Секундный расход идеального газа через сопло
Массовый расход газа через сопло определяется по уравнению неразрывности
,
где F2 – площадь выходного сечения; v2 – удельный объем. v2 можно определить из соотношения параметров в адиабатном процессе:
.
Подставляя значения удельного объема v2 и скорость истечения w в уравнение неразрывности, получаем:
,
или .
Истечение газа из сосуда неограниченной емкости
Рассмотрим истечение газа из бесконечно большого резервуара (рис. 6.4), в котором параметры газа ; параметры на срезе сопла ; параметры окружающей среды . Начальную скорость в резервуаре принимаем равной нулю ( = 0).
Рисунок 6.4 - Истечение газа из резервуара через суживающееся сопло
Если истечение является обратимым адиабатным, то
Таким образом, для данного газа и заданных параметров газа и скорость w и расход газа m зависят только от отношения давления , т.е. от давления во внешнем пространстве, куда истекает газ. Анализ показывает, что при , когда b = 1, скорость истечения газа равна нулю, с уменьшением b скорость все время возрастает и при 0, когда b = 0 оно достигает максимального значения. Расход газа m становится равным нулю при , когда b = 1, и при 0, когда b = 0.
Между этими граничными значениями b расход m больше нуля, а при некотором определенном отношении давлений расход газа m и скорость истечения w становятся максимальными. В точке максимума производная расхода m по b превращается в ноль. Давление , при котором m = mmax и w = w max, называется критическим . Для определения критического отношения давлений возьмем первую производную от последней зависимости, которая стоит в квадратных скобках под корнем и приравняем ее к нулю.
,
отсюда
(6.20)
Критическое отношение давлений зависит только от показателя адиабаты k, т.е. от физических свойств газа. Для одноатомного газа k = 1,66, bкр= 0,49; для двухатомного: k = 1,41, bкр= 0,528; для трехатомного: k = 1,33, bкр= 0,546.
С учетом изложенного можно записать:
. (6.21)
Основные условия течения идеального газа по каналам переменного сечения
Ранее мы записали уравнение профиля канала:
При дозвуковых скоростях обратимого течения (М < 1) следует, что < 0. Это условие выполняется, если дифференциалы имеют разные знаки:
dF > 0; d w < 0
dF < 0; d w > 0
При скоростях течения больше критических (М > 1) из последнего уравнения следует: > 0. В этом случае дифференциалы dF и d w имеют одинаковые знаки: dF > 0; d w > 0, или dF < 0; d w < 0, т.е. в сверхзвуковом потоке газа при увеличении поперечного сечения трубы скорость газа увеличивается, а при уменьшении поперечного сечения – уменьшается. В том месте канала, где достигается критическая скорость (М = 1): = 0. Следовательно, критическая скорость w кр = а (М= 1) достигается только для поперечного сечения трубы, где dF = 0.
Для сопла или трубы переменного сечения значение dF = 0 соответствует максимальному поперечному сечению, которое называют критическим сечением трубы или сопла.
Сопло Лаваля
Непрерывное увеличение скорости потока от дозвуковой до сверхзвуковой при непрерывном снижении давления может происходить только в комбинированном канале. В таком канале его сечение по длине изменяется: сначала уменьшается от F1 до Fmin, а затем расширяется до выходного сечения F2.
На рис. 6.5 показаны изменения скорости w и местной скорости звука а по длине канала, а также формы канала. Такой канал называется соплом Лаваля (рис. 6.5). Если в самом узком сечении, где dF = 0 достигается равенство действительной скорости истечения w и местной скорости звука а, т.е. , то в расширяющейся части сопла развивается сверхзвуковая скорость
Рисунок 6.5 - Изменение скорости w и местной скорости звука а по длине канала
При известном расходе газа минимальная площадь поперечного сечения сопла Лаваля определяется по формуле:
,
а площадь выходного сечения – по формуле:
.