Момент количества движения в системе материальных точек

Для системы материальных точек справедливо:

для моментов импульса и сил

Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru и Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru ( Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru - момент всех сил, Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru - моменты отдельных сил).

Последнее следует из:

Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru :

Используя векторное умножение слева и справа на Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru , находим:

Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru Þ Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru .

Под Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru следует понимать момент, создаваемый в системе всеми силами, как внешними, так и внутренними.

Теорема. Полный момент внутренних сил, действующих в системе материальных точек, относительно любого полюса всегда равен нулю.

Доказательство

Внутренние силы всегда действуют попарно: силе Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru , с которой материальная точка Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru действует на материальную точку j, всегда соответствует равная и противоположно направленная сила Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru , с которой точка (частица) j действует на точку i, причем обе эти силы направлены вдоль одной прямой.

Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru

РИС. 3-8

Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru Вспомогательная теорема

Момент силы Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru не изменится, если точку приложения силы Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы.

РИС. 3-9

Доказательство

Так как Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru , то Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru равняется площади OABC. Площади OABC и OA’B’C равны, так как они имеют общее основание OC и высоту – что требовалось доказать.

Отсюда следует: равные силы Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru и Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru можно перенести в одну точку, где они друг друга скомпенсируют. Следовательно, полный момент внутренних сил равен нулю.


Обобщение

Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru - производная по времени момента количества движения системы материальных точек относительно произвольного неподвижного полюса равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же полюса.

Следовательно, если момент внешних сил относительно неподвижного начала равен нулю, то момент количества движения (момент импульса) системы материальных точек относительно того же начала остается постоянным во времени.

Закон сохранения момента количества движения:

Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru ; Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru (не изменяется ни величина, ни направление)

Момент количества движения в случае центральных сил

Определение

Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами и направленные по прямой, соединяющей эти частицы, называются центральными силами.

Примеры

Если одна из частиц в рассматриваемой системе обладает значительно большей массой, чем другие, (Солнечная система) и значительно большим зарядом (ядро и электроны), то движение происходит вокруг этой частицы, так как ее можно считать неподвижной. Направления всех сил, действующих в системе, проходят через неподвижный силовой центр Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru :

Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru

РИС. 3-10

Следовательно, момент центральных сил относительно силового центра равен нулю, и момент количества движения сохраняется: Момент количества движения в системе материальных точек - student2.ru .

3 Лекция 3

Наши рекомендации