Исследование динамики вращательного движения на маятнике Обербека

Цель работы: проверка основного уравнения динамики вращательного движения, определение момента инерции маятника Обербека.

Теоретическое введение

При вращении тела вокруг закрепленной оси все его точки описывают окружности различного радиуса и, следовательно, имеют различные перемещения, скорости и ускорения. Тем не менее можно описать вращательное движение всех точек тела одинаковым образом. Для этого используют следующие кинематические характеристики движения: угол поворота , угловую скорость и угловое ускорение . Эти характеристики будут одинаковы для любой точки абсолютно твердого тела. Модуль вектора поворота равен величине угла поворота Δφ; вектор поворота направлен по оси вращения по правилу буравчика (правого винта).

Угловая скорость тела характеризует быстроту вращения. Она равна отношению вектора элементарного угла поворота тела к продолжительности этого поворота:

. (8.1)

Быстроту изменения угловой скорости во времени характеризует угловое ускорение

. (8.2)

При возрастании угловой скорости ω угловое ускорение совпадает с ней по направлению, при убывании – направлено в противоположную сторону.

Найдем связь между линейными и угловыми величинами. Величина линейного перемещения точки, вращающейся по окружности радиуса :

. (8.3)

Разделив обе части уравнения (8.3) на , получим: . Так как производная пути по времени – это величина скорости: , а (8.1), то:

. (8.4)

Теперь продифференцируем (8.4) по времени: , или:

, (8.5)

где – касательное (тангенциальное) ускорение, определяющее быстроту изменения модуля скорости :

. (8.6)

Динамика твердого тела.

Моментом силы относительно точки О называется физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора , проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор силы :

. (8.7)

Направление момента силы определяется правилом буравчика (рис.8.1), величина момента силы

, (8.8)

где – угол между радиус-вектором точки приложения силы и вектором силы . Момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело вокруг этой оси. Составляющая силы, параллельная закреплённой оси, вращения тела вызвать не может, а напряжения, при этом возникающие в оси, нас не интересуют. Тогда достаточно рассмотреть силы, направления которых перпендикулярны оси вращения ОО’ (рис.8.1). Определим плечо силы относительно оси ОО’ как расстояние от оси вращения до линии действия силы, тогда

, . (8.9)

Более того, поворот тела с закрепленной осью вращения может быть вызван только касательной составляющей силы , причем эта составляющая тем успешнее осуществит поворот, чем больше ее плечо r:

, (8.10)

так как .

Пусть твердое тело разбито на отдельные элементарные массы Δm. Выразим касательную составляющую равнодействующей сил, приложенных к этой точке, по второму закону Ньютона:

. (8.11)

Учитывая (8.5) для касательного ускорения, получим из (8.10) и (8.11):

. (8.12)

Скалярная величина

, (8.13)

равная произведению массы материальной точки на квадрат ее расстояния до оси, называется моментом инерции материальной точки относительно оси.

Векторы и совпадают по направлению с осью вращения, связаны с направлением вращения по правилу буравчика, поэтому равенство (8.12) можно переписать в векторной форме:

. (8.14)

Уравнение (8.14) является основным законом динамики вращательного движения для материальной точки. Соотношение, аналогичное (8.12), можно записать для каждой точки тела, и затем просуммировать по всем точкам, тогда (с учетом того, что угловое ускорение одинаково для всех точек и его можно вынести за знак суммы):

. (8.15)

В левой части равенства стоит сумма моментов всех сил (и внешних, и внутренних), приложенных к каждой точке тела. Но по третьему закону Ньютона силы, с которыми точки тела взаимодействуют друг с другом (внутренние силы), равны по величине и противоположны по направлению и лежат на одной прямой, поэтому их моменты компенсируют друг друга. Таким образом, в левой части (8.15) остается суммарный момент только внешних сил.

Сумма произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от оси вращения называется моментом инерции твердого тела относительно данной оси:

. (8.16)

Моментинерции твердого тела является мерой инертных свойств твердого тела при вращательном движении и аналогичен массе тела во втором законе Ньютона. Он зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси (в направлении, перпендикулярном оси). В случае непрерывного распределения массы сумма в (8.16) сводится к интегралу по всему объему тела:

. (8.17)

Моменты инерции для некоторых однородных тел относительно осей симметрии тел приведены в работе 1-07.

Таким образом, угловое ускорение твердого тела прямо пропорционально суммарному моменту внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения

. (8.18)

Это – основной закон динамики твердого тела. Он аналогичен второму закону Ньютона при поступательном движении

(8.19)

и позволяет определить угловое ускорение твердого тела.

Подсчет момента инерции тела относительно произвольной оси облегчается применением теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями

. (8.20)

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: лабораторная установка, секундомер, штангенциркуль.

r

Маятник Обербека представляет собой свободно вращающуюся на горизонтальной оси крестовину 1 со шкивом 4 радиуса . Схема установки представлена на рис.8.2.

Крестовина состоит из четырех стержней 2, закрепленных под прямым углом к оси и друг к другу. На каждый стержень надето по одинаковому грузу 3, которые можно передвигать вдоль стержня и закреплять в любой точке между его основанием и концом. Масса каждого грузика г. На шкив 4 навита привязанная к нему одним концом нить 5, на другом конце которой подвешивается гиря 7 массы . Нить перекинута через блок 6. В верхнем положении гиря удерживается вручную. Груз 7 освобождают, предоставляя ему возможность свободного падения. Измерения времени падения груза производятся при помощи секундомера, который включают и выключают в соответствующее время.

Методика измерений

Выведем рабочую формулу для определения момента инерции тела.

Если предоставить возможность грузу падать, то это падение будет происходить с ускорением , а уравнением поступательного движения груза на нити будет (по второму закону Ньютона (8.19) в проекции на вертикальную ось):

, (8.21)

где – сила натяжения нити. Отсюда

. (8.22)

Сила натяжения нити сообщает угловое ускорение вращающемуся маятнику. Момент этой силы относительно оси вращения находим из (8.9); так как нить является касательной к шкиву, плечо силы совпадает с радиусом шкива r, и тогда:

. (8.23)

Запишем уравнение вращательного движения маятника (8.18):

. (8.24)

Так как нить нерастяжима и проскальзывания нет, линейное ускорение a груза связано с угловым ускорением шкива соотношением (8.5):

. (8.25)

Движение груза m поступательное без начальной скорости, тогда расстояние (высота ), проходимое грузом за время , равно , откуда находим ускорение:

. (8.26)

Решая совместно (8.24), (8.25) и (8.26), находим момент инерции маятника

, (8.27)

а также выражение для углового ускорения

(8.28)

и момента силы

. (8.29)

Порядок выполнения работы

Задание 1

а) Определение углового ускорения маятника Обербека и момента силы натяжения;

б) проверка основного закона динамики вращательного движения:

(при ). (8.30)

1. Измерьте штангенциркулем диаметр шкива 4 и найти его радиус .

2. Закрепите грузы на концах крестовины в крайних положениях. Добейтесь равновесия крестовины при любом её повороте.

3. Положите на тарелочку гирьку массой (около 100 г).

4. Вращая крестовину рукой, намотайте нить на шкив.

5. Зафиксируйте тарелочку с грузом на высоте h=0.5÷0.8 от наинизшего положения. Запишите величину h в таблицу 8.1.

6. Освободв груз, измерьте время его опускания.

7. Повторите измерение времени для одной и той же высоты пять раз, рассчитайте среднее время и все результаты запишите в таблицу 8.1.

Таблица 8.1.

, , ,
№	m1 = кг	m2 = кг
t1, с	Δt1i	, с-2	, Н.м	, кг.м2	t2, с	ε2, с-2	М2, Н.м	, кг.м2
	t1ср.=…	Σ(Δt1i)2=…
Δt1=…

8. Повторите измерения (пункты 4÷6) с массой (150÷200 г), заменив гирьки на тарелочке.

9. Рассчитайте угловые ускорения и по формуле (8.28), найдите их отношение.

10. Рассчитайте моменты сил и по формуле (8.29), найдите их отношение.

11. Рассчитайте момент инерции в каждой серии опытов по формуле (8.27) или из (8.14): , . Рассчитайте среднее значение .

12. Оцените погрешности определения , и для первой серии опытов.

13. Все результаты занесите в таблицу 8.1.

14. Сравнивая и , проверьте соотношение и сделайте вывод.

Замечание 1: погрешность времени рассчитывается по стандартной методике расчета погрешностей случайной величины:

, (8.31)

где коэффициент Стьюдента для числа опытов n=5 и доверительной вероятности α=0.95 равен: t_{n α}=2.78; Δt_i=|t_ср.- t_i|.

Замечание 2: погрешности ε и М рассчитываются, исходя из формул (8.28) и (8.29) соответственно, по стандартной методике расчета погрешностей при косвенных измерениях:

,

где , , .

,

где производные равны:

, , , .

Замечание 3: погрешность рассчитывается, исходя из формулы (8.14) по стандартной методике расчета погрешностей при косвенных измерениях:

.

Задание 2. Проверка теоремы Штейнера.

1. Оставив грузы на концах стержней, измерьте расстояние R₁ от центра тяжести грузов на стержнях до оси вращения.

2. Занесите в таблицу 8.2 из таблицы 8.1 значения времени .

Таблица 8.2

	, m1 = кг
№	Грузы на концах стержней R1=…м	Грузы посередине стержней R3=…м
t1, с	, кг.м2	t3, с	, кг.м2
	t1ср.=…		t3ср.=…

3. Положите на тарелочку гирьку массой .

4. Передвиньте грузы на середину стержней, измерьте расстояние от центра тяжести грузов на стержнях до оси вращения.

5. Повторите измерения времени движения груза 5 раз (аналогично заданию 1), рассчитайте среднее время и момент инерции крестовины для нового положения грузиков на стержнях по формуле (8.27).

6. Все результаты занесите в таблицу 8.2.

7. Рассчитайте изменение момента инерции маятника Обербека при передвижении грузов с конца стержней на середину по формуле (8.32).

, (8.32)

где m₀ = 0.12 кг.

8. Сравните изменение момента инерции маятника Обербека, рассчитанного с использованием теоремы Штейнера по формуле (8.32), и полученного экспериментально по данным табл. 8.2:

.

9. Сделайте выводы.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение углового перемещения, угловой скорости и ускорения. Как направлены эти вектора?

2. Запишите формулы, связывающие линейные и угловые величины перемещения, скорости, ускорения.

3. Что такое момент силы относительно точки? Относительно оси? От чего он зависит? Как направлен вектор момента силы?

4. Что такое момент инерции материальной точки; твердого тела? От чего он зависит?

5. Сформулируйте и докажите основной закон динамики вращательного движения (8.18).

6. Сформулируйте теорему Штейнера и покажите, где в работе она используется.

7. Как и почему изменяется время движения гири, если грузы на спицах передвинуть ближе к оси вращения?

8. При каком расположении грузов на крестовине их можно считать точечными, при каком – нельзя?

9. Выведите формулы (8.27), (8.28), (8.29).

10. Докажите (8.32).

Используемая литература

[5] §1.5; 2.8; 3.2; 4.8; 7.1; [3] §2.4; 4.1; 4.2; 4.3; 5.3; 5.6; [1] § 3-5, 9, 36-39; [6] §1.2; 1.4; 1.9-1.13; 1.19; 1.31-1.34; [7] §2-7; 16-19.

Лабораторная работа 1-09