Волновая функция и уравнение Шредингера

4.25.Волновая функция, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид: , где – нормировочный коэффициент волновой функции, – расстояние электрона от ядра, – первый боровский радиус. Определить наиболее вероятное расстояние электрона от ядра в основном состоянии. [ ].

4.26.Волновая функция, описывающая движение микрочастицы, имеет вид , где – нормировочный коэффициент волновой функции, – расстояние этой частицы до силового центра, – некоторая постоянная, имеющая размерность длины. Определить среднее расстояние частицы от силового центра. [ = ].

4.27.Записать стационарное уравнение Шредингера для свободной частицы массой , которая движется вдоль оси , а также определить посредством его решения собственные значения энергии. Что можно сказать об энергетическом спектре свободной частицы? [ , спектр непрерывный].

4.28.Электрон в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность обнаружения электрона в средней трети ящика? [0,609].

4.29.Волновая функция описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном потенциальном ящике шириной . Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале ∆ = 0,2 в двух случаях: 1) вблизи стенки ; 2) в средней части ящика . [0,052; 0,4].

4.30.Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной . Вычислить наименьшую разность энергий двух соседних энергетических уровней (в электронвольтах) электрона в двух случаях: 1) = 1 мкм; 2) = 0,1 нм. [1,1∙10^-12 эВ; 110 эВ].

4.31.Вероятность обнаружить частицу на участке (a,b) одномерного потенциально-го ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле . Если – функция имеет вид, указанный на рисунке справа, то чему равна
вероятность обнаружить частицу на участке , где – ширина ящика. [2/3].

4.32.Пучок электронов с энергией Е = 15 эВ встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U = 20 В и шириной =0,1 нм. Определить коэффициент прозрачности потенциального барьера (коэффициент прохождения) D и коэффициент отражения R электронов от барьера (R + D = 1). [D = 0,1; R = 0,9].

4.33.Частица массой движется в одномерном потенциальном поле = (гармонический осциллятор). Собственная волновая функция основного состояния гармонического осциллятора имеет вид , где – нормировочный коэффициент; – положительная постоянная. Используя уравнение Шредингера, определить: 1) постоянную ; 2) энергию частицы в этом состоянии. [ ; ].

Квантовые статистики

4.34.Показать, что при kT >> E_i (малом параметре вырождения) квантовые распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Максвелла – Больцмана, то есть бозонный и фермионный газы приобретают свойства классического идеального газа. [ << 1; ].

4.35.Для каких квантовых частиц характерна знаковая неоднозначность волновой функции и какие значения спина имеют эти частицы? [фермионов; имеют полуцелые значения спина].

4.36.Для каких квантовых частиц характерна знаковая однозначность волновой функции и какие значения спина имеют эти частицы? [бозонов; имеют целочисленные значения спина].

Квантовые свойства атомов,

Молекул и твердых тел

Основные формулы и законы

· Волновые функции связанных состояний (Е < 0) атома водорода имеют вид

,

где – главное квантовое число ( = 1, 2, 3, …); – орбитальное (азимутальное) квантовое число ( = 0, 1, 2, …, ( – 1));
– магнитное квантовое число ( = 0, ±1, ±2, …, ± ); – радиальные функции, а – сферические функции.

Квантовые числа , , являются характеристиками микросостояния частицы, в том числе и электрона в атоме водорода, и появляются при решении нерелятивистского уравнения Шредингера.

· Квантовое магнитное спиновое число ( =±1/2) электрона появляется лишь при решении релятивистского уравнения Дирака, т. е. спин является релятивистской характеристикой.

· Принцип Паули: в атоме два электрона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии (определяемом набором четырех квантовых чисел , , , ).

· Электронная конфигурация атома в основном состоянии 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 3d¹⁰…, где числа ( = 1, 2, 3, …) соответствуют главному квантовому числу, которое задает электронные слои (оболочки) K, L, M, N, …. Буквы латинского алфавита s, p, d, f соответствуют орбитальному квантовому числу ( = 0, 1, 2, 3), которое задает s, p, d, f – состояния (электронные подоболочки) атома. Числа над s, p, d, f соответствуют числу электронов в соответствующих состояниях.

· Закон Мозли

,

где – характеристические частоты спектра; – постоянная Ридберга; – заряд ядра атома в относительных единицах; – постоянная экранирования; и – квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме.

· При = 0 формула закона Мозли обращается в формулу, описывающую линейчатые спектры водородоподобных атомов

.

При = 0 и = 1 формула закона Мозли совпадает с обобщенной формулой Бальмера для линейчатого спектра атома водорода.

· Частоты излученного или поглощенного электромагнитного кванта молекулярного спектра

= (∆ W_эл. + ∆ W_кол. + ∆ W_вр.),

где ∆W_эл., ∆W_кол. и ∆W_вр. – разности энергий двух соответственно электронных, колебательных и вращательных уровней.

· Средняя энергия квантового одномерного осциллятора

,

где – нулевая энергия; - постоянная Планка; – циклическая частота колебаний осциллятора; – постоянная Больцмана;
– термодинамическая температура.

· Молярная внутренняя энергия системы, состоящей из невзаимодействующих квантовых осцилляторов

,

где – молярная газовая постоянная; = – характеристическая температура Эйнштейна.

· Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела в области низких температур (предельный закон Дебая)

( T << ),

где = – характеристическая температура Дебая.

· Распределение свободных электронов в металле по энергиям при 0 К

,

где – концентрация электронов, энергия которых заключена в пределах от до + ; – масса электрона. Это выражение справедливо при < ( – энергия или уровень Ферми).

· Энергия Ферми в металле при Т = 0 К

,

где – концентрация электронов в металле.

· Средняя энергия электронов

.

· Удельная проводимость собственных полупроводников

,

где – ширина запрещенной зоны; - константа.

· Сила тока в p-n – переходе

,

где – предельное значение силы обратного тока;
– внешнее напряжение, приложенное к p-n – переходу.

· Связь между глубиной потенциальной ямы и работой выхода из металла и полупроводника:

,

где – максимальная энергия электрона в яме.

· Внутренняя контактная разность потенциалов

,

где и - энергия Ферми соответственно для первого и второго металла или полупроводника; – заряд электрона.

Задания

Квантовая физика атома

4.37.Уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона, находящегося в атоме водорода, задается в декартовых координатах уравнением .

Представить 1) собственные значения энергии, удовлетворяющие уравнению; 2) график потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром; 3) возможные дискретные значения энергии на этом графике. [1) , =1, 2, 3,…
2), 3) см. рисунок справа].

4.38.От каких квантовых чисел зависят соответственно радиальная и сферическая функции, входящие в волновую функцию связанных состояний атома водорода? [ , ; , ].

4.39.На рисунке слева схематически представлена система энергетических уровней атома водорода. Какие переходы запрещены правилами отбора? [3s→2s].

4.40.Пользуясь условными обозначениями состояний электрона в атоме водорода, записать переходы, приводящие к возникновению серии Бальмера.[ns→2p; nd→2p] (n = 3, 4, …).

4.41.Объяснить диаграмму, иллюстрирующую расщепление энергетических уровней и спектральных линий (с учетом правил отбора) при переходах между состояниями с = 1 и = 2. [p – состояние: s – состояние: ].

4.42.Нормированная волновая функция, описывающая
1s – состояние электрона в атоме водорода, имеет вид , где – первый боровский радиус. Определить среднюю потенциальную энергию электрона в поле ядра. [ – 27,2 эВ].

4.43.Определить, во сколько раз орбитальный момент импульса электрона, находящегося в d – состоянии, больше, чем для электрона в p – состоянии. [1,73].

4.44.Записать электронную конфигурацию атома фосфора с вакансией в 2p – подоболочке. [1s² 2s² 2p⁵ 3s² 3p³].

4.45.Записать квантовые числа, определяющие внешний, или валентный, электрон в основном состоянии атома алюминия. [ = 3, = 1, = 0, ±1; = ±1/2].

Закон Мозли

4.46.Определить наименьшую длину волны рентгеновского излучения, если рентгеновская трубка работает при напряжении U = 30 кВ. [41,3 пм].

4.47.Считая, что формула закона Мозли с достаточной степенью точности дает связь между характеристическими частотами рентгеновского спектра и порядковым номером элемента, из которого сделан антикатод, найти наибольшую длину волны К-серии рентгеновских лучей, даваемых трубкой с антикатодом из: 1) железа, 2) меди, 3) молибдена, 4) серебра, 5) тантала, 6) вольфрама, 7) платины. Для К – серии постоянная экранирования = 1. [1) 194 пм; 2) 154 пм; 3) 71,2 пм; 4) 56,3 пм; 5) 22 пм; 6) 21,4 пм; 7) 19 нм].

4.48.Определить постоянную экранирования для L – серии рентгеновских лучей, если известно, что при переходе электрона в атоме вольфрама с М- на L-слой испускаются рентгеновские лучи с длиной волны 143 пм. [ = 5,5].

4.49.Определить элемент и его порядковый номер в периодической системе элементов Д.И. Менделеева, если граничная (наибольшая) частота К – серии характеристического рентгеновского излучения составляет 5,55∙10¹⁸ Гц. [z = 42, молибден].

4.50.При переходе электрона в атоме с L- на К-оболочку испускаются рентгеновские лучи с длиной волны 78,8 пм. Какой это атом? Для К-серии постоянная экранирования = 1. [z = 40, цирконий].

4.51.В излучении звезды обнаружен водородоподобный спектр, длина волны которого в 4 раза меньше, чем у атомарного водорода. Определить элемент, которому принадлежит данный спектр. [z = 2, гелий].

4.52.Молекулярные спектры состоят из трех видов полос:
1) вращательных; 2) колебательно-вращательных и 3) электронно-колебательных, которые в свою очередь состоят из большого числа тесно расположенных линий. В эксперименте и в теории проявляется значительное различие в разности энергий двух соответственно электронных, колебательных и вращательных уровней, между которыми разрешены переходы электрона в соответствии с правилами отбора, причем ∆W_эл.>∆W_кол.>∆W_вр. Определить, какие полосы будут наблюдаться соответственно на: 1) длинноволновой и 2) коротковолновой границах молекулярного спектра при возбуждении всех приведенных выше полос полосатого спектра молекулы. [1) вращательные; 2) электронно-колебательные].