Критерии подобия и масштабы моделирования
На основе электромеханических аналогий
Уравнения, характеризующие электрическую цепь и соответствующую ей механическую систему (рис. 25),
|
имеют вид
(330)
(331)
После введения безразмерных величин
и подстановки их в уравнения (330), (331), группировки постоянных величин, деления на 
и 
и приравнивания коэффициентов в этих уравнениях получим критерии подобия
(332)
(333)
(334)
Для уравнений, характеризующих электрическую и механическую системы, получено по 
независимых критерия подобия. Действительно, количество величин, определяющих каждое из явлений 
, а количество величин, обладающих независимыми равномерностями в обоих случаях, – 
. Полученное количество критериев подобия удовлетворяет требованиям Пи-теоремы
.
В этом случае для моделирования упругих свойств горных пород масштаб определяется следующим образом:
(335)
Масштаб напряжений определится аналогично:
(336)
Отсюда масштабы времени 
и вязких свойств горных пород 
имеют вид
(337)
Для случая моделирования нестационарных процессов инерционные си-
лы учитываются масштабом 
(338)
Метод электрогидродинамических аналогий (метод ЭГДА)
Метод ЭГДА успешно применяют для изучения стационарных физических процессов, которые описываются уравнениями эллиптического вида.
В этом случае метод ЭГДА применяется в горном деле и гидротехнике для решения задач фильтрации жидкости; в электротехнике – для решения задач электропередачи; в строительной механике – при решении задач теории упругости; в теплотехнике – для решения задач теплообмена, а также для решения задач диффузии газа и жидкости, распространения магнитных, электрических и взрывных волн и др.
В ряде случаев, используя метод суперпозиций, метод ЭГДА может быть применен и для решения нестационарных физических процессов, которые описываются уравнениями параболического типа, например, задачи замораживания горных пород и фильтрации жидкости и газа в пористых средах, физические процессы которых протекают весьма медленно во времени. В этом случае изучение процесса в заданный период времени разбивается на сравнительно короткие промежутки времени, в течение которого физический процесс может рассматриваться как стационарный с соответствующим заданием граничных условий.
Метод ЭГДА основан на математической аналогии между некоторыми физическими процессами: например, между стационарным движением электрического тока в проводящей среде или стационарным распространением тепла в твердых телах, диффузией газа и жидкости и т.д.
Рассмотрим аналогию указанных выше процессов на примере аналогии
между стационарным движением электрического тока в проводящей среде и стационарным движением жидкости в пористых средах. Для упрощения процесса рассмотрим для плоскости (двухмерная задача). В этом случае процессы описываются следующими уравнениями
; (339)
уравнение неразрывности
. (340)
Для фильтрующих пород:
уравнение движения
(341)
уравнение неразрывности
(342)
где 
– электрический потенциал;
– электропроводность материала;
– пьезометрический напор;
– коэффициент фильтрации;
– компоненты плотности тока;
– компоненты скорости потока;
– координаты поверхности.
Если среды однородные, то коэффициенты электропроводности и фильтрации будут постоянными. В этом случае вместо уравнений (339), (341) получим уравнения Лапласа:
Исходя из этих уравнений, устанавливают аналогию между процессами и отдельными параметрами (табл. 3).
Таким образом, исследование вопросов фильтрации в натуре сводят к изучению соответствующих (аналогичных) электрических процессов и параметров на электрических моделях, и результаты этих исследований распространяют на процессы фильтрации.
Таблица 3
| Электрическое поле тока | Поле фильтрации жидкости | Магнитное поле | Поле температур |
Закон Ома:  ;  , где – плотность тока; – электропроводность; – электрический потенциал;  – сила тока. | Закон Дарси:  ;  , где – скорость фильтрации; – коэффициент фильтрации; – пьезометрический напор;  – филь-трационный расход. | Закон магнитной индукции:   где  – магнитная индукция;  –магнитная проницаемость; – магнитный потенциал;  – магнитный поток. | Закон Фурье:   , где  – тепловой поток;  – коэффициент теплопроводности;  –температура;  – тепловой поток. |
При осушении месторождений полезных ископаемых в результате работы водопонизительных скважин образуется депрессионная поверхность, на основании которой ведутся все гидрогеологические расчеты (дебит скважин и установки в целом, расположение скважин в плане, приток воды в горные выработки, закладка фильтров и т.д.). Для получения на электрической модели процессов аналогичных процессам фильтрации жидкости в натуре, необходимо выполнить ряд условий, вытекающих из общей теории подобия.
1. Электрическая модель должна представлять изучаемую область фильтрации жидкости в натуре в некотором масштабе без всякого искажения, т.е. должно быть соблюдено геометрическое подобие.
2. Коэффициент электропроводности модели должен быть прямо пропорционален в сходственных точках коэффициенту фильтрации жидкости, т.е. между моделью и натурой должно быть соблюдено физическое подобие
. (343)
3. Также должны быть подобны граничные условия модели и натуры, т.е. должно быть соблюдено динамическое подобие
. (344)
Подставив значения параметров фильтрации из выражений (343) и (344) в выражение (341), после преобразований получают
(345)
Следовательно, уравнения (339) и (345) будут аналогичными в том случае, если произведение коэффициентов в квадратных скобках будет постоянно:
. (346)
Для однородной среды при 
и 
условия физического подобия выполняются автоматически, т.е. имеет место автомодельность. Поэтому при моделировании физических процессов необходимо соблюдать только геометрическое и динамическое подобие.
Исследование процесса осушения водоносных пород в конечном счете сводится к определению напоров воды на различных участках изучаемого пространства. Следовательно, на электрической модели необходимо построить поле потенциала, которое было бы аналогичным депрессионной поверхности воды в натуре. Пересчет электрического потенциала на напоры воды производится на основании граничных условий моделирования, которые могут быть записаны следующим образом:
, (347)
где 
и 
– постоянные коэффициенты.
При этом:
при 
должно быть 
;
при 
должно быть 
.
В этом случае будем иметь:
(348)
. (349)
Значения максимальных и минимальных напоров воды обычно известны. Максимальный напор воды 
имеет место на границе области питания и определяется гидрогеологическими разведочными скважинами. Контур питания определяется гидрогеологическими расчетами или непосредственными наблюдениями в скважинах при опытных откачках. Минимальный напор воды 
задают из условий работы водопонизительных скважин. На электрической модели в соответствии с заданием максимального и минимального напоров воды задают максимальные и минимальные напряжения 
и 
. Обычно на модели эквипотенциальные поля строятся в относительных величинах. При этом берется за 1, а 0. Подставив значения = 1 и = 0 в выражения (348) и (349), получим:
(350)
Следовательно, значение потенциала в любой точке поля будет определяться формулой
. (351)
Зная значения и и значение потенциала на модели (определяется прибором), получим для напорной фильтрации значение напора в любой точке изучаемой области натуры:
. (352)
В случае безнапорной фильтрации пересчет от потенциалов к напорам производится по формуле
. (353)
При напорно-безнапорной фильтрации каждая из вышеприведенных формул (352) и (353) применяется в соответствующей области. Граница между ними определяется из условия
, (354)
где 
– мощность водоносного пласта.
Принцип действия установки ЭГДА основан на использовании для производства экспериментов мостового (компенсационного) метода измерений электрического потенциала в поле модели. Принципиальная электрическая схема установки ЭГДА (рис. 26) состоит из блока питания и блока измерения.
В блок питания входят: понизительный трансформатор 1, выпрямитель 2 и измерительные приборы – вольтметр 3 и миллиамперметр 4. В блок измерений входит: градуированный потенциометр 5, нуль-индикатор (гальванометр) 6 и поисковая игла 7.
Если поисковой иглой подключиться к модели в какой-то точке 
, то будут иметь место отмеченные на схеме токи 
и потенциал . Если же градуированное сопротивление потенциометра 5 отрегулировать так, чтобы потенциал 
в точке был равен потенциалу 
в точке 
, то мост будет уравновешен, в чем убеждаются по отсутствию отклонения стрелки гальванометра: так как 
, то 
.
При уравновешенном мосте в силу разности потенциалов в точках а и б ток пойдет частично через модель, а частично через градуированный потенциометр и тогда:
.
Если , то 
.
Разделив их, получим
, (355)
а так как (в сети гальванометра), то 
и 
.
Отсюда получаем уравнение равновесия моста
или 
(356)
Принимая сопротивление модели за усредненно-линейное, получаем значение потенциала на всей линии 
. Это и есть линия равного потенциала . Но так как , то по шкале градуированного потенциометра в момент равновесия мостовой схемы получим значение потенциала в той точке, где установлена поисковая игла.
Из теории моста следует, что
(357)
Отсюда ясно, что результаты измерений потенциалов на моделях не зависят от величины напряжения, приложенного на шинах модели, т.е. при изменении напряжения 
(при колебании напряжения в питательной сети) одновременно и пропорционально изменяется падение напряжения 
. Поэтому разность потенциалов может быть условно принята равной единице, а различные эквипотенциальные линии на модели будут лежать в пределах от нуля до единицы.
Зная значения отдельных эквипотенциалей [или в пересчете по формулам (352), (353) напоров] и кратчайшие расстояния между ними, можно определить величину градиентов, а также плотность тока или скорости фильтрации.
Таким образом, метод ЭГДА дает возможность заменить исследования фильтрационного потока в натуре исследованием электрического поля на модели и результаты исследования перенести в натуру.