Термодинамические процессы, циклы

Примеры решения задач

20.Азот массой г занимает объем л и находиться под давлением 0 МПа. Сначала этот газ нагревается при неизменном давлении до объема л, а затем при постоянном объеме до давления МПа. Найти:

а) изменение внутренней энергии газа;

б) совершенную системой работу ;

в) количество теплоты , переданной газу;

г) конечную температуру .

Построить график процесса на P – V-диаграмме.

Дано: г л МПа л МПа кг/моль	Решение Анализ условия задачи начнём с построения графика процесса на P – V-диаграмме, учитывая соотношения величин , , , .
а) – ? б) – ? в) – ? г) – ?

Как видно из рисунка, система из состояния 1 переходит в конечное состояние 3 сначала по изобаре 1 – 2, а затем по изохоре 2 – 3. Из графика следует, что работа , совершенная газом в этом процессе, равна площади прямоугольника под изобарой 1 – 2, т. е.

Дж.

Для определения изменения внутренней энергии газа в рассматриеваемом процессе используем уравнение Клапейрона – Менделеева

pV = (1)

и выражение для внутренней энергии двухатомного идеального газа:

(2)

Из уравнений (1) и (2) для U следует

Дж.

Из первого закона термодинамики для количества теплоты , переданного газу, получается:

Дж.

Из уравнения Клапейрона – Менделеева (1) для конечной температуры газа Т₃ имеем:

К.

Ответ: Дж; Дж; Дж; К.

21.Одноатомный газ, имевший при давлении кПа объем м³, сжимался изобарически до объема ,0 м³ , затем – адиабатически сжимался и на последнем участке цикла, расширялся при постоянной температуре до начального объема и давления. Найти теплоту , полученную газом от нагревателя, теплоту , переданную газом холодильнику, работу , совершенную газом за весь цикл, КПД цикла . Изобразить цикл на P – V-диаграмме.

Дано: кПа м3 ,0 м3	Решение Анализ условия задачи начнём с построения графика цикла на P – V-диаграмме, учитывая соотношения величин , , , , .
? ? ? ?

Как видно из рисунка, на первом участке цикла 1 – 2 газ сжимался изобарически, отдавая холодильнику количество теплоты и совершая работу . По первому закону термодинамики для перехода из состояния 1 в состояние 2 можно записать:

, (1)

где – изменения внутренней энергии газа. Выражение для внутренней энергии одноатомного газа имеет вид:

, (2)

где – количество вещества, а уравнение Клапейрона – Менделеева:

(3)

Используем уравнения (2), (3) и тот факт, что работа газа на участке 1 – 2 равна площади прямоугольника (с обратным знаком) под изобарой 1 – 2, для количества теплоты из соотношения (1) получим

Дж.

Знак “минус” показывает, что количество теплоты отдаётся газом холодильнику.

Количество теплоты , которое получает газ от нагревателя на изотерме 3 – 1 при температуре , по первому закону термодинамики равно:

, (4)

где – работа, совершённая газом на участке 3 – 1.

Как известно, работа газа при изотермическом процессе определяется формулой

. (5)

Состояния (3) и (1) находятся на одной изотерме, поэтому

. (6)

В то же время состояния (3) и (2), как видно из рисунка, соответствует одной адиабате, поэтому из уравнения Пуассона следует

(7)

где – показатель адиабаты одноатомного идеального газа . Исключая из уравнений (6) и (7) величины давления и , получим (8)

Используя формулы (3), (5) и (8) для количества теплоты из соотношения (4) имеем

Дж.

Работа , совершённая газом за цикл, как вытекает из первого закона термодинамики, Дж.

Для КПД цикла имеем:

Ответ: Дж; Дж; Дж;

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

2.20. Молекулярный кислород массой m = 250 г, имевший температуру Т₁ = 200 К, был адиабатно сжат. При этом была совершена работа А = 25 кДж. Определить конечную температуру Т₂ газа.

(354 K)

2.21. Газ адиабатически расширяется, изменяя объем в 2 раза, а давление в 2,64 раза. Определить молярные теплоемкости C_p и C_v этого газа.

(C_p = 29,1 Дж/(моль×К), C_v = 20,8 Дж/(моль×К))

2.22. Некоторое количество азота n, имеющего параметры состояния p₁, V₁, T₁, переходит при постоянной температуре в состояние 2, а затем при постоянном объеме – в состояние 3. Определить работу перехода 1 – 3, изменение внутренней энергии газа и теплоту, полученную при переходах, если в конце процесса установилась температура T₃ и давление p₃ = p₁. Изобразить процесс 1 – 3 на диаграмме V-T.

(A_1-3 = nRT₁ln(T₃/T₁); DU_1-3 = (5/2)nR(T₃ – T₁);

Q = nR[(5/2)(T₃-T₁)+T₁ln(T₃/T₁)])

2.23. Азот плотностью r₁ = 1,4 кг/м³ занимает объем V₁ = 5 л при температуре t₁ = 27 °C. Газ адиабатически переведен в состояние с плотностью r = 3,5 кг/м³. Определить температуру газа T₂ в конце перехода и изменение его внутренней энергии. Построить переход на диаграмме S – T.

(T₂ = 433 К; DU = 691 Дж)

2.24. Нагревается или охлаждается идеальный газ, если он расширяется по закону р^1/2×V = const? Изобразите этот закон на диаграмме (V – T). Считая этот процесс политропическим, определить, чему равен показатель политропы h. При расширении газа тепло подводится к нему или отводится от него? Сравнить теплоёмкость С этого процесса с С_V.

(С_V > С)

2.25. Нагревается или охлаждается идеальный газ, если он расширяется по закону р²V = const? Изобразите этот закон на диаграмме (р-Т). Считая этот процесс политропическим, определить чему равен показатель политропы h. При расширении газа тепло подводится к нему или отводится от него? Сравнить теплоёмкость С этого процесса с С_V.

η = ; С>Сv)

2.26. В сосуде вместимостью V = 10 л находится идеальный газ под давлением p₁ = 1,0×10⁵ Па. Стенки сосуда могут выдержать максимальное давление p₂ = 1,0×10⁶ Па. Какое максимальное количество тепла Q можно сообщить газу? Постоянная адиабаты g = 1,4.

(Q = 23 кДж)

2.27. Некоторую массу азота сжали в 5 раз (по объёму) двумя разными способами: один раз изотермически, другой раз адиабатически. Начальное состояние газа в обоих случаях одинаково. Найти отношение соответствующих работ, затраченных на сжатие газа. Изобразить процессы в координатах P – V и Т – S.

(A_Т/A_А = 0,712)

2.28. В бензиновом автомобильном двигателе степень сжатия горючей смеси равна 6,2. Смесь засасывается в цилиндр при температуре t₁ = 15 °C. Найти температуру t₂ горючей смеси к концу такта сжатия. Горючую смесь рассматривать как двухатомный идеальный газ, процесс считать адиабатным.

(324 °С)

2.29. Тепловая машина работает по циклу Карно, КПД которого h = 0,25. Каков будет холодильный коэффициент k машины, если она будет совершать тот же цикл в обратном направлении? Холодильным коэффициентом называется отношение количества теплоты, отнятого от охлаждаемого тела, к работе двигателя, приводящего в движение машину.

(k = 3)

2.30. Один моль одноатомного идеального газа совершает тепловой цикл Карно между тепловыми резервуарами с температурами t₁ = 127 °С и t₂ = 27 °С. Наименьший объем газа в ходе цикла V₁ = 5,0 л, наибольший V₃ = 20 л. Какую работу А совершает эта машина за один цикл? Сколько тепла Q₁ берет она от высокотемпературного резервуара за один цикл? Сколько тепла Q₂ поступает за цикл в низкотемпературный резервуар?

(Q₁ = 3,2×10³ Дж; Q₂ = 2,4×10³ Дж; A = 8,1×10² Дж)

2.31.Трехатомный идеальный газ с жесткой связью между молекуламисовершает цикл Карно, при этом в процессе адиабатного расширения объем газа увеличивается в 4 раза. Определите термический КПД цикла.

( )

2.32. Найти КПД цикла, состоящего из двух изохор и двух изотерм, если в пределах цикла объём изменяется в k раз, а абсолютная температура в t раз. Рабочим веществом является идеальный газ с показателем адиабаты g.

Энтропия

Пример решения задачи

22. При нагревании двухатомного идеального газа ( = 2 моля) его термодинамическая температура увеличилась в 2 раза (n = 2). Определите изменение энтропии, если нагревание происходит: 1)изохорно; 2) изобарно.

Дано: i = 5 = 2,0 моля = 1) V = const 2) p = const	Решение 1)V = const. Из определения энтропии . Изменение энтропии , где – молярная теплоёмкость при постоянном давлении. Так как , то = 28,8 Дж/К 29 Дж/К
? ?

2) р = const.

Учитывая что , где – молярная теплоёмкость при постоянном давлении аналогично п. 1 получим:

= Дж/К.

Ответ: 1) 29 Дж/К; 2) Дж/К.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

2.33. Какое количество тепла Q нужно сообщить 75 г водяных паров, чтобы нагреть их от 100 С до 250 °С при постоянном давлении? Определите изменение энтропии водяного пара.

(Q = 20,8 кДж; DS = 47,5 Дж/К)

2.34. Определить изменение DS энтропии при изотермическом расширении кислорода массой m = 10 г от объема V₁ = 25 л до объема V₂ = 100 л. (Относительная молекулярная масса кислорода 32).

(3,6 Дж/К)

2.35. Найти изменение DS энтропии при нагревании воды массой m = 100 г от температуры t₁ = 0 °C до температуры t₂ = 100 °C и последующим превращении воды в пар той же температуры. Удельная теплоемкость воды C = 4,18 кДж/(кг×К), удельная теплота парообразования воды 2,25×10³ кДж/кг.

(737Дж/К)

2.36. Найти изменение DS энтропии при превращении массы m = 200 г льда, находившегося при температуре t₁ = -10,7 °C в воду при t₂ = 0 °C.

Теплоемкость льда считать не зависящей от температуры. С = 2,1×10³ Дж/(кг×К). Температуру плавления принять равной 273 К.Удельная теплота плавления льда l = 333×10³ Дж/кг.

(DS = m[C×ln(T₂/T₁)+l/T₂] = 261 Дж/К)

2.37. Один киломоль газа изобарически нагревается от 20 до 600 °С, при этом газ поглощает 1,20×10⁷ Дж тепла. Найти число степеней свободы молекулы газа i; построить зависимость энтропии S как функцию от температуры Т газа.

(i = 3)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Электростатика. Диэлектрики

Примеры решения задач

23. По тонкому кольцу равномерно распределен заряд Q = 40 нКл с линейной плотностью = 50 нКл/м. Определить напряженность электрического поля, создаваемого этим зарядом в точке А, лежащей на оси кольца и удаленной от его центра на расстояние, равное половине радиуса.

Дано: Q = 40 нКл = Кл = 50 нКл/м = = Кл/м h =

Напряженность поля, создаваемого этим зарядом

где – электрическая постоянная; – единичный вектор, направленный вдоль r . Разложим вектор на две составляющие: вдоль оси Z, и , перпендикулярную оси z ,т.е.

.

Напряжённость электрического поля в точке А найдём интегрированием

,

где интегрирование ведется по всем элементам заряженного кольца. Заметим, что для каждой пары зарядов dQ и d , расположенных симметрично относительно центра кольца, векторы и , в точке А равны по модулю и противоположны по направлению = – , т.е компенсируют друг друга.

Составляющие для всех элементов кольца сонаправлены с осью z, т.е. = .

Тогда

Так как , ; , то

.

Таким образом .

Поскольку , то радиус кольца .

Тогда .

Значение напряженности на расстоянии z = h = R/2.

= 7000 В/м = 7,9 кВ/м

Ответ: Е = 7,9 кВ/м.

24. Электрическое поле создается бесконечным цилиндром радиусом R, равномерно заряженным с линейной плотность τ. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии и от поверхности этого цилиндра. Решение

Дано R τ

φ1 – φ2 ?

Интегрирал по гауссовой поверности, верхности раскладываем на три интеграла: по верхнему и нижнему основаниям, по боковой поверхности. Интеграл по верхнему основанию , так как угол между вектором элементарной площадки и вектором равен π /2 и cos π /2 = 0. Аналогично для нижнего основания. Остается интеграл по боковой поверхности , здесь угол = 0, cos 0 = 1, значение напряженности Е на одном и том же расстоянии r одинаково, Е выносим за знак интеграла . В правой части теоремы Гаусса заряд, охватываемый гауссовой поверхностью . Таким образом, получаем

Для нахождения разности потенциалов воспользуемся связью напяженности и потенциала

.

Для случая радиальной симметрии, реализующейся у нас,

.

Интегрируя это выражение, получим

или

.

Ответ: .

25. Плоский конденсатор, между обкладками которого помещена стеклянная пластинка ( = 6) толщиной l = 2,00 мм, заряжен до напряжения U = 200 В (рис. 1). Пренебрегая величиной заряда между пластинкой и обкладками, найти а) поверхностную плотность свободных зарядов на обкладках конденсатора, а также б) поверхностную плотность связанных зарядов (зарядов поляризации) на стекле. Изобразить силовые линии электрического поля в стекле и воздушном зазоре между стеклом и обкладками.

Решение: Величину σ выразим через напряженность поля Е внутри конденсатора. Поскольку введение диэлектрика между его обкладками уменьшает эту напряженность поля в раз, используем формулу поля напряженности для плоского конденсатора = , с учетом наличиия диэлектрика   Дано: = 6,0 = 2,00 мм U = 200 В

σ – ? σ´ – ? силовые линии Е

(1)

Отсюда, учитывая соотношение Е = , справедливое для однородного поля конденсатора, найдем:

(2)

Чтобы определить величину , воспользуемся формулой = (поверхностная плотность связанных зарядов равна проекции вектора поляризованности на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика). Так как вектор параллелен вектору напряженности поля в диэлектрике, направленному по нормали к поверхности стеклянной пластинки, то = . Учитывая соотношение = æ , где æ – диэлектрическая проницаемость среды и соотношение æ, получим:

æ (3)

Подставляя в формулы (2) и (3) величины в единицах СИ: U = 200 B, = 2,00 м, = 8.85 Ф/м, найдем:

= =

Чтобы изобразить силовые линии электрического поля в стекле и воздуш ном зазоре, надо помнить, что густота силовых линий пропорциональна напряженности поля, а диэлектрическая проницаемость среды показывает во сколько раз поле внутри диэлектрика слабее поля внутри зазора, следовательно густота силовых линий внутри стеклянной пластинки в шесть раз меньше, чем в зазоре (рис. 2).

Ответ: = =

26. Определить дивергенцию следующих векторных полей:

a) , где f(x) – некоторая функция декартовой координаты х;

b) , где – радиус-вектор точки, в которой определяется дивергенция.

Дано: а) ; b)	Решение По определению . a) ; b) Выразим радиус-вектор через компоненты:
div - ?

,

.

Ответ:а) ; b) div = 3.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

3.1. Шар радиусом R заряжен однородно с объёмной плотностью r. Найти напряженность поля для точек внутри и вне шара.

( ; )

3.2. Бесконечно тонкая прямая нить заряжена однородно с плотностью l. Найти напряженность электрического поля Е и потенциал j как функции расстояния r от нити. Потенциал на расстоянии r₀ положить равным нулю.

(E = (1/2pe₀) l/r; j = -(l/2pe₀) ln(r/r₀))

3.3. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью t = 1,5 нКл/см. На продолжении оси стержня на расстоянии d = 12 см от его конца находится точечный заряд Q = 0,20 мкКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

(F = 2,2 мН)

3.4. По тонкому проволочному кольцу радиусом r = 60 мм равномерно распределен заряд q = 20 нКл.

а) приняв ось кольца за ось х, найти потенциал j и напряженность поля на оси кольца как функцию х (начало отсчета х поместить в центр кольца);

б) исследовать случаи х = 0 и ½х½>> r.

(E = (1/4pe₀)× ; j = (1/4pe₀) )

3.5. Чему равен поток вектора через поверхность сферы, внутри объема которой находится:

а) заряд е;

б) заряд -е;

в) диполь с моментом ?

Объясните результат с помощью картины силовых линий электрического поля.

3.6. Металлический шар радиусом R помещен в однородное электрическое поле. Изобразите качественную картину силовых и эквипотенциальных линий электрического поля.

3.7. Два точечных заряда +е и -е расположены в точках с координатами (а/2,0,0), (-а/2,0,0). Построить качественно график зависимости проекции напряженности поля Е_х(х) для точек, лежащих на оси х (у = 0).

3.8. Найти зависимость плотности зарядов от декартовых координат ρ(x,y, z), при которой напряженность поля описывалась бы функцией (В/м).

(ρ(x,y, z) = Кл/м³)

3.9. Потенциал поля, создаваемого некоторой системой зарядов, имеет вид: j = a(x²+y²)-bz², где а и b – положительные константы. Найти напряженность поля Е и ее модуль ½Е½. Построить графики зависимости E_x = f(x), E_z = f(z).

(E = ; )

3.10. Плоский воздушный конденсатор подключили к батарее, а затем отключили от неё. После этого уменьшим расстояние между пластинами конденсатора в 2 раза. Как изменится:

а) энергия, запасенная конденсатором;

б) заряд на обкладках конденсатора;

в) плотность энергии электрического поля конденсатора?

3.11. Диэлектрическая пластина шириной 2а с проницаемостью e = 2 помещена в однородное электрическое поле напряженности Е, силовые линии которого перпендикулярны пластине.

а) изобразите на рисунке линии полей Е и D электрического поля;

б) постройте качественно графики зависимостей Е_х, D_х от х (ось х перпендикулярна пластине, вектор Е направлен вдоль оси х, точка х = 0 находится в середине пластины).

3.12. Диэлектрическая пластинка с проницаемостью e = 2 помещена в однородное электрическое поле с напряженностью Е. Линии поля Е образуют некоторый угол j с поверхностью пластины. Изобразите качественно линии полей Е и D в вакууме и в пластине. Постройте качественно графики зависимостей Е_x = f(x) и D_x = f(x).

3.13. Внутри плоской однородной диэлектрической пластины с e = 3 вектор напряженности однородного электрического поля составляет угол j с поверхностью пластины. Считая, что с одной стороны пластины вакуум, а с другой стороны диэлектрик с e = 2, изобразить качественно линии Е и D электрического поля в трех указанных средах. Построить качественно зависимости Е_x = f(x) и D_x = f(x). Ось ОХ перпендикулярна поверхностям пластины, а ее толщина d.

3.14. Плоский воздушный конденсатор опустили в воду так, что поверхность воды параллельна плоскостям пластин, а ее уровень расположен на расстоянии h от нижней пластины. Найти зависимость электроемкости конденсатора от величины h, если площадь пластины S, а расстояние между ними d.

(С = )

3.15. Электрическое поле создается равномерно заряженным шаром радиусом R с объемной плотностью заряда r. Определить зависимость вектора электрического смещения электрического поля от r. Построить качественно график D = f(r).

(D = (1/3)rr; D = (r/3)×(R³/r²))

Постоянный ток

Примеры решения задач

27. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено многослойным диэлектриком, обладающим слабой электропроводностью. Диэлектрическая проницаемость диэлектрика монотонно уменьшается от пластины 1 от значения до значения у пластины 2. Удельная электропроводность монотонно уменьшается от пластины 1 от значения Ом.^-1 м^-1 до значения Ом.^-1 м^-1 у пластины 2. Конденсатор включен в цепь с постоянной ЭДС, и в нем устанавливается постоянный электрический ток силой А, текущий через диэлектрик от стороны 1 конденсатора к стороне 2. Найти величину свободного заряда , возникшего в диэлектрике при протекании тока.

Дано: Ом.-1м-1 Ом.-1м-1 А

Решение Среда между пластинами конденсатора обладает как электропроводящими, так и диэлектрическими свойствами. Поэтому в решении используется закон Ома в диф