Методы исследования устойчивости

Существуют три стандартных метода, обычно используемых для исследования устойчивости или свойств неустойчивостей, связанных с данным равновесным состоянием плазмы.

Простейший из них —интуитивный подход, согласно которому равновесное состояние подвергается возмущению, изменяющему силы, действующие на плазму. Если эти измененные силы действуют так, что увеличивают первоначальное возмущение, плазма неустойчива. Примером применения интуитивного подхода служит анализ змейковой неустойчивости. Этот подход не позволяет получить количественную информацию об инкрементах, однако с его помощью удается вскрыть механизм неустойчивости, показать, какие равновесные ситуации требуют дальнейшего анализа, а также получить информацию о том, какие моды, по-видимому, должны быть неустойчивыми.

Второй метод основан на энергетическом принципе. Равновесное состояние плазмы с потенциальной энергией W устойчиво, если W представляет собой минимальное значение, и неустойчиво в противном случае. Для исследования устойчивости плазмы этим методом необходимо вычислить изменение потенциальной энергии плазмы в результате данного возмущения. Плазменное равновесие устойчиво, если изменение потенциальной энергии положительно при любых возмущениях, не противоречащих уравнениям плазмы. Если же существует хотя бы одно допустимое возмущение, для которого приращение потенциальной энергии отрицательно, плазма неустойчива. Этот метод удобен при определении равновесных параметров в случае неустойчивого равновесия. Он не пригоден для нахождения инкремента конкретной неустойчивости.

Третий метод исследования устойчивости равновесия плазмы — анализ собственных частот. В этом методе предполагается, что, если исследуемое равновесное состояние подвергнуто возмущению, линеаризованные уравнения плазмы, описывающие развитие возмущения во времени, могут быть решены при соответствующих граничных условиях в предположении временной зависимости вида . При этом мы получаем уравнение дляω, в которое входят равновесные параметры. Решения этого уравнениямогут быть действительными, мнимыми или комплексными. Если все решения дляω действительны, то любые переменные, описывающие возмущение, осциллируют гармонически и плазма устойчива. Если хотя бы одно из решений дляω имеет положительную мнимую часть, система неустойчива, поскольку соответствующее собственное колебание будет раскачиваться со временем.

Анализ собственных частот позволяет получить полную информацию о неустойчивостях, присущих конкретному равновесному состоянию плазмы. Развитие любого начального возмущения может быть прослежено до того предела, до которого справедливы линеаризованные уравнения. К сожалению, анализ собственных частот может быть применен лишь в тех случаях, когда равновесное состояние плазмы достаточно простое, чтобы дифференциальные уравнения плазмы могли быть решены для каждой из гибридных частот. Уменьшение показателя преломления с возрастанием частоты называется в оптике аномальной дисперсией, причем в наиболее характерных случаях аномальной дисперсии это уменьшение происходит резко, в узком интервале частот. Именно поэтому гибридные частоты и следует называть частотами аномальной дисперсии.

(источник:Н.Кролл, А.Трайвелпис, Основы физики плазмы, гл.5, §§1-3)

Пучковая неустойчивость

Проведем анализ одного важного следствия формулы (31.23) для декремента затухания Ландау плазменных колебаний. Из этой формулы следует, что затухание колебаний, обусловленное обменом энергий с резонансными частицами, реализуется только в том случае, когда функция распределения резонансных частиц есть монотонно убывающая функция скорости. Это имеет место, например, при максвелловском распределении частиц плазмы по скоростям, когда единственный максимум функции распределения соответствует скорости

При наличии в плазме достаточно интенсивного пучка электронов функция распределения по скоростям может иметь дополнительный максимум для значения , отличного от нуля. Этот случай изображен на рис. 1.17. Волна, фазовая скорость которой лежит вблизи второго максимума функции распределения между точками 1 и 2, раскачивается электронным лучком. Механизм раскачки — все тот же резонансный обмен энергией между волной и частицами, который в данном случае за выполнения условия , т. е. преобладания в исходном состоянии частиц, движущихся быстрее волны, приводит к росту амплитуды волны. Таким образом, из всего спектра волн, которые вследствие флуктуации всегда присутствуют в плазме, электронный пучок выделяет узкую спектральную область находящихся с ним в фазовом резонансе волн и интенсивно накачивает энергию в эти волны.

В определенном смысле электронный пучок в плазме можно рассматривать как классический мазер на продольных колебаниях, поскольку фактически механизм неустойчивости связан с инверсностью заселенности уровней для частиц со скоростями, близкими к фазовой скорости волны (условие ).

Скорость нарастания амплитуды плазменных волн, возбуждаемых электронным пучком, определяется формулой (1.148). Из этой формулы, в частности, следует, что для возникновения неустойчивости необходимо, чтобы интенсивность пучка в плазме превышала некоторую минимальную величину или чтобы пучок был сильно надтепловым, т. е. приходился на далекую область «хвоста» максвелловского распределения тепловых частиц плазмы. Очень слабый пучок, очевидно, не сможет повлиять на функцию распределения электронов по скоростям таким образом, чтобы ее производная могла изменить знак. Если же в области скоростей (резонансных с неустойчивыми волнами) можно пренебречь вкладом плазменных частиц, то очевидно, что функцию распределения в резонансной области скоростей можно представить в виде , где —плотность пучка; — тепловой разброс в пучке (ширина его функции распределения по скоростям). Производная от функции распределения , и в этом случае для инкремента нарастания находим из (31.23) формулу

которая часто используется для оценок.

Формулы (31.23) и (32.1) описывают неустойчивости пучков сбольшем тепловым разбросом. Дело в том, что за нестационарности волнового процесса, в данном случае роста амплитуды волны при неустойчивости, резонанс волна — частица имеет конечную ширину по скорости .Именно на такую минимальную ширину по фазовым скоростям размыт пакет волн из-за мнимой части частоты. Формула (32.1), при выводе которой пренебрегалось конечной шириной резонанса волна — частица, относится к случаю сильно размытых пучков, когда тепловой разброс в пучке существенно больше ширины резонанса и для каждой неустойчивой волны на функции распределения пучка выделяется своя небольшая группа резонансных частиц.

В обратном предельном случае весь пучок как целое находится в резонансе с неустойчивой волной. Именно в этом случае следует ожидать развития наиболее сильной пучковой неустойчивости. Дисперсионное уравнение для такой неустойчивости можно получить из общего уравнения. При вычислении интеграла по скоростям в этом уравнении следует выделить область тепловых скоростей, в которой интеграл по v вычисляется обычным путем (разложением по параметру ), и область скоростей пучка, при рассмотрении которой можно считать пучок имеющим δ-образное распределение по скоростям: Однако нагляднее вывести искомое уравнение по аналогии с дисперсионным уравнением неустойчивости Бунемана, считая электроны пучка своего рода отдельным сортом частиц со своей плазменной частотой

(32.2)

где — квадрат ленгмюровской частоты в пучке. Применим графический метод анализа корней этого уравнения. График правой части этого уравнения при фиксированном k, т. е. для возмущений с заданной длиной волны, приведен на рис. 1.18. Видно, что когда минимальное значение F оказывается меньше единицы, у уравнения (32.2) все четыре корня вещественны, что соответствует периодическому изменению возмущений со временем. Если же минимум F больше единицы, то уравнение (32.2) имеет только два вещественных корня, а два корня являются комплексно сопряженными . Эти корни, очевидно, соответствуют изменению амплитуды колебаний по закону , и, таким образом, один из этих корней приводит к росту амплитуды со временем, т. е. к неустойчивости. Из (32.2) имеем, что и, следовательно, неустойчивыми окажутся достаточно длинноволновые возмущения, для которых

Коротковолновые колебания с устойчивы. Примерный график функции можно представить следующим образом. Неустойчивы только волны, сохраняющие фазовый резонанс с пучком . При малых инкремент нарастает с волновым числом:

Максимальный инкремент имеет место при выполнении резонансного условия (резонанс между собственными колебаниями электронов плазмы и волной в пучке ). Инкремент нарастания этой наиболее неустойчивой гармоники

Из этой формулы, в частности, следует, что условие пренебрежения тепловым разбросом в пучке (моноэнергетический пучок) можно записать в виде

В обратном предельном случае «размытого» пучка , для инкремента применима формула (31.23). Как и следовало ожидать, инкремент неустойчивости в этом случае существенно меньше.

Выясним теперь механизм рассматриваемого явления. В основе пучковой неустойчивости лежит физический механизм поляризационных «потерь заряженной частицы, т. е. потерь энергии на излучение продольных колебаний, но существует и значительное различие. Если использовать аналогию с квантовомеханической излучающей системой, то это различие можно сформулировать следующим образом: поляризационные потери отдельной заряженной частицы— эффект спонтанный, поляризационные потери, приводящие к пучковой неустойчивости,— процесс индуцированный. В равновесном состоянии пучок однороден по плотности, скомпенсирован по заряду и эффект поляризационных потерь отсутствует. Потери возникают в результате того, что волны плотности заряда, существующие в плазме на зародышевом тепловом уровне, приводят к предварительной модуляции пучка. В определенных условиях, которые будут выяснены ниже, электроны пучка собираются в основном в области тормозящих фаз поля волны и тем самым усиливают модулирующую их волну. Чем больше амплитуда модулирующего поля, тем глубже модуляция пучка и больше потери и вследствие этого эффективнее происходит возбуждение волны пучком. В результате развивается пучковая неустойчивость—возбуждение плазменных колебаний с теплового уровня, сопровождающеесяавтомодуляцией пучка.

Неустойчивые плазменные волны должны находиться в фазовом резонансе с пучком — их фазовые скорости должны быть близки к скорости пучка. Однако условие фазового резонанса только необходимо для возникновения неустойчивости плазменных волн, достаточным ее условием является преимущественнаябунчировка пучка в области тормозящих фаз поля, т. е. преобладание процессов индуцированного излучения волн над процессами поглощения.

Выясним условия, при которых происходит такаябунчировка. На рис. 1.19 изображены профиль потенциала плазменной волны ϕ(x) и сила, действующая на электроны пучка в волне edϕ /dx. Для определенности будем считать пучок моноэнергетическим, первоначально все его частицы имеют скорость . Если предположить, что амплитуда волны изменяется со временем достаточно медленно, то возмущение скорости частиц пучка можно найти из закона сохранения энергии

т. е. . С течением времени первоначально синусоидальный профиль волны скорости в пучке искажается, частицы с забегают вперед, частицы с отстают. При этом частицы пучка собираются в областях с повышенной крутизной профиля скорости u(x) (в системе отсчета волны движение направо). При выполнении условия (см. рис. 1.19) частицы собираются в области тормозящих фаз .

Аналогичным образом, если , то частицы будут бунчироваться в области фаз где они ускоряются электрическим полем волны, и неустойчивости не может быть.

Из приведенного анализа вытекает, что при взаимодействии электронного пучка с плазмой неустойчивыми оказываются только те волны, для которых выполнено условие

В этом случае электронный пучок разбивается на сгустки, стягивающиеся к тормозящим фазам электрического поля, и амплитуда волны растет со временем. Такой рост продолжается до тех пор, пока сгустки, на которые разобьется электронный пучок, не окажутся захваченными возбуждаемой им плазменной волной. Захваченные частицы попеременно смещаются от тормозящей фазы поля к ускоряющей и наоборот и в среднем за период таких колебаний не обмениваются энергией с волной. В результате захват частиц пучка волной должен приводить к стабилизации пучковой неустойчивости. Поскольку ширина резонанса плазменная волна-пучок , то условие захвата частиц пучка имеет вид

Воспользуемся тем, что электрическое поле плазменной волны , волновое число в области неустойчивости , инкремент неустойчивости «моноэнергетического» пучка определяется соотношением (32.5). В результате из (32.9) получим, что при неустойчивости «моноэнергетического» пучка энергия плазменной, волны должна возрастать до значения

Эта оценка, основанная на наглядных физических соображениях, подтверждается графиком зависимости амплитуды волны от времени, полученным (при численном решении задачи с учетом нелинейных эффектов (рис. 1.20).Вначале происходит экспоненциальный рост амплитуды от теплового уровня, сопровождающийся бунчировкой пучка. В дальнейшем захват пучка волной приводит к стабилизации неустойчивости, осцилляции амплитуды поля в нелинейном режиме соответствуют фазовым колебаниям бунчейзахваченных в потенциальную яму волны, между тормозящими и ускоряющими фазами поля.

Примерно такой же вид имеет зависимость от времени амплитуды волны, возбуждаемой «размытым» электронным пучком (см. рис. 1.20). Основные отличия этого случая от случая моноэнергетического пучка: 1)из-за малого числа частиц, резонансных с волной, амплитуда волны оказывается существенно меньше; 2) наличие разброса по энергиям в пучке приводит к фазовому размешиванию в потенциальной яме, затуханию осцилляции и установлению волны постоянной амплитуды.

Процесс бунчировки пучка, «наблюденный» в численном эксперименте, показан на рис.1.21. На рис. 1.22 приведены результаты лабораторного эксперимента по возбуждению монохроматической волны электронным пучком.

(источник: Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков, гл.1, §1.14)