Изучение электростатического поля

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕМКОСТИ КОНДЕНСАТОРА

С ПОМОЩЬЮ ВОЛЬТМЕТРА

Цель работы: определение емкости конденсаторов и проверка законов последовательного и параллельного соединений конденсаторов.

Приборы и оборудование: источник питания, вольтметр, потенциометр (R), эталонный конденсатор (С_эт), исследуемые кон­денсаторы (С_х1 и С_х2), переключатели.

Теоретические сведения

Опытным путем было установлено, что в природе существует два типа электрических зарядов, условно названных положительными и отрицательны­ми. Одноименные заряды отталкиваются друг от друга, разноименные притя­гиваются.

Р. Милликен доказал, что электрический заряд дискретен, т.е. величина за­ряда любого тела составляет целое число, кратное элементарному электриче­скому заряду е (e=1,6∙10^-19 Кл). Электрон и протон являются соответственно носителями элементарных отрицательного и положительного зарядов.

В результате обобщения опытных данных был сформулирован фундамен­тальный закон природы - закон сохранения заряда: алгебраическая сумма элек­трических зарядов любой замкнутой системы (системы, не обменивающейся зарядами с внешними телами) остается неизменной, какие бы процессы ни происходили внутри нее.

Единица электрического заряда, 1 кулон (Кл), - это электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока в 1 А за время, рапное 1с :

1Кл=1 А∙1с.

Закон взаимодействия неподвижных точечных электрических зарядов был открыт Кулоном: сила взаимодействия F двух точечных зарядов прямо пропор­циональна величине зарядов q₁ и q₂ и обратно пропорциональна квадрату расстояния г между ними:

∙ (1)

где =8,85×10^-12 Ф/м - электрическая постоянная; - диэлектрическая проницаемость среды (безразмерная величина).

Напряженность электрического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку:

. (2)

Направление вектора совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Выражение для определения единицы напряжен­ности электрического поля:

(3)

Графически электростатическое поле изображают с помощью линий нап­ряженности (силовых линий), которые проводят так, чтобы касательные к ним в каждой точке пространства совпадали по направлению с вектором напряженно­сти (рис. I).

Величина

называется потоком вектора напряженности через площадку dS. Здесь - вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нор­малью n к площадке dS ( ).

Электростатические поля подчиняются принципу суперпозиции: напря­женность результирующего поля, созданного системой зарядов, равна гео­метрической сумме напряженностей полей, созданных в данной точке каждым из зарядов в отдельности:

(4)

где - напряженность электростатического поля, созданного i-м зарядом.

Рис. 1

Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме звучит так: поток вектора напряженности электростатического поля через про­извольную замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме за­ключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e₀:

(5)

Из теоремы Гаусса следует, что напряженность электростатического поля между двумя бесконечными параллельными и разноименно заряженными плоскостями в вакууме будет равна

, (6)

где - поверхностная плотность заряда плоскостей.

Если между заряженными плоскостями находится изолятор с диэлектриче­ской проницаемостью , то напряженность поля внутри него уменьшается в раз (рис. 2):

(7)

Электростатическое поле является полем консервативных сил, т.е. работа, совершаемая силами поля по перемещению электрического заряда из одной точки пространства в другую, не зависит от траектории движения заряда, а оп­ределяется только его начальным и конечным положениями. Для такого рода полей можно ввести понятие потенциальной энергии заряда, численно равной работе, совершаемой силами электростатического поля по перемещению его из данной точки пространства в другую (ту, в которой потенциальная энергия заряда равна нулю).

Рис. 2

Как правило, потенциальная энергия заряда, удаленного в бесконечность, считается равной нулю. Поэтому она будет равна

, (8)

где - радиус-вектор; - кулоновская сила; - напряжен­ность электростатического поля; q₀ - электрический заряд.

Если заряд q₀ перемещается из первой точки во вторую(определяются со­ответственно радиус-векторами и то работу, совершаемую силами по­ля, можно найти как разность работ

A (9)

где и ; и - работы, совершаемые силами поля при пе­ремещении заряда из первой и второй точек в бесконечность.

Потенциал – физическая величина, определяемая работой сил поля по пе­ремещению единичного положительного заряда из данной точки в беско­нечность:

. (10)

Единица потенциала - вольт (В): 1 В - потенциал такой точки поля, в ко­торой заряд в 1Кл обладает потенциальной энергией в 1 Дж:

.

Поскольку , то

(11)

Отсюда

(12)

Зная потенциал в каждой точке пространства можно найти напряженность электростатического поля:

(13)

Знак «минус» указывает на то, что вектор напряженности Ё направлен в сторону убывания потенциала.

Потенциал уединенного проводника прямо пропорционален его заряду;

При этом величину (14)

называют электроемкостью уединенного проводника. Единица электроемкости - фарад (Ф): 1 Ф - емкость такого уединенного проводника, потенциал которо­го изменяется на 1В при сообщении ему заряда в 1Кл, т.е.

. (15)

Для накопления значительных зарядов служат конденсаторы, состоящие из двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком. В зависимости от формы обкладок конденсаторы подразделяются на плоские, цилиндрические и сферические. Под емкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению накопленного заряда q к разности потенциалов между обкладками:

(16)

где напряжение между обкладками. Плоский конденсатор обладает емкостью

(17)

где - диэлектрическая проницаемость изолятора; - электрическая постоян­ная; S - площадь обкладки; d - расстояние между обкладками.

Для увеличения емкости и варьирования ее возможных значений конден­саторы соединяют в батареи параллельно или последовательно. У параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов на обкладках одинакова и равна см рис. 3.

Рис. 3

Если емкости отдельных конденсаторов то их заряды равны со­ответственно

(18)

а заряд батареи конденсаторов-

Полная емкость батареи –

, (19)

т.е. при параллельном соединении конденсаторов она равна сумме емкостей от­дельных конденсаторов.

У последовательно соединенных конденсаторов заряды всех обкладок рав­ны по модулю, а разность потенциалов на зажимах батареи, см. рис. 4, равна

. (20)

Причем для любого из рассматриваемых конденсаторов

^.

Рис. 4

С другой стороны,

(21)

откуда , (22)

т.е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются обратные величины емкостей.

Если дана емкость эталонного конденсатора Сэт, то неизвестную емкость другого конденсатора С_х можно определить следующим образом.

Сначала конденсатор С_эт зарядить от источника постоянного тока (рис.5а). При этом накапливается заряд q. С помощью вольтметра измерить напряже­ние на обкладках конденсатора:

Тогда

.

Отсюда

_. (23)

Затем эталонный конденсатор отключить от источника питания и к нему параллельно присоединить конденсатор неизвестной емкости С_х (рис. 5б). Электрический заряд q распределится по конденсаторам С_эт и С_х.

Согласно закону сохранения зарядов в замкнутой системе

(24)

где q₁, q₂- электрические заряды на конденсаторах С_эти С_х.

Рис. 5, а Рис. 5, б

После этого измерить напряжение на обкладках конденсаторов, причем

и .

Отсюда

и . (25)

Поэтому

В результате (26)

Порядок выполнения работы

1. Тумблером S₁ включить установку собранную по схеме (рис. 6).

2. Переключателем S₂ включить напряжение от источника питания на эталонном конденсаторе.

3. Установить движком потенциометра R напряжение U₀=(1±0,2) В. Снять показания вольтметра.

4. Переключателем S₂ отключить эталонный конденсатор от источника питания.

5. Соединить проводниками С_эт и С_х1 параллельно и снять показания вольтметра U₁.

6. Тумблером S₃ разрядить конденсаторы.

7. Подавая на эталонный конденсатор напряжение от 1 В до 3 В, провести измерения 3 раза. Данные занести в таблицу.

8. Для каждой пары значений напряжений U₀ и U₁ найти электроемкость по формуле

.

Затем определить среднюю величину электроемкости С_х1(ср). Результаты вычислений занести в таблицу.

9. По п.п. 3-9 найти электроемкость С_х2.

Таблица

U0	U1	Cx1	U0	U2	Cx2	U0	Uпар	Cпосл	U0	Uпосл	Cпар

10. Соединить конденсаторы С_х1 и С_х2 последовательно (рис. 7).

11. По п.п. 3-9 найти электроемкость батареи С_посл.

12. Соединить конденсаторы С_х1 и С_х2 параллельно (рис. 8).

13. По п.п. 3-9 найти электроемкость батареи С_пар.

По формулам и вычислить емкость батареи последовательно и параллельно соединенных конденсаторов и сравнить результаты с экспериментальными значениями.

Рис. 6

Последовательно   Рис. 7

Параллельно   Рис. 8

=1000 мкФ.

Контрольные вопросы

1. Как взаимодействуют электрические заряды? Закон кулона. Единица электрического заряда в системе СИ.

2. Закон сохранения электрического заряда.

3. Что такое напряженность электрического поля, силовые линии электростатического поля, поток вектора напряженности? В чем состоит принцип суперпозиции электрических полей.

4. Сформулировать теорему Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме. Как определяется напряженность электрического поля между двумя бесконечными параллельными и разноименно заряженными плоскостями?

5. Что такое потенциальная энергия электрического заряда, потенциал данной точки электростатического поля? Как найти работу, совершаемую силами поля по перемещению электрического заряда из одной точки в другую? единица потенциала и напряжения в системе СИ.

6. Какова связь между потенциалом и напряженностью электрического поля в данной точке?

7. Чему равна электроемкости уединенного проводника и конденсатора? Единица электроемкости в системе СИ.

8. Рассказать о параллельном и последовательном соединении конденсаторов. Вывести формулы.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5

КАТУШКИ ИНДУКТИВНОСТИ

Цель работы: определение коэффициента самоиндукции катушки методом измерения ее полного электрического сопротивления (импеданса) по перемен­ному и постоянному току.

Приборы и оборудование: катушка индуктивности (L), переменное сопротивление (R_пер.), источник постоянного тока (ε), миллиамперметр переменного и постоянного тока (мА), вольтметр переменного тока (~V), вольтметр постоянного тока (=V), генератор электрических колебаний (ЗГ), источник постоянного тока (ε).

Теоретические сведения

В пространстве, окружающем электрические токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, называемое магнитным. Наличие его обнаруживается по силовому действию на внесенные проводники или постоянные магниты.

Ампер установил, что сила , с которой магнитное поле действует на элемент проводника с током прямо пропорциональна силе тока I и вектор-ному произведению элемента на магнитную индук­цию :

.

Модуль силы Ампера вычисляется по формуле

,

где - угол между векторами и ; и .

Таким образом, вектор магнитной индукции является силовой характе­ристикой магнитного поля. Последнее изображают с помощью линий магнитной индукции - линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора . Магнитная стрелка устанавливается вдоль касательной к линии магнитной ин­дукции, причем ее северный конец N указывает направление вектора .

Закон Ампера позволяет определить единицу измерения магнитной индукции. Пусть элемент проводника cтоком силой I перпендикулярен линиям магнитной индукции однородного поля. Тогда модуль силы Ампера равен

,

при =π/2 и sin =1.

Откуда .

Единица измерения магнитной индукции - Тесла (Тл).

1 Тесла - магнитная индукция од­нородного поля, действующего с силой в 1Н на каждый метр длины прямоли­нейного проводника, расположенного перпендикулярно линиям магнитной индукции, если по этому про­воднику идет ток силой 1А:

.

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через пло­щадку dS называется скалярная физическая величина, равная

,

где В_n = Вcos - проекция вектора на направление единичного вектора нормали к площадке dS; - угол между векторами и ; - вектор, модуль которого равен dS ( ), а направление совпадает с направлением нормали к площадке dS (рис. 1).

Рис. 1

Для однородного поля и плоской поверхности, перпендикулярной вектору ,

В_n = В = const и Ф=ВS.

Из последней формулы определяется единица измерения магнитно­го потока - Вебер (Вб).

1 Вебер - магнитный поток, проходящий через плоскую по­верхность площадью 1м², перпендикулярную линиям магнитной индукции однородного поля, индукция которого равна 1 Тесле:

1Вб=1Тл 1м².

Теорема Гаусса для магнитного поля: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю, т.е.

.

Эта теорема отражает отсутствие магнитных зарядов, вследствие чего ли­нии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкну­тыми.

Электрический ток, идущий по замкнутому контуру, в окружающем пространстве создает маг­нитное поле, индукция которого, по закону Био-Савара-Лапласа, прямо про­порциональна силе тока. Поэтому магнитный поток Ф пропорционален силе тока I в контуре:

Ф = LI,

где L - коэффициент самоиндукции, или индуктивность контура. Из этого вы­ражения определяется единица измерения индуктивности - Генри (Гн).

1 Генри - индуктив­ность такого контура, магнитный поток самоиндукции которого при силе тока в 1А равен 1 Веберу:

Фарадей открыл закон: при изменении магнитного потока, пронизывающего поверхность, натянутую на замкнутый проводящий контур, в последнем возни­кает электродвижущая сила (ЭДС) индукции:

Знак «минус» в этой формуле является математическим выражением пра­вила Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, при котором создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока.

Таким образом, при изменении силы тока в контуре изменяется и сцеплен­ный с ним магнитный поток и, следовательно, индуцируется ЭДС.

Возникновение ЭДС в проводящем контуре при изменении в нем силы тока на­зывается самоиндукцией.

Применяя к самоиндукции закон Фарадея, получим, что ЭДС самоиндук­ции

Если контур не деформируется, то L=const и

.

Значит, на концах катушки возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая из­менению силы тока.

Определение коэффициента самоиндукции

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из катушки индуктивности L. Катушка имеет активное (омическое) сопротивление R и индуктивное (реактивное) сопротивление ωL, где ω - циклическая частота переменного тока; L - индуктивность катушки. Бу­дем считать, что омическое сопротивление катушки сосредоточено в сопротив­лении R, включенном последовательно с ней (рис. 2). На контакты 1 и 2 подает­ся переменное напряжение ~U с циклической частотой ω.

Пусть в данный момент времени потенциал первого контакта φ₁ больше потенциала второго контакта φ₂. Тогда ток I идет слева направо.

Допустим, что сила тока I увеличивается, т.е.

> 0.

Тогда, согласно закону Фарадея, на концах катушки L возникает ЭДС са­моиндукции, направление которой противоположно направлению тока I в цепи:

.

Если входное напряжение ~U изменяется по гармоническому закону, то

U = U_m cosωt = φ₁ - φ₂ ,

где U_m – амплитуда напряжения.

Рис. 2

Запишем закон Ома для этого неоднородного участка цепи:

. (1)

Тогдаи

(2)

Частное решение дифференциального уравнения (2) имеет вид

,(3)

где I_m – амплитуда силы тока, - начальная фаза колебаний тока.

Найдем первую производную:

. (4)

Выражения (7.3) и (7.4) подставим в формулу (7.2):

,

. (5)

Пусть (6)

и

. (7)

Подставим выражения (6) и (7) в формулу (5):

.

Отсюда

(8)

Равенство (7.8) будет справедливо для любого момента времени t при усло­вии γ-β=0 и γ = β. Тогда из (8) получаем

, (9)

причем

.

Из равенства (9) следует, что

(10)

является полным электрическим сопротивлением (импедансом) участка цепи, включающим активное сопротивление R и индуктивное сопротивление ωL катушки индуктивности.

На практике с помощью вольтметра и амперметра измеряются эффективные (действую­щие) значения переменных напряжений и силы тока, связан­ные с амплитудами следующим образом:

и .

Значит

. (11)

Из выражения (10) получаем

(ωL)²=Z² - R²

и

(12)

Следовательно, измеряя полное электрическое сопротивление Z катушки индуктивности при переменном токе и ее омиче­ское сопротивление R при постоянном токе, можно найти индуктивность ка­тушки L.

Порядок выполнения работы

1. Собрать рабочую схему для определения полного электрического сопротивления Z (импеданса) катушки индуктивности при переменном то­ке (рис. 3).

Рис.3

2. Установить максимальное значение переменного сопротивления R_пер..

3. Включить генератор ЗГ.

4. Изменяя сопротивление R_пер., получить пять значений силы тока I_эфф и измерить соответствующие напряжения U_эфф на катушке индуктивности.

5. Результаты измерений занести в таблицу 1.

Таблица 1

№ опыта	Іэф, А	Uэф, В	Z, Ом	Zср, Ом

7. По формуле (11) вычислить полные сопротивления Z катушки индуктивности и найти их среднее значение Z_ср .

8. Собрать схему для определения омического сопротивления R катушки индуктивности при постоянном токе, рис.4.

9. Изменяя сопротивление R_пер., получить пять значений силы тока I и измерить соответствующие напряжения U на катушке индуктивности.

10 . Результаты измерений занести в таблицу 2.

Таблица 2

№ опыта	І, А	U, В	R, Ом	Rср, Ом

11. Вычислить омические сопротивления R катушки индуктивности и найти их среднее значение R_ср..

12. По формуле

при частоте ν=1000 Гц определить коэффициент самоиндукции L катушки.

Рис. 4

Контрольные вопросы

1.Что такое магнитное поле? Что такое линии индукции магнитного поля?

2. Как формулируется закон Ампера? Единица измерения индукции магнитно­го поля.

3. Дать определение потока вектора магнитной индукции. Единица его измерения.

4. Что такое индуктивность контура? Единица ее измерения.

5. Сформулировать закон Фарадея и правило Ленца.

6. В чем заключается явление самоиндукции? Э Д С. самоиндукции катушки.

7.Явление взаимной индукции. Практическое применение этого явления.

8.Написать уравнения Максвелла в интегральной форме.

9. Вывести рабочие формулы для расчета полного сопротивления (импеданса) и ко­эффициента самоиндукции катушки индуктивности.

ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Цель работы: экспериментальное изучение свойств электростатического поля и построение графика расположения силовых линий при помощи кривых равного потенциала.

Приборы и оборудование: электролитическая ванна, осциллограф, вольт­метр, потенциометр, ключ, электроды различной конфигурации.

Теоретические сведения

Электрическое поле - вид материи, осуществляющий взаимодействие не­подвижных электрических зарядов. Каждый заряд имеет свое электростатиче­ское поле, которое в каждой точке пространства характеризуется вектором на­пряженности и электростатическим потенциалом φ.

Напряженностью электростатического поля в точке называется векторная физическая величина, численно равная отношению силы , действующей на пробный заряд q_o, к величине этого заряда, помещенного в данную точку поля:

. (1)

Если пробный заряд q_o=+l, то .А потому вектор напряженности электростатического поля равен силе, действующей на единичный пробный за­ряд.

Направление вектора совпадает с направлением силы. Из формулы (1) следует, что единица напряженности электрического поля - ньютон на кулон (Н/Кл); 1Н/Кл - напряженность такого поля, которое на точечный заряд в 1Кл действует с силой в 1Н.

Вектор во всех точках поля направлен радиально от заряда, если он по­ложителен, и радиально к заряду, если он отрицателен (рис. 1).

Рис. 1

Электростатическое поле можно изобразить силовыми линиями. Силовой линией, или линией напряженности электростатического поля называется ли­ния, в каждой точке которой вектор напряженности направлен по касательной (рис. 2),

Рис.2

Силовые линии всегда начинаются на поверхности положительно заря­женных тел, а заканчиваются на поверхности отрицательно заряженных тел или уходят в бесконечность.

Если поле создано уединенным точечным зарядом q, то работа, совершае­мая полем при перемещении пробного заряда q_oиз положения 1 в положение 2 (рис. 3), не зависит от траектории перемещения:

. (2)

Рис.3

Из выражения (2) видно, что работа определяется только положением на­чальной 1 и конечной 2 точек. Силы, работа которых не зависит от траектории движения, называются консервативными. В этом случае электрическое поле является потенциальным, а формула принимает вид А_1,2 =-ΔW_p. Знак «ми­нус» означает, что положительная работа совершается самим полем за счет уменьшения энергии

. (3)

Значит, потенциальная энергия двух точечных зарядов, находящихся на расстоянии r,

(4)

Постоянная С=0, т.к. естественно считать, что при

W_p→0.

Величину называют потенциалом поля точечного заряда. Тогда 4яе₀ег

формула (2) принимает вид

А_1,2=q₀(φ₁-φ₂). (5)

Подставив в (4) значения q_o=+l и С=0, получим . Потенциал некоторой точки поля есть физическая величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда, помещенного в эту точку. Потен­циал – энергетическая характеристика поля.

Пользуясь формулами (2), (4) и (5), уравнение работы, совершаемой элек­трическими силами при перемещении заряда q₀ из точки 1 в точку 2, можно за­писать в виде

A_1,2=W_p1-W_p2=q₀(φ₁-φ₂) . (6)

Работа при перемещении точечного заряда равна произведению этого за­ряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках пути.

Если точка 2 лежит в бесконечности, то потенциальная энергия заряда q_o в ней равна нулю (W_p2 =0), а следовательно, и потенциал поля также равен нулю (φ₂ = 0). Тогда согласно (6)

. (7)

Отсюда

. (8)

Поэтому потенциал данной точки поля можно определить как физическую величину, численно равную работе, совершаемой электрическими силами при перемещении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

В системе СИ за единицу потенциала принят вольт (В), т.е. потенциал такой точки поля, для перемещения в которую из бесконечности заряда, равно­го 1 Кл, необходимо совершить работу в 1 Дж: 1 Дж=1Кл·В. Отсюда 1 В=Дж/Кл. Геометрическое место точек поля, обладающих равными потенциа­лами, называется эквипотенциальной поверхностью. Работа при перемещении заряда по ней равна нулю. Этот вывод вытекает из определения работы поля при перемещении в нем заряда: А=q₀(φ₁-φ₂), т.к. φ₁=φ₂.

Силовые линии всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. До­кажем это методом от противного. Пусть Q - часть этой поверхности (рис. 4), В и С - ее точки, а вектор не перпендикулярен Q. Но тогда должна быть E_t -

касательная составляющая вектора , параллельная поверхности Q. Значит, работа на участке ВС отлична от нуля, что невозможно. Следовательно, вектор перпендикулярен эквипотенциальной поверхности.

Рис. 4

Определим связь между напряженностью и потенциалом. С одной сторо­ны, работа при перемещении заряда q₀ с эквипотенциальной поверхности, имеющей потенциал φ, на расположенную поблизости эквипотенциальную по­верхность с потенциалом φ + Δφ по нормали к ней(на расстояние Δn) рассчи­тывается по формуле ΔА = q₀E×Dn (рис. 5).

Рис. 5

Напряженность поля при бесконечно малом перемещении можно счи­тать постоянной. С другой стороны, величину этой работы можно вычислить по формуле (5). Таким образом,

.

Откуда , (9)

или

.

Знак «минус» указывает на то, что вектор напряженности направлен в сто­рону убывания потенциала.

Из формулы (9) следует, что единица напряженности 1Н/Кл=1В/м, где В (вольт) - единица потенциала электрического поля.

Рис. 6

Чтобы с помощью линий напряженности охарактеризовать не только на­правление, но и величину напряженности электрического поля, условились проводить их с определенной густотой (рис.6). Число линий напряженности, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной им, должно быть равно или пропорционально модулю вектора . ЕА<ЕВ.

Число силовых линий пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль n которой образует с направление вектора Е угол a, называется потоком напряженности электрического поля через эту площадку , (рис. 7)