Определение отношения теплоемкостей газа методом адиабатического расширения

Цель работы: определить отношение теплоемкостей газа методом адиабатического расширения.

Приборы и принадлежности: установка ФПТ1-6 (закрытый стеклянный баллон, U- образный водяной манометр, насос).

Теоретические сведения

Всякое тело, состоящее из большого числа частиц, называется макроскопической системой. Ее размеры всегда значительно больше размеров атомов и молекул. Термодинамика, как раздел физики, изучает закономерности теплового движения в равновесных макроскопических системах и процессы перехода от одних равновесных термодинамических состояний к другим.

Под термодинамической системойпонимают совокупность макроскопических тел, которые взаимодействуют и обмениваются энергией как между собой, так и с другими телами (внешней средой). Ее состояниезадается термодинамическими параметрами (параметрами состояния)– совокупностью физических величин, характеризующих свойства термодинамической системы. Обычно в качестве параметров состояния выбирают температуру (T), давление (p), объем (V). Равновеснымназывается такое состояние системы, при котором все ее параметры имеют определенные значения, остающиеся неизменными сколь угодно долго при постоянных внешних условиях.

Между этими параметрами существует функциональная зависимость: при изменении одного из них меняются другие. Эта зависимость выражается соотношением, называемым уравнением состояния. Для идеального газа, простейшей термодинамической системы, уравнение состояния получено на основе двух опытных газовых законов: Бойля-Мариотта и Гей-Люссака.

Идеальный газ - это разреженный газ, в котором взаимодействие между молекулами не учитывается, столкновения их считаются абсолютно упругими, а объем молекул бесконечно мал по сравнению с объемом, занимаемым газом. Уравнение состояния идеального газа- это уравнение Клайперона-Менделеева, которое для газа массой m с молекулярной массой М, имеет вид:

.

Для газа массой, равной его молекулярному весу, т.е. для одного моля газа (n = 1моль):

,

где R ˗ универсальная постоянная, составляющая 8,314 Дж/(моль К).

Реальные газы при нормальных условиях могут быть с достаточной степенью точности описаны с помощью уравнений для идеального газа.

Первое начало термодинамики представляет собой принцип сохранения энергии для термодинамических систем, полученный на основе многократных измерений соотношения между количеством теплоты, получаемым за счет работы, и ее величиной. Количество теплоты dQ, сообщенное системе в ходе теплообмена, идет на приращение ее внутренней энергии (кинетической энергии молекул) dU и совершение работы над внешними телами dA:

.

В отличие от твердых и жидких тел газы могут значительно изменять свой объем. При этом совершается механическая работа. Если объем газа изменился на некоторую малую величину dV, то он совершил работу dА, равную произведению pdV. При расширении газа работа положительна, при сжатии – отрицательна. В общем случае при переходе из некоторого начального состояния (1) в конечное состояние (2) работа рассчитывается по формуле

.

Она численно равна площади фигуры под кривой, описывающей процесс на (p,V) ˗ диаграмме. Величина работы зависит от того, как осуществлялся переход из начального в конечное состояние.

Процесс в термодинамике определяется как переход системы из одного состояния в другое. Для газа, например, это переход из состояния, определяемого параметрами p₁,V₁,T₁ в состояние с параметрами p₂,V₂,T_2. Процессы, в которых один из параметров остается неизменным, называют изопроцессами.

Изобарныйпроцесс – это процесс квазистатического расширения или сжатия вещества (в данном случае - идеального газа), происходящий при постоянном давлении p. На плоскости (V, T) изобарные процессы при разных значениях давления изображаются семейством прямых линий V ~ T (закон Гей-Люссака). Для одного моля идеального газа: const Работа газа выражается соотношением:

.

Первое начало термодинамики можно записать в виде

.

При изобарном расширении Q > 0, т.е. тепло поглощается, газ совершает положительную работу. При изобарном сжатии Q < 0.

Изотермический процесс – это процесс квазистатического расширения или сжатия вещества, находящегося в контакте с тепловым резервуаром (Т=const). На плоскости (p,V) эти процессы при различных значениях температуры Т изображаются семейством гипербол p ~ (закон Бойля-Мариотта). Для одного моля идеального газа: const . Работа для молей ν газа при изменении объема от V₁ до V₂ может быть найдена по формуле

.

Так как внутренняя энергия U идеального газа зависит только от температуры, первое начало термодинамики для изотермического процесса запишется в виде: dQ = dA. Количество теплоты dQ, полученное от теплового резервуара, идет на совершение работы dA. В случае сжатия работа внешних сил, произведенная над газом, превращается в тепло, поглощаемое тепловым резервуаром.

Изохорныйпроцесс – это процесс квазистатического нагревания или охлаждения вещества (в данном случае - идеального газа), происходящий при постоянном объеме V. На плоскости (p,T) изохорические процессы при разных значениях объема изображаются семейством прямых линий p ~ T (закон Шарля). Для одного моля идеального газа: const . В изохорном процессе газ не совершает работу (А=0). Первое начало термодинамики в этом случае записывается в виде

,

где U(T₁), U(T₂) – внутренняя энергия газа в начальном и конечном состояниях. При изохорном нагревании тепло поглощается газом (dQ > 0), и его внутренняя энергия увеличивается. При охлаждении тепло отдается внешним телам (dQ < 0), и внутренняя энергия газа уменьшается.

Тепловые свойства однородных тел в термодинамике характеризуются теплоемкостью.

Удельной теплоемкостью вещества С_уд называется физическая величина, численно равная количеству тепла, которое надо сообщить единице массы этого вещества, чтобы увеличить его температуру на 1°С.

Для газов удобно пользоваться молярной теплоемкостью С_м, которая характеризуется количеством тепла, необходимым для нагревания одного моля вещества на 1°С. Очевидно, .

Величина теплоемкости газа зависит от его химического состава и вида термодинамического процесса, изменяющего состояние газа. Выясним эту зависимость с помощью уравнения состояния идеального газа и первого начала термодинамики. Пусть C_v и C_p - молярная теплоемкость газа в изохорном процессе (при постоянном объеме) и в изобарном процессе (при постоянном давлении) соответственно. Между этими параметрами существует соотношение Майера:

= .

Физический смысл R состоит в том, что она численно равна работе, которую совершает 1 моль газа в результате его расширения при постоянном давлении с повышением температуры на 1°С.

Если учесть, что внутренняя энергия моля идеального газа определяется только температурой и числом степеней свободы (i) молекул, входящих в состав этого газа, то получаем:

,

.

Отношение является константой (в определенном диапазоне температур), называемой показателем адиабаты.

Формула устанавливает связь показателя адиабаты g и числа степеней свободы i молекулы газа.

Адиабатическимназывается процесс, происходящий без теплообмена системы с внешней средой (dQ = 0). Отсюда следует, что при адиабатическом процессе работа может производиться лишь за счет изменения внутренней энергии системы: .

Для протекания адиабатического процесса система должна быть окружена абсолютно нетеплопроводными стенками. Но так как этого до­стичь нельзя, то всякий реальный процесс может происходить лишь как более или менее точное приближение к адиабатическому. Практически близкими к адиабатическому оказываются процессы, протекающие настолько быстро, что теплообмен с внешней средой не успевает произойти.

Уравнение адиабаты (уравнение Пуассона):

const. (1)

Диаграмма данного процесса в координатах (p,V) имеет вид гиперболы, более крутой, чем гипербола изотермического процесса. Это объясняется тем, что при адиабатическом сжатии увеличение давления газа обусловлено не только уменьшением его объема, как при изотермическом сжатии, но и повышением температуры.

Работа, совершаемая газом в ходе данного процесса, вычисляется по формуле

,

где .

Непосредственное экспериментальное определение теплоемкостей газа С_р и C_v затруднительно, т.к. они составляют ничтожную долю теплоемкости сосуда, заключающего газ. Обычно измеряют , которое входит в уравнение Пуассона. Поэтому в настоящей работе для определения γ предлагается метод адиабатического расширения газа (метод Клемана-Дезорма).

Описание установки

Используемая установка (рис.1) состоит из баллона с газом, соединенного с манометром и насосом (микрокомпрессором). Если при помощи насоса накачать в баллон некоторое количество воздуха, то его давление и температура повысятся. На диаграмме (рис.2) этот процесс представляется изотермой М₃М₁. После накачивания вследствие теплообмена с окружающей средой температура воздуха в баллоне через некоторое время сравняется с температурой окружающей среды. Давление p₁, установившееся в баллоне, больше атмосферного на величину давления столба жидкости высотой h₁, определяемую разностью уровней жидкости в коленах манометра.

Рис. 1	Рис. 2

Если обозначить через m массу воздуха в баллоне при атмосферном давлении, то при давлении p₁ воздух займет меньший объем, чем объем сосуда. Обозначим этот объем через V_1. Тогда состояние воздуха массой m внутри баллона будет характеризоваться параметрами p₁,V₁, Т₁ = Т_комн. На рис.2 данному состоянию соответствует точка M₁. Если открыть на короткое время клапан (пневмотумблер), то воздух в баллоне расширится. Давление внутри баллона в конце расширения равно атмосферному (p₀), объем рассматриваемой массы воздуха равен объему сосуда V₂.

Так как процесс быстрого расширения воздуха можно считать адиабатическим, то температура Т₂ станет ниже комнатной (работа расширения совершается за счет внутренней энергии газа). Следовательно, в конце адиабатического расширения (точка М₂ на рис.2) параметры будут p₀, V₂, Т₂.

Применяя к этим состояниям уравнение Пуассона (1), получим

. (2)

Закроем клапан. Охладившийся при расширении воздух в баллоне через некоторое время вследствие теплообмена нагреется до комнатной температуры (процесс нагревания является изохорическим). Это приведет к возрастанию давления воздуха до некоторой величины p₂. Поэтому давление будет больше атмосферного на величину давлениястолба h₂, определяемую разностью уровней жидкости в коленах мано­метра. Параметры этого состояния: p₂, V₂, Т₁ = Т_комн (точка М₃).

Начальное и конечное состояния газа наблюдаются при одинаковой температуре, поэтому на основании закона Бойля-Мариотта можно записать:

.

На графике (рис.2) показаны процессы перехода газа из одного состояния в другое. Переход М₁М₂ - адиабата, М₂М₃ - изохора, М₁М₃ -изотерма.

Найдем значение γ. Для этого обе части уравнения (2) возведем в степень γ:

. (3)

Затем разделим уравнение (3) на уравнение (2) и полученное выражение прологарифмируем.

.

Зная, что p₀ – атмосферное давление, а давления p₁ и p₂ превышают атмосферное соответственно на величину давления столбов жидкости в манометре высотой h₁ и h₂, т.е. p₁ = p₀ + ρgh₁, p₂ = p₀ + ρgh₂, где ρ – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения, получаем:

. (4)

Формула (4) является расчетной для определения γ. Разности уровней жидкости h₁ и h₂ измеряются непосредственно из опыта.

Порядок выполнения работы

1. Включить сеть (тумблер 1).

2. Проверить закрытие воздушного клапана (повернуть красное колесико по часовой стрелке до щелчка).

3. Включить тумблером 2 микрокомпрессор (насос), накачивающий воздух в баллон и выждать, пока разность уровней жидкостей в коленах манометра не составит 15-20см. Выключить компрессор и выждать 1-2 минуты, пока положение уровней жидкости в манометре перестанет изменяться. (При накачивании воздух, сжимаемый под поршнем насоса, нагревается. Вследствие теплообмена с окружающей средой с течением времени происходит понижение температуры воздуха в баллоне и, вместе с этим, понижение уровней жидкости). Измерить h₁ (разность высот жидкости в коленах манометра).

4. После замера высоты h₁ повернуть красное колесико на ¼ оборота по часовой стрелке (не до конца). При этом баллон соединяется с атмосферой и уровни жидкости в коленах манометра выравниваются.

5. После выравнивания уровней жидкости красное колесико повернуть по часовой стрелке до щелчка (до конца). При этом баллон перекрывается от атмосферного воздействия. Выждать 1-2 минуты, пока положение уровней жидкости в манометре перестанет изменяться (охлажденный при адиабатическом расширении воздух в баллоне будет нагреваться до комнатной температуры, что вновь приведет к изменению уровней жидкости в манометре), измерить разность высот жидкости в коленах манометра h₂.

6. Повторить пятикратно измерения разности высот h₁ и h₂. Результаты измерений записать в табл.

7. Вычислить показатель адиабаты по формуле (4) для каждого случая.

8. Рассчитать среднюю величину показателя адиабаты и абсолютную ошибку измерений. Результаты расчетов занести в табл.

Таблица

I	h1	h2
			=	=

9. Представить результаты измерений в виде и сделать выводы.

Контрольные вопросы

1. Какой газ называют идеальным? При каких условиях формулы, полученные для него, можно использовать для расчета характеристик реального газа?

2. Запишите уравнение состояния идеального газа. Получите из него уравнения изопроцессов. Нарисуйте PV-диаграммы этих процессов.

3. Сформулируйте первое начало термодинамики.

4. Что такое удельная и молярная теплоемкости? Как они взаимосвязаны?

5. Что такое число степеней свободы? Как подсчитать его для одноатомной и многоатомной молекулы газа?

6. Напишите формулы для расчета теплоемкости идеального газа при постоянном объеме и постоянном давлении.

7. Напишите соотношение Р.Майера для удельных теплоемкостей. Объясните физический смысл постоянной R и укажите её размерность.

8. Дайте определение адиабатического процесса. Напишите уравнение Пуассона для него.

9. Что такое показатель адиабаты? Напишите формулу для его расчета через число степеней свободы молекулы.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №10

ЦИКЛ КАРНО

Цель работы: изучение работы идеальной машины Карно.

Приборы и принадлежности: компьютер, CD-диск "Открытая физика"

Теоретические сведения

Основной темой термодинамики, во времена ее формирования как науки, являлось превращение теплоты в работу.

Поэтому все полученные закономерности основаны на обобщении опыта по созданию многочисленных тепловых машин и вечного двигателя (перпетуум-мобиле). Эти выводы сформулированы в виде основных законов (начал) термодинамики.

С одной стороны, первое начало термодинамики гласит о том, что количество теплоты, сообщаемое системе, затрачивается на приращение внутренней энергии системы и совершение системой работы над внешними телами:

.

С другой стороны, это говорит о том, что вечный двигатель первого рода, т.е. такой периодически действующий двигатель, который совершал бы работу в большем количестве, чем получаемая им извне энергия, невозможен.

Из этого следует то, что тепловой двигатель лишь получает извне тепловую энергию, совершая при этом какую-то механическую работу. Причем из определения двигателя следует также, что данное превращение должно происходить многократно и без изменений в конструкции двигателя.

Другими словами, всякий двигатель представляет собой систему, многократно совершающую некий круговой процесс (цикл).

Круговым процессом (циклом) называется процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное.

Рис. 1

Рассмотрим цикл, совершаемый некоторой тепловой машиной, рабочим телом в которой является идеальный газ (рис. 1). Этот цикл можно разбить на два процесса: (1-2) – расширение; (2-1) – сжатие. Напомним, что площадь под кривой на этом графике соответствует работе газов. Из рисунка видно, что, во-первых, работа расширения (1-2) положительна, а работа (2-1) сжатия – отрицательна.

Во-вторых, работа расширения (площадь под кривой (1-2)) больше, чем работа сжатия (площадь под кривой (2-1)). Из этого следует, что общая работа за весь цикл будет больше нуля.

>0,

где А – работа за весь цикл, А₁₂, А₂₁ – работа газа, затрачиваемая на расширение и сжатие соответственно.

Если за цикл совершается положительная работа (цикл протекает по часовой стрелке), то он называется прямым, а если отрицательная (цикл протекает против часовой стрелки) – обратным.

Процесс (1-2) (рис.1) происходит благодаря получению извне теплоты Q₁, а процесс (2-1) сопровождается потерей теплоты Q₂. Совершаемую работу вычисляют как

.

КПД определяют как

. (1)

Из рис. 1 следует, что т.к. тепловая машина работает по циклу, то процесс (2-1) необходим для возвращения рабочего тела в исходное состояние. И этот процесс сопровождается потерей теплоты Q₂. Следовательно, КПД не может быть равным 1.

Поэтому второе начало термодинамики в одной из формулировок гласит: невозможен вечный двигатель второго рода, т.е. такой периодически действующий двигатель, который получал бы тепло от одного резервуара и превращал это тепло полностью в работу.

Рис. 2

Другими словами, теплота Q2 теряется не из-за несовершенства конструкции теплового двигателя, а из-за того, что требуется энергия для возвращения рабочего тела (идеального газа) в первоначальное состояние (состояние 1 на рис. 1). Поэтому для функционирования тепловой машины необходимо наличие двух тепловых резервуаров. От одного из них, имеющего более высокую температуру Т1 и называемого нагревателем, двигатель получает в ходе цикла теплоту Q1, а второму, имеющему более низкую температуру Т2 и называемому холодильником, двигатель отдает тепло Q2 (рис. 2).

Основываясь на втором начале термодинамики, французский физик и инженер Сади Карно (1796-1832) вывел теорему, носящую теперь его имя. Она гласит: из всех периодически действующих тепловых машин, имеющих одинаковые температуры нагревателей и холодильников, наибольшим КПД обладают обратимые машины; при этом КПД машин, работающих при одинаковых температурах нагревателей и холодильников, равны друг другу и не зависят от природы рабочего тела.

Карно рассмотрел наиболее экономичный обратимый цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, и называемый циклом Карно. Рассмотрев прямой цикл с идеальным газом в качестве рабочего тела, он вывел формулу расчета КПД данной машины (идеальной машины, машины Карно):

. (2)

Причем теплота Q₁ равна работе А₁₂, совершенной после первого изотермического расширения газа от объема V₁ до объема V₂ , и может быть найдена по формуле

. (3)

Исходя из формул (1), (2) и (3) возможно найти работу А, совершаемую газом за весь цикл:

А = η Q₁. (4)

Цикл Карно графически представлен на рис. 3:

Рис. 3

Порядок выполнения работы

1. Включить компьютер.

2. Найти на рабочем столе компьютера ярлык "Открытая физика" и двойным нажатием левой кнопки мыши войти в программу.

3. Выбрать раздел "Молекулярная физика" и войти в раздел щелчком левой кнопки мыши (или нажав клавишу "Enter").

4. В открывшемся окне с помощью мыши или вертикальных стрелок на клавиатуре выбрать демонстрацию "Цикл Карно" и открыть ее щелчком левой кнопки мыши.

Рис. 4

5. В образовавшемся окне (рис. 4) вы можете изначально установить параметры цикла Карно.

6. Нажмите кнопку «Выбор». С помощью кнопок задать температуру Т₁ (температуру нагревателя). Нажать кнопку «Старт». Внесите в табл. результаты опыта (Т₁ и ). Зарисовать с экрана график цикла Карно.

7. Повторите пункт 6 еще два раза, задав различные значения Т₁. Зарисовать с экрана график цикла Карно.

Таблица

Т1, К	Т2, К	V1, м3	V2, м3		Q1, Дж	A, Дж

8. Нажмите кнопку «Выбор». С помощью кнопок задать температуру Т₂ (температуру холодильника). Нажать кнопку «Старт». Внесите в табл. результаты опыта. Зарисовать с экрана график цикла Карно.

9. Повторите пункт 8 еще два раза, задав различные значения Т₂. Зарисовать с экрана график цикла Карно.

11. Рассчитать по формулам 3 и 4 значения Q₁ и A для количества вещества 1 моль.

12. Сделать выводы по проделанной работе.

Контрольные вопросы

1. Какие процессы называют обратимыми? Равновесными?

2. Что такое циклический процесс? Цикл тепловой и холодильной машины, в чем различие?

3. Дать определение первому началу термодинамики.

4. Что такое энтропия? Как она изменяется при различных процессах? Что такое «Тепловая смерть Вселенной»?

5. Дать определение второму началу термодинамики.

6. Вечный двигатель 1-го и 2-го рода. Охарактеризовать причины их невозможности.

7. Тепловая машина, ее принципиальное устройство и КПД.

8. Как изменится КПД тепловой машины, если увеличить температуру нагревателя?

9. Как изменится КПД тепловой машины, если увеличить температуру холодильника?

10. Теорема Карно. Машина Карно и ее КПД.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №11