нормальном состоянии = 2E_F, то в состоянии сверхпроводимости энергия куперовской пары меньше и равна:

E=2E_F-D (D ¾ энергетическая щель)

Куперовские пары при T=0 располагаются на уровне ниже уровня Ферми, который отделён от ближайшего уровня, отвечающего нормальному состоянию, на D.

При T=T_k D=0 => сверхпроводимость исчезает.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКОВ {к: 129}

Джоулевы потери в линиях электропередач, со