Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости
Для вывода уравнения Бернулли используется теорема об изменения кинетической энергии - изменение кинетической энергии равно работе внешних сил (рисунок 3.10)..
 Рисунок 2.10 - Силы– силы действующие на элементарную струйку |
Выберем плоскость сравнения 0-0 – любая горизонтальная плоскость. Считаем, что на этой плоскости находится начало декартовой системы координат, и ось z направлена вертикально вверх (рисунок 2.10). Выберем в потоке жидкости элементарную струйки и рассечем её двумя поперечными сечениями 1-1 и 2-2. Предположим, что через первое поперечное сечение 1-1 элементарной струйки за время dt заходит масса жидкости dm1, а через второе сечение 2-2 выйдет масса dm2. Тогда при установившемся движении эти массы должны быть равны так, как в противном случае внутри объёма между сечениями масса будет или увеличиваться или уменьшаться. Обозначим местные скорости в сечениях u, площади сечений dw и, считая жидкость несжимаемой, получим:
 | (2.21) |
где dV - объём массы жидкости dm.
Тогда изменение кинетической энергии dЭкин равно:
 . | (2.22) |
При движении от первого сечения ко второму на массу действует сила тяжести, поэтому изменение работы сил тяжести dAтяж равно:
 . | (2.23) |
На поперечное сечение dw со стороны окружающей жидкости действует сила давления dP = p dw. За время dt масса частицы жидкости перемещается на расстояние dS, тогда работа, совершаемая силами давления, равна: dAдав = dP dS = p dw dS = p dV (dw dS = dV – объем частицы жидкости). Поэтому работа сил давления равна:
 . | (2.24) |
В общем случае на боковой поверхности элементарной струйки действуют силы трения, которые противодействуют движению жидкости. В данном случае рассматривается идеальная жидкость, вязкость которой равна нулю, поэтому сил трения равны нулю и работы не совершают.
Используя теорему изменения кинетической энергии, запишем:
 , | (2.25) |
или
 . | (2.26) |
Разделим это выражение на вес частицы жидкости, которая проходит за время dt через сечение струйки, dG = g dm = ρ g dV:
 . | (2.27) |
Так, как сечения 1-1 и 2-2 были выбраны произвольно, то последнее уравнение можно переписать в виде:
 . | (2.28) |
Уравнение (2.27) или (2.28) называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли в таком виде можно записать только для установившегося движения несжимаемой идеальной жидкости. Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии – для идеальной жидкости полная энергия вдоль элементарной струйки сохраняется. В уравненях (2.27) и (2.28) входит не сама энергия, а энергия отнесённая к весу частицы жидкости, которая называется удельной энергией, поэтому каждое слагаемое в уравнении Бернулли представляет собой удельную потенциальную энергию положения, удельную потенциальную энергию давления и удельную кинетическую энергию и в системе СИ измеряется в метрах. Сумма этих энергий называется полной удельной энергией.