Необходимое условие экстремума

Экстремум функции

Необходимое условие экстремума

Функция g(x) в точке Необходимое условие экстремума - student2.ru имеет экстремум(максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точки Необходимое условие экстремума - student2.ru и для всех точек x некоторой области: Необходимое условие экстремума - student2.ru , выполнено соответственно неравенство

Необходимое условие экстремума - student2.ru (в случае максимума) или Необходимое условие экстремума - student2.ru (в случае минимума).

Экстремум функции находиться из условия: Необходимое условие экстремума - student2.ru , если производная существует, т.е. приравниваем первую производную функции к нулю.

Достаточное условие экстремума

1) Первое достаточное условие:

Если:

а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки Необходимое условие экстремума - student2.ru такой, что первая производная в данной точке равна нулю или не существует.

б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции

в) производная сохраняет определенный знак справа от точки Необходимое условие экстремума - student2.ru и слева от этой же точки, тогда точку Необходимое условие экстремума - student2.ru можно охарактеризовать следующим образом Необходимое условие экстремума - student2.ru

Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.

2) Второе достаточное условие

Если функция g(x) обладает второй производной Необходимое условие экстремума - student2.ru причем в некоторой точке Необходимое условие экстремума - student2.ru первая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точка Необходимое условие экстремума - student2.ru экстремум функции g(x), причем если Необходимое условие экстремума - student2.ru , то точка является максимумом; если Необходимое условие экстремума - student2.ru , то точка является минимумом.

3) Третье достаточное условие

Пусть функция g(x) имеет в некоторой окрестности точки Необходимое условие экстремума - student2.ru N производных, причем значение первых (N - 1)- ой и самой функции в этой точке равно нулю, а значение N-ой производной отлично от нуля. В таком случае:

а) Если N - четно, то точка Необходимое условие экстремума - student2.ru экстремум функции: Необходимое условие экстремума - student2.ru у функции точка максимума, Необходимое условие экстремума - student2.ru у функции точка минимума.

б) Если N - нечетно, то в точке Необходимое условие экстремума - student2.ru у функции g(x) экстремума нет.

Абсолютный экстремум

Наибольшее(наименьшее) значение на сегменте [a;b] непрерывной функции g(x) достигается или в критической точке этой функции(т.е. где производная равна нулю или не существует), или в граничных точках а и b данного сегмента.

Основные понятия.

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

Обычно функция нескольких переменных задается явным аналитическим способом. Например: z=3x+5y2,u=xy+z2 и т.д.

Встречается также и неявное задание таких функций, например: z-2x-sinxy=0.

Упорядоченная пара чисел (x,y) может рассматриваться как точка на плоскости, т.е. Z есть функция точки (x,y).

Чтобы задать функцию z=f(x,y), надо не только указать правило нахождения zпо заданным x и y, но и то множество (называемое областью задания функции) пар значений, которые могут принимать аргументы x и y.

Например, функция z= Необходимое условие экстремума - student2.ru задана только при 1-y Необходимое условие экстремума - student2.ru >0, т.е. внутри эллипса y2+4x2<1 с полуосями, а=0,5 и в=1 не включая точки, лежащие на эллипсе.

Необходимое условие экстремума - student2.ru

Необходимое условие экстремума - student2.ru Необходимое условие экстремума - student2.ru Необходимое условие экстремума - student2.ru Определение. Если каждой совокупности значений переменныхx,y,z…t соответствует определенное значение переменной w, то w называется функцией независимых переменных x,y,z…t и записываетсяw=f(x,y,z…t).

Для функции трех переменных областью определения является упорядоченная тройка чисел (x,y,z), т.е. некоторая совокупность точек пространства. Область определения функции четырех и большего числа переменных не допускает простого геометрического истолкования. Необходимое условие экстремума - student2.ru

Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z=f(x,y), заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, а z=f(x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.

Например, графиком функции z=4-x2-y2 является параболоид.

Необходимое условие экстремума - student2.ru

Функции трех и большего числа переменных не имеют геометрического представления.

2.Непрерывность функции нескольких переменных.

Определение. Число А называется пределом функции f(M), где М(x1,x2,…xn)– точка n-мерного пространства, при стремлении точки М к точке М0(x10,x20,…xn0) любым образом, если для всякого сколь угодно малого Необходимое условие экстремума - student2.ru >0 существует такое число Необходимое условие экстремума - student2.ru >0, что из условия Необходимое условие экстремума - student2.ru < Необходимое условие экстремума - student2.ru , где Необходимое условие экстремума - student2.ru - расстояние между точками М и М0, следует Необходимое условие экстремума - student2.ru < Необходимое условие экстремума - student2.ru .

Обозначается:

А Необходимое условие экстремума - student2.ru .

Пусть z=f(x,y). Придадим x и y приращения Необходимое условие экстремума - student2.ru и Необходимое условие экстремума - student2.ru . Получим приращение Необходимое условие экстремума - student2.ru функции z=f(x,y). Если

Необходимое условие экстремума - student2.ru , (1)

т.е. бесконечно малым аргументам соответствует бесконечно малое приращение функции, то говорят, что функция непрерывна.

Распишем Необходимое условие экстремума - student2.ru x0+ Необходимое условие экстремума - student2.ru y+ Необходимое условие экстремума - student2.ru -f(x0,y0) и положим x0+ Необходимое условие экстремума - student2.ru x=x,y0+ Необходимое условие экстремума - student2.ru ,то выражение(1) можно записать в виде

Необходимое условие экстремума - student2.ru f(x,y)=f(x 0,y0), (2)

т.е. непрерывность функции означает, что ее предел равен ее значению от пределов аргументов.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области. Если в некоторой точке не выполняется условие (2), то эта точка называется точкой разрыва.

3 ПОВТОРНЫЙ ПРЕДЕЛ

- предел функции нескольких переменных, при к-ром предельный переход совершают последовательно по различным переменным. Пусть, напр., функция f двух переменных х и уопределена на множестве вида Необходимое условие экстремума - student2.ru , и пусть х 0, y0 - предельные точки соответственно множеств Xи Y или символы оо (в случае, когда m=1 или n=1, х 0 и соответственно y0 могут быть бесконечностями со знаком: Необходимое условие экстремума - student2.ru ). Если при любом фиксированном Необходимое условие экстремума - student2.ru существует предел

Необходимое условие экстремума - student2.ru (1) и у функции j(у).существует предел

Необходимое условие экстремума - student2.ru

то этот предел наз. повторным пределом

Необходимое условие экстремума - student2.ru (2)

функции f(x, у).в точке ( х 0, у 0). Аналогично определяется П. п.

Необходимое условие экстремума - student2.ru (3)

Если существует (конечный или бесконечный) двойной предел

Необходимое условие экстремума - student2.ru (4)

и при любом фиксированном Необходимое условие экстремума - student2.ru существует конечный предел (1), то существует и П. п. (2) и он равен двойному пределу (4).

Если при каждом Необходимое условие экстремума - student2.ru существует предел (1), а при каждом Необходимое условие экстремума - student2.ru существует предел

Необходимое условие экстремума - student2.ru

и если при Необходимое условие экстремума - student2.ru функция f(x, у).стремится на Y к предельной функции j(у).равномерно относительно у, то оба П. п. (2) и (3) существуют и равны друг другу. Если множества XиYявляются множествами натуральных чисел, то функция f наз. в этом случае двойной последовательностью и значения аргументов пишут в виде индексов:

Необходимое условие экстремума - student2.ru

а П. п.

Необходимое условие экстремума - student2.ru

наз. повторным и пределами двойной последовательности. Понятие П. п. обобщается на случай, когда X, Y и множество значений функции f являются подмножествами нек-рыхтопологич. пространств.

4 ДВОЙНОЙ ПРЕДЕЛ

- 1) Д. п. последовательности, предел двойной последовательности {х тп}, т, n=1, 2, ...,- число а, определяемое следующим образом: для любого е>0 существует такое Ne, что для всех m>Ne и n>Neвыполняется неравенство

Обозначение: Необходимое условие экстремума - student2.ru

Необходимое условие экстремума - student2.ru

Если для любого e>0 существует такое Ne, что для всех m>Ne и n>Ne выполняется неравенство |xmn|>e, то последовательность х тп имеет своим пределом бесконечность: Необходимое условие экстремума - student2.ru

Аналогично определяются бесконечные пределы

Необходимое условие экстремума - student2.ru

Д. п. последовательности является частным случаем Д. п. функции по множеству, а именно в случае, когда это множество состоит из точек плоскости с целочисленными координатами ти п. Поэтому между Д. п. последовательности и ее повторными пределами существует та же связь, что и в общем случае.

2) Д. п. функции - предел функции двух переменных, определяемый следующим образом. Пусть функция f(x, у)определена на множестве Е, расположенном в плоскостиXOY, а ( х 0, у 0)- его предельная точка. Число Аназ. Д. п. функции f(x, у )в точке ( х 0, у 0), или при Необходимое условие экстремума - student2.ru если для любого e>0 существует такое d>0, что для всех точек Необходимое условие экстремума - student2.ru координаты к-рых удовлетворяют неравенствам Необходимое условие экстремума - student2.ru

выполняется неравенство

Необходимое условие экстремума - student2.ru

В этом случае пишут

Необходимое условие экстремума - student2.ru

Используя понятие предела последовательности, определение Д. п. функции можно сформулировать следующим образом:

Необходимое условие экстремума - student2.ru

если для любой последовательности

Необходимое условие экстремума - student2.ru

выполняется условие

Необходимое условие экстремума - student2.ru

Аналогично формулируются определения Д. п. функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также определения бесконечных Д. п. функции.

Существует связь между Д. п. функции и повторным пределом функции в точке (x0, y0) или в Необходимое условие экстремума - student2.ru : пусть х 0 и у 0- предельные точки (конечные или бесконечные) для числовых множеств Xи У, Необходимое условие экстремума - student2.ru Если суще-

ствуетконечный или бесконечный Д. п. функции

Необходимое условие экстремума - student2.ru

и при любом Необходимое условие экстремума - student2.ru существует конечный предел

Необходимое условие экстремума - student2.ru

то существует и повторный предел

Необходимое условие экстремума - student2.ru

и он равен Д. п. функции.

Используя понятие окрестности, определению Д. п. функции можно придать следующий вид: пусть а- предельная точка (х 0, у 0 )множества Еили символ Необходимое условие экстремума - student2.ru , причем в последнем случае множество Енеограничено, А- число или один из символов Необходимое условие экстремума - student2.ru тогда

Необходимое условие экстремума - student2.ru

если для любой окрестности О A точки или символа Асуществует такая окрестность О а числа или символа а, что для всех Необходимое условие экстремума - student2.ru Необходимое условие экстремума - student2.ru выполняется условие Необходимое условие экстремума - student2.ru В этом виде определение Д. п. функции переносится на случай, когда функция f определена на произведении топологич. пространств Xи Y, Необходимое условие экстремума - student2.ru а значения f(x, у )также принадлежат некоторому топологическиму пространству.

34Частные производные.

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных Необходимое условие экстремума - student2.ru в точке Необходимое условие экстремума - student2.ru частные производные определяются так:

Необходимое условие экстремума - student2.ru ,

Необходимое условие экстремума - student2.ru ,

если эти пределы существуют. Величина Необходимое условие экстремума - student2.ru называется частным приращением функции z в точке Необходимое условие экстремума - student2.ru по аргументу Необходимое условие экстремума - student2.ru . Используются и другие обозначения частных производных:

Необходимое условие экстремума - student2.ru , Необходимое условие экстремума - student2.ru , Необходимое условие экстремума - student2.ru , Необходимое условие экстремума - student2.ru ,

Необходимое условие экстремума - student2.ru , Необходимое условие экстремума - student2.ru , Необходимое условие экстремума - student2.ru , Необходимое условие экстремума - student2.ru .

Символы Необходимое условие экстремума - student2.ru , Необходимое условие экстремума - student2.ru , Необходимое условие экстремума - student2.ru , Необходимое условие экстремума - student2.ru как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной).

Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная Необходимое условие экстремума - student2.ru - угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности Необходимое условие экстремума - student2.ru и плоскости Необходимое условие экстремума - student2.ru Необходимое условие экстремума - student2.ru в соответствующей точке.

Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производная Необходимое условие экстремума - student2.ru есть скорость изменения функции Необходимое условие экстремума - student2.ru относительно Необходимое условие экстремума - student2.ru при постоянном Необходимое условие экстремума - student2.ru .

Из определения частных производных следует, что правила вычисления их остаются теми же, что для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.

Пример 1. Если Необходимое условие экстремума - student2.ru , то Необходимое условие экстремума - student2.ru , Необходимое условие экстремума - student2.ru .

Пример 2. Если Необходимое условие экстремума - student2.ru , то Необходимое условие экстремума - student2.ru , Необходимое условие экстремума - student2.ru . Величина Необходимое условие экстремума - student2.ru называется изотермическим коэффициентом упругости идеального газа.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции трех и большего числа независимых переменных.

ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ

функции нескольких переменных - приращение, приобретаемое функцией, когда все аргументы получают (вообще говоря, ненулевые) приращения. Точнее, пусть функция f определена в окрестности точки Необходимое условие экстремума - student2.ru

n-мерного пространства Необходимое условие экстремума - student2.ru переменных х 1,. . ., х п.Приращение

Необходимое условие экстремума - student2.ru

функции f в точке x(0), где

Необходимое условие экстремума - student2.ru

наз. полным приращением, если оно рассматривается как функция n всевозможных приращений Dx1, . . ., Dxnаргументов х 1, . .., х п, подчиненных только условию, что точка x(0)+Dx принадлежит области определения функции f. Наряду с П. п. функции рассматриваются частные приращения Dxkf функции f в точке х (0) по переменной х k, т. е. такие приращения Df, для к-рыхDx уj=0, j=1, 2, . . ., k-1, k+1, . . ., п, k - фиксировано (k=1, 2, . . ., п).

35.

36.ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции y= f(u).

Операция "функция от функции" может проводиться не один раз, а любое число раз.

Установим правило дифференцирования сложной функции.

Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x0 производную Необходимое условие экстремума - student2.ru и принимает в этой точке значение u0 = u(x0), а функция y= f(u) имеет в точке u0 производную y 'u= f'(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже имеет производную, которая равна y 'x= f '(u0)·u '(x0), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Доказательство. При фиксированном значении х0 будем иметь u0=u(x0), у0=f(u0). Для нового значения аргумента x0+Δx:

Δu= u(x0 + Δx) – u(x0), Δy=f(u0+Δu) – f(u0).

Т.к. u – дифференцируема в точке x0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. АналогичноприΔu→0 Δy→0.

По условию Необходимое условие экстремума - student2.ru . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)

Необходимое условие экстремума - student2.ru ,

где α→0 приΔu→0, а, следовательно, ипри Δx→0.

Перепишем это равенство в виде:

Δy= y 'uΔu+α·Δu.

Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx

Необходимое условие экстремума - student2.ru .

По условию Необходимое условие экстремума - student2.ru . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y 'x= y 'u·u 'x . Теорема доказана.

Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.

Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y 'x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем y 'x= y 'u·u 'x . Применяя эту же теорему для u 'x получаем Необходимое условие экстремума - student2.ru , т.е.

y 'x = y 'x· u 'v· v 'x = f 'u (u)·u 'v (v)·v 'x (x).

Примеры.

  1. y = sin x2. Тогда Необходимое условие экстремума - student2.ru .
  2. Необходимое условие экстремума - student2.ru
  3. Необходимое условие экстремума - student2.ru
  4. Необходимое условие экстремума - student2.ru

Производная по направлению

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 24 июля 2012; проверки требуют 2 правки.

У этого термина существуют и другие значения, см. Производная.

В математическом анализе, производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

Рассмотрим функцию Необходимое условие экстремума - student2.ru от Необходимое условие экстремума - student2.ru аргументов в окрестности точки Необходимое условие экстремума - student2.ru . Для любого единичного вектора Необходимое условие экстремума - student2.ru определим производную функции Необходимое условие экстремума - student2.ru в точке Необходимое условие экстремума - student2.ru по направлению Необходимое условие экстремума - student2.ru следующим образом:

Необходимое условие экстремума - student2.ru

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора Необходимое условие экстремума - student2.ru .

Если направление сонаправленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате.

[править]Связь с градиентом

Производную по направлению дифференцируемой по совокупности переменных функции можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:

Необходимое условие экстремума - student2.ru ,

где Необходимое условие экстремума - student2.ru — орт направления. Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлениемградиента функции в данной точке. Также видно, что значение производной по направлению не зависит от длины вектора Необходимое условие экстремума - student2.ru .

Теорема Ньютона — Лейбница

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

(перенаправлено с «Формула Ньютона-Лейбница»)

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.

Если Необходимое условие экстремума - student2.ru непрерывна на отрезке Необходимое условие экстремума - student2.ru и Необходимое условие экстремума - student2.ru — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство Необходимое условие экстремума - student2.ru

Доказательство

Пусть на отрезке Необходимое условие экстремума - student2.ru задана интегрируемая функция Необходимое условие экстремума - student2.ru . Начнем с того, что отметим, что

Необходимое условие экстремума - student2.ru

то есть не имеет никакого значения, какая буква ( Необходимое условие экстремума - student2.ru или Необходимое условие экстремума - student2.ru ) стоит под знаком Необходимое условие экстремума - student2.ru в определенном интеграле по отрезку Необходимое условие экстремума - student2.ru .

Зададим произвольное значение Необходимое условие экстремума - student2.ru и определим новую функцию Необходимое условие экстремума - student2.ru . Она определена для всех значений Необходимое условие экстремума - student2.ru , потому что мы знаем, что если существует интеграл от Необходимое условие экстремума - student2.ru на Необходимое условие экстремума - student2.ru , то существует также интеграл от Необходимое условие экстремума - student2.ru на Необходимое условие экстремума - student2.ru , где Необходимое условие экстремума - student2.ru . Напомним, что мы считаем по определению

Необходимое условие экстремума - student2.ru (1)

Заметим, что

Необходимое условие экстремума - student2.ru

Покажем, что Необходимое условие экстремума - student2.ru непрерывна на отрезке Необходимое условие экстремума - student2.ru . В самом деле, пусть Необходимое условие экстремума - student2.ru ; тогда

Необходимое условие экстремума - student2.ru

и если Необходимое условие экстремума - student2.ru , то

Необходимое условие экстремума - student2.ru

Таким образом, Необходимое условие экстремума - student2.ru непрерывна на Необходимое условие экстремума - student2.ru независимо от того, имеет или не имеет Необходимое условие экстремума - student2.ru разрывы; важно, что Необходимое условие экстремума - student2.ru интегрируема на Необходимое условие экстремума - student2.ru .

Необходимое условие экстремума - student2.ru

На рисунке изображен график Необходимое условие экстремума - student2.ru . Площадь переменной фигуры Необходимое условие экстремума - student2.ru равна Необходимое условие экстремума - student2.ru . Ее приращение Необходимое условие экстремума - student2.ru равно площади фигуры Необходимое условие экстремума - student2.ru , которая в силу ограниченности Необходимое условие экстремума - student2.ru , очевидно, стремится к нулю при Необходимое условие экстремума - student2.ru независимо от того, будет ли Необходимое условие экстремума - student2.ru точкой непрерывности или разрыва Необходимое условие экстремума - student2.ru , например точкой Необходимое условие экстремума - student2.ru .

Пусть теперь функция Необходимое условие экстремума - student2.ru не только интегрируема на Необходимое условие экстремума - student2.ru , но непрерывна в точке Необходимое условие экстремума - student2.ru . Докажем, что тогда Необходимое условие экстремума - student2.ru имеет в этой точке производную, равную

Необходимое условие экстремума - student2.ru (2)

В самом деле, для указанной точки Необходимое условие экстремума - student2.ru

Необходимое условие экстремума - student2.ru Необходимое условие экстремума - student2.ru (1) , Необходимое условие экстремума - student2.ru (3)

Мы положили Необходимое условие экстремума - student2.ru , а так как Необходимое условие экстремума - student2.ru постоянная относительно Необходимое условие экстремума - student2.ru ,TO Необходимое условие экстремума - student2.ru . Далее, в силу непрерывности Необходимое условие экстремума - student2.ru в точке Необходимое условие экстремума - student2.ru для всякого Необходимое условие экстремума - student2.ru можно указать такое Необходимое условие экстремума - student2.ru , что Необходимое условие экстремума - student2.ru для Необходимое условие экстремума - student2.ru .

Поэтому

Необходимое условие экстремума - student2.ru

что доказывает, что левая часть этого неравенства есть о(1) при Необходимое условие экстремума - student2.ru .

Переход к пределу в (3) при Необходимое условие экстремума - student2.ru показывает существование производной от Необходимое условие экстремума - student2.ru в точке Необходимое условие экстремума - student2.ru и справедливость равенства (2). При Необходимое условие экстремума - student2.ru речь здесь идет соответственно о правой и левой производной.

Если функция Необходимое условие экстремума - student2.ru непрерывна на Необходимое условие экстремума - student2.ru , то на основании доказанного выше соответствующая ей функция

Необходимое условие экстремума - student2.ru (4)

имеет производную, равную Необходимое условие экстремума - student2.ru . Следовательно, функция Необходимое условие экстремума - student2.ru есть первообразная для Необходимое условие экстремума - student2.ru на Необходимое условие экстремума - student2.ru .

Это заключение иногда называется теоремой об интеграле с переменным верхним пределом или теоремой Барроу.

Мы доказали, что произвольная непрерывная на отрезке Необходимое условие экстремума - student2.ru функция Необходимое условие экстремума - student2.ru имеет на этом отрезке первообразную, определенную равенством (4). Этим доказано существование первообразной для всякой непрерывной на отрезке функции.

Пусть теперь Необходимое условие экстремума - student2.ru есть произвольная первообразная функции Необходимое условие экстремума - student2.ru на Необходимое условие экстремума - student2.ru . Мы знаем, что Необходимое условие экстремума - student2.ru , где Необходимое условие экстремума - student2.ru — некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве Необходимое условие экстремума - student2.ru и учитывая, что Необходимое условие экстремума - student2.ru , получим Необходимое условие экстремума - student2.ru .

Таким образом, Необходимое условие экстремума - student2.ru . Но

Необходимое условие экстремума - student2.ru

Поэтому

Необходимое условие экстремума - student2.ru

Несобственный интеграл

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

· Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

· Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].

Содержание [убрать] · 1 Несобственные интегралы I рода o 1.1 Геометрический смысл несобственного интеграла I рода o 1.2 Примеры · 2 Несобственные интегралы II рода o 2.1 Геометрический смысл несобственных интегралов II рода o 2.2 Пример · 3 Отдельный случай · 4 Критерий Коши · 5 Абсолютная сходимость · 6 Условная сходимость · 7 См. также · 8 Список используемой литературы

[править]Несобственные интегралы I рода

Пусть Необходимое условие экстремума - student2.ru определена и непрерывна на множестве от Необходимое условие экстремума - student2.ru и Необходимое условие экстремума - student2.ru . Тогда:

1. Если Необходимое условие экстремума - student2.ru , то используется обозначение Необходимое условие экстремума - student2.ru и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае Необходимое условие экстремума - student2.ru называется сходящимся.

2. Если не существует конечного Необходимое условие экстремума - student2.ru ( Необходимое условие экстремума - student2.ru или Необходимое условие экстремума - student2.ru ), то интеграл Необходимое условие экстремума - student2.ru называется расходящимся к Необходимое условие экстремума - student2.ru , или просто расходящимся.

Пусть Необходимое условие экстремума - student2.ru определена и непрерывна на множестве от Необходимое условие экстремума - student2.ru и Необходимое условие экстремума - student2.ru . Тогда:

1. Если Необходимое условие экстремума - student2.ru , то используется обозначение Необходимое условие экстремума - student2.ru и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае Необходимое условие экстремума - student2.ru называется сходящимся.

2. Если не существует конечного Необходимое условие экстремума - student2.ru ( Необходимое условие экстремума - student2.ru или Необходимое условие экстремума - student2.ru ), то интеграл Необходимое условие экстремума - student2.ru называется расходящимся к Необходимое условие экстремума - student2.ru , или просто расходящимся.

Если функция Необходимое условие экстремума - student2.ru определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

Необходимое условие экстремума - student2.ru , где с — произвольное число.

[править]Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

[править]Примеры

Необходимое условие экстремума - student2.ru

[править]Несобственные интегралы II рода

Пусть Необходимое условие экстремума - student2.ru определена на Необходимое условие экстремума - student2.ru , терпит бесконечный разрыв в точке x=a и Необходимое условие экстремума - student2.ru . Тогда:

1. Если Необходимое условие экстремума - student2.ru , то используется обозначение Необходимое условие экстремума - student2.ru и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.

2. Если Необходимое условие экстремума - student2.ru или Необходимое условие экстремума - student2.ru , то обозначение сохраняется, а Необходимое условие экстремума - student2.ru называется расходящимся к Необходимое условие экстремума - student2.ru , или просто расходящимся.

Пусть Необходимое условие экстремума - student2.ru определена на Необходимое условие экстремума - student2.ru , терпит бесконечный разрыв при x=b и Необходимое условие экстремума - student2.ru . Тогда:

1. Если Необходимое условие экстремума - student2.ru , то используется обозначение Необходимое условие экстремума - student2.ru и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.

2. Если Необходимое условие экстремума - student2.ru или Необходимое условие экстремума - student2.ru , то обозначение сохраняется, а Необходимое условие экстремума - student2.ru называется расходящимся к Необходимое условие экстремума - student2.ru , или просто расходящимся.

Если функция Необходимое условие экстремума - student2.ru терпит разрыв во внутренней точке Необходимое условие экстремума - student2.ru отрезка <

Наши рекомендации