Основное уравнение динамики вращательного движения

Уравнение (3) M =dL/dt называется основным уравнением динамики вращательного движения: скорость изменения момента импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равна результирующему моменту относительно этой точки всех внешних сил, приложенных к телу.

Из уравнений (1) и (3) следует

М =d(I ω)/dt = I dω/dt = Ie,

или

e = М/ I.

Угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции.

Теория лабораторной работы

Теоретические сведения

Основное уравнение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг заданной неподвижной оси имеет вид .

Уравнение связывает угловое ускорение тела e с моментом М всех сил, действующих на тело, относительно оси вращения. Величина I зависит от форм, размеров тела, выбора оси вращения и является моментом инерции тела относительно заданной оси.

Сравнивая это уравнение с основным уравнением динамики поступательного движения , видим, что момент инерции I играет для вращательного движения ту же роль, что масса для поступательного движения. А именно, момент инерции I характеризует инертность тела при вращательном движении. Момент инерции может быть вычислен, если известно распределение массы относительно заданной оси. Так, момент инерции тела точечной массы, отстоящей от оси вращения на расстояние r, равен I = mr².

Момент инерции системы конечного числа материальных точек, вращающихся относительно заданной оси, вычисляется по формуле

.

Формулу для сплошного тела получим, мысленно разбив тело на бесконечно малые элементы с массой dm и заменив конечную сумму интегралом:

.

Момент инерции тела можно найти также и экспериментально. Один из способов экспериментального определения момента инерции применяется в настоящей работе.

Описание установки

O/

h

P

M

S

O

Рис. 7

В данной работе определяется момент инерции системы, состоящей из вала ОО^/, на котором закреплены маховик М и шкив S
(рис. 15).

К шкиву прикрепляется нить с гирей Р, масса которой m известна. При наматывании нити на шкив гиря поднимается на высоту h над опорой и приобретает потенциальную
энергию mgh.

Если систему предоставить самой себе, то гиря будет ускоренно опускаться, а вал вместе с маховиком и шкивом – ускоренно вращаться. Потенциальная энергия гири будет при этом переходить в кинетическую энергию вращательного движения маховика, вала и шкива, а также в кинетическую энергию поступательного движения гири. Кроме того, часть потенциальной энергии будет затрачена на увеличение внутренней энергии теплового движения молекул трущихся тел за счет работы сил трения в опорных подшипниках вала.

Применим к данному случаю закон сохранения энергии:

(5)

где mgh – потенциальная энергия гири, поднятой на высоту h;

– кинетическая энергия гири в момент, непосредственно предшествующий ее остановке; – кинетическая энергия вращательного движения маховика, вала и шкива в тот же момент времени (I – момент инерции этой системы относительно оси вращения, w – угловая скорость); W_Т – часть потенциальной энергии, затраченной на увеличение внутренней энергии в результате работы сил трения за время падения груза.

Если приблизительно считать, что сила трения в подшипниках постоянна, то движение системы будет равноускоренным. Тогда скорость v, достигаемая к моменту соскальзывания нити со шкива, и высота падения h могут быть найдены из известных соотношений для равноускоренного движения v = at и , где а – ускорение гири; t – время ее падения. Отсюда

. (6)

Зная скорость гири v в момент соскальзывания нити со шкива и радиус шкива r, нетрудно найти соответствующую угловую скорость вала

. (7)

Определим работу сил трения в подшипниках. Поскольку сила трения принята не зависящей от скорости, то ее работа будет пропорциональна числу оборотов вала n₁: W_Т = bn₁.

Коэффициент пропорциональности b может быть найден опытным путем. Нить закреплена на шкиве при помощи петельки, соскальзывающей со шкива в момент падения гири на пол. После падения гири маховик по инерции будет продолжать вращаться.

Вследствие тормозящего действия сил трения это вращение будет замедленным, и после некоторого числа оборотов n₂, отсчитываемых от момента падения гири, маховик остановится. Приравнивая кинетическую энергию маховика в момент падения гири на пол к работе сил трения, совершенной за время замедленного вращения, получим . Отсюда и, следовательно,

(8)

Подставим выражения (7) и (8) в уравнение (5):

Решая это уравнение относительно момента инерции и заменяя скорость v согласно формуле (6), получим

.

Все величины, входящие в правую часть, могут быть найдены опытным путем. Поэтому при помощи этой формулы можно определить момент инерции вращающейся системы. Заметим в заключение лишь, что для данной лабораторной установки соблюдается соотношение >>1.

Физический смысл этого соотношения заключается в том, что кинетическая энергия гири, т.е. первое слагаемое в правой части формулы (28) мала по сравнению с остальными слагаемыми (в данном случае она сравнивается с mgh). Формула для определения момента инерции при этом несколько упрощается:

или, с учетом h = 2prn₁: (9)