Теплоемкость. Уравнение Майера

Удельная теплоемкость веществаве­личина, равная количеству теплоты, не­обходимому для нагревания 1 кг вещест­ва на 1 К:

Единица удельной теплоемкости — джоуль на килограмм-кельвин (Дж/(кг•К)).

Молярная теплоемкость—величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моля вещества на 1 К:

(9-17)

где v = m/M — количество вещества, вы­ражающее число молей.

Единица молярной теплоемкости — джоуль на моль-кельвин (Дж/(моль•К)).

Удельная теплоемкость с связана с мо­лярной С_m соотношением

С_т = сМ, (9-18)

где М — молярная масса вещества.

Различают теплоемкости при постоян­ном объеме и постоянном давлении, если в процессе нагревания вещества его объем или давление поддерживается по­стоянным.

Запишем выражение первого начала термодинамики для 1 моля газа с:

C_mdT=dU_m + pdV_m. (9-19)

Если газ нагревается при постоянном объеме, то работа внешних сил равна ну­лю и сообщаемая газу извне теплота идет только на увеличение его внутренней энергии:

(9-20)

т. е. молярная теплоемкость газа при по­стоянном объеме С_v равна изменению внутренней энергии 1 моля газа при повы­шении его температуры на 1 К. Так как

,

то

C_v = iR/2. (9-21)

Если газ нагревается при постоянном давлении, то выражение (9-21) можно за­писать в виде

.

Учитывая, что dU_m/dT не зависит от вида процесса (внутренняя энергия идеального газа не зависит ни от р, ни от V, а опреде­ляется лишь температурой Т) и всегда равна С_v, продифферен­цировав уравнение Клапейрона — Мен­делеева pV_m=RT по T(p=const), получим

C_p = C_v + R. (9-22) Выражение (9-22) называется уравнением Майера;оно показывает, что С_р всегда больше С_v на величину молярной газовой постоянной. Это объясняется тем, что при нагревании газа при постоянном давлении требуется еще дополнительное количество теплоты на совершение работы расшире­ния газа, так как постоянство давле­ния обеспечивается увеличением объема газа. Использовав (9-21) выражение (9-22) можно записать в виде

При рассмотрении термодинамических процессов важно знать характерное

для каждого газа отношение С_р к C_v:

g=C_p/C_v=(i+2)/i.

Адиабатный процесс

Существует достаточно много явлений, например, нагревание ручного насоса при накачивании шин, понижение температуры воздуха после извержения вулкана, при котором быстро расширяются газы, изменение температуры воздуха при сильных порывах ветра, процессы, происходящие с веществом, заключённым в теплоизолирующую оболочку, распространение звуковых волн и многие другие, объяснить которые можно, используя понятие адиабатного процесса.

Адиабатный процесс это процесс, происходящей без теплообмена системы с окружающей средой.

Реализовать такой процесс на практике можно, быстро сжимая или расширяя газ, или заключая его в теплоизолирующую оболочку (термос, сосуд Дьюара). При адиабатном процессе , а, следовательно, первое начало термодинамики будет иметь вид: или . При адиабатном расширении газ совершает механическую работу за счёт убыли собственной внутренней энергии. При адиабатном сжатии внутренняя энергия газа растёт за счёт работы внешних сил, сжимающих его.

Получим уравнение адиабаты, используя первое начало термодинамики. Приращение внутренней энергии можно записать через молярную изохорическую теплоёмкость: , элементарную работу – через давление и приращение объёма: . Получим

(9-23)

Исключим из этого уравнения приращение температуры, используя уравнение Менделеева - Клапейрона . Продифференцируем его и получим: , отсюда выразим приращение температуры и подставим его в (9-23), после приведения подобных получим: . Заменим в этом равенстве R на , приведём к одному знаменателю, раскроем скобки и получим:

.

Так как знаменатель не равен нулю, то равенство будет выполняться, если числитель равен нулю. После приведения подобных получим:

.

Обозначим отношение теплоёмкостей . Это отношение g принято называть показателем адиабаты или коэффициентом Пуассона. После введения g получим:

.

Поделим обе части равенства на PV и получим уравнение с разделяющимися переменными: . Проинтегрируем это уравнение и получим: или . Воспользуемся свойством логарифмов: сумму логарифмов можно представить как логарифм произведения: . После потенцирования получим уравнение адиабаты:

(9-24)

Это уравнение показывает, что при адиабатном процессе с изменением объёма давление изменяется на большую величину, чем при изотермическом процессе, поскольку . Рис.9.4, на котором приведены изотерма (пунктирная линия) и адиабата (сплошная линия) для случая, когда начальные параметры состояния газа одинаковы, наглядно показывает это.

Используя уравнение состояния идеального газа, можно записать уравнение адиабаты через объём и температуру. Для этого нужно из уравнения состояния идеального газа выразить давление и подставить в уравнение (9-24). После преобразований получим:

(9-25)

Можно записать уравнение адиабаты через давление и температуру, выразив из уравнения состояния идеального газа, объём через давление и температуру:

(9-26)

При адиабатном процессе все три параметра состояния изменяются. Это изменение выражено формулами (9-24), (9-25), (9-26).

Процесс адиабатного расширения изображён на рис.9.5 При адиабатном расширении газ совершает работу за счёт убыли собственной внутренней энергии: . Работу адиабатного процесса проще всего рассчитать через изменение внутренней энергии: . Поскольку внутренняя энергия идеального газа – функция состояния и зависит только от температуры, то изменение внутренней энергии, а, следовательно, и работу можно найти по формуле:

(9-27)

Работу газа при адиабатном процессе можно определить и через элементарную работу: . Для этого будем считать известными начальные параметры состояния P_{1 ,} V₁, T₁. Из уравнения адиабаты выразим давление Р: . Тогда элементарная работа будет определяться формулой: . При определении работы адиабатного процесса вынесем за знак интеграла известные величины и получим: . Вынесем за скобки , и после преобразования получим:

(9-28)

Используя уравнение Менделеева – Клапейрона, можно получить другую формулу:

(9-29)

Следует отметить, что само по себе расширение идеального газа не может привести к его охлаждению, если при расширении газ не производит работу. Это значит, что, если идеальный газ расширяется таким образом, что к сосуду, в котором он находится, присоединяется другой пустой сосуд, то температура газа не изменится. Неизменность температуры обусловлена тем, что внутренняя энергия идеального газа не зависит от объёма. При таком расширении в пустоту идеальный газ не совершает работы.

Политропический процесс

Политропическим процессом называется всякий процесс изменения состояния, при котором теплоёмкость газа С остаётся постоянной и равной .

Отсюда выразим количество теплоты через теплоёмкость газа при политропическом процессе: . Используем первое начало термодинамики: . Здесь и - теплоёмкости газа при постоянном объёме и давлении соответственно. С учётом выражения количества теплоты через теплоёмкость политропического процесса получим или

(9-30)

Продифференцируем уравнение состояния идеального газа и выразим дифференциал температуры: . Учтём, что , а , получим:

(9-31)

Обозначим - показатель политропы. После интегрирования (9-31) и дальнейшего потенцирования полученного результата, придём к уравнению политропы:

(9-32)

Это уравнение может быть выражено и через другие пары параметров состояния, аналогично тому, как это было сделано для адиабатного процесса.

Рассмотренные изопроцессы и адиабатный процесс изменения состояния газа можно рассматривать как частные случаи более общего политропического процесса. Покажем, что из уравнения (9-32) можно получить уравнения известных нам процессов.

Для адиабатного процесса , следовательно, теплоёмкость С этого процесса равна нулю, а показатель политропы равен показателю адиабаты . Тогда уравнение (9-32) перейдёт в уравнение адиабаты .

Для изотермического процесса dT=0 , , показатель адиабаты n=1 , а уравнение (9-32) перейдёт в уравнение изотермы: .

Для изобарного процесса С=С_Р , n=0 , а уравнение (9-32) будет иметь вид или Р=const .

Для изохорического процесса С=С_V , , а уравнение (9-32) можно переписать в виде: . При , следовательно, уравнение (9-32) переходит в уравнение изохоры: V= const.