Момент количества движения точки.

В некоторых задачах в качестве динамической характеристики движущейся точки вместо самого количества движения рассматривают его момент относительно какого-либо центра или оси. Эти моменты определяются также как и моменты силы.

Момент количества движения точки. - student2.ru Моментом количеством движения материальной точки Момент количества движения точки. - student2.ru относительно некоторого центра О называется вектор, определяемый равенством Момент количества движения точки. - student2.ru

Момент количества движения точки называют также кинетическим моментом.

Момент количества движения относительно какой-либо оси Момент количества движения точки. - student2.ru , проходящий через центр О, равен проекции вектора количества движения Момент количества движения точки. - student2.ru на эту ось Момент количества движения точки. - student2.ru .

Теорема об изменении момента количества движения точки.

Теорема. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Момент количества движения точки. - student2.ru

Теорема. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какой-либо оси, равна моменту действующей на точку силы относительно той же оси.

Следствия из теорем:

1. Если момент силы относительно точки равен нулю, то момент количества движения относительно этой точки величина постоянная.

Момент количества движения точки. - student2.ru , Момент количества движения точки. - student2.ru Момент количества движения точки. - student2.ru

2. Если момент силы относительно оси равен нулю, то момент количества движения относительно этой оси величина постоянная.

Момент количества движения точки. - student2.ru , Момент количества движения точки. - student2.ru Момент количества движения точки. - student2.ru

Кинетическая энергия точки

Кинетической энергией материальной точки (или ее живой силой) называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Момент количества движения точки. - student2.ru

Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Теорема. Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.

Момент количества движения точки. - student2.ru

Теорема. Производная по времени от кинетической энергии точки равна мощности, подводимой к этой точке.

Момент количества движения точки. - student2.ru

Теорема. Изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на этом же перемещении.

Момент количества движения точки. - student2.ru

Классификация сил, действующих на систему мат. точек

Силы, действующие на любую точку механической системы, делятся на внутренние и внешние.

Fi – внутренняя сила

Fe – внешняя сила

Внутренними называются силы, с которыми точки, входящие в систему, действуют друг на друга.

Внешними называются силы, которые прикладываются к точкам извне, то есть от других точек или тел, не входящих в систему. Разделение сил на внутренние и внешние условное.

 
  Момент количества движения точки. - student2.ru Момент количества движения точки. - student2.ru Момент количества движения точки. - student2.ru Момент количества движения точки. - student2.ru Момент количества движения точки. - student2.ru Момент количества движения точки. - student2.ru Момент количества движения точки. - student2.ru

mg – внешняя сила

Fтр – внутренняя сила

Дифференциальные уравнения системы в векторной форме:

Момент количества движения точки. - student2.ru , Момент количества движения точки. - student2.ru

Центр масс системы

Центр масс системы – геометрическая точка, положение которой определяется радиус-вектором Момент количества движения точки. - student2.ru .

Момент количества движения точки. - student2.ru , где Момент количества движения точки. - student2.ru

Момент количества движения точки. - student2.ru (4)

- теорема о движении центра масс системы: центр масс системы движется также, как точка, масса которой равна массе всей системы под действием сил, приложенных к системе.

Для решения задач запишем теорему в проекциях на оси координат:

M Момент количества движения точки. - student2.ru ; M Момент количества движения точки. - student2.ru ; M Момент количества движения точки. - student2.ru .

Теорема об изменении количества движения точки и системы : производная по времени от количества движения точки равна приложенной силе.

Момент количества движения точки. - student2.ru Момент количества движения точки. - student2.ru (6)

Дифференциал от количества движения точки равен элементарному импульсу силы.

Момент количества движения точки. - student2.ru = Момент количества движения точки. - student2.ru Момент количества движения точки. - student2.ru

Момент количества движения точки. - student2.ru Момент количества движения точки. - student2.ru Момент количества движения точки. - student2.ru Момент количества движения точки. - student2.ru (полный импульс силы) (7)

– теорема в интегральной форме: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равен импульсу силы за этот промежуток времени.

Наши рекомендации