Импульс. Закон сохранения импульса.

В механической системе, состоящей из нескольких тел, существуют как силы взаимодействия между телами системы, которые называются внутренними, так и силы взаимодействия этих тел с телами, не входящими в данную систему, которые называются внешними. Если внешние силы отсутствуют, то механическая система называется замкнутой.

Для замкнутой механической системы существует несколько физических величин, которые остаются постоянными с течением времени. Одной из таких величин является импульс тела, который является вектором и равен произведению массы тела m на вектор скорости тела v : p = mv . Для механической системы ее импульс равен векторной сумме импульсов, составляющих ее n тел:

Пользуясь выражением для импульса и учитывая постоянство массы тела, представим второй закон Ньютона в следующем виде:

(3.2)

Рассмотрим изолированную систему, состоящую из двух движущихся тел. Сталкиваясь друг с другом, тела (упругие шары) будут изменять свой импульс. Рассматривая взаимодействие тел в течение небольшого промежутка времени Dt и применяя к каждому телу закон изменения импульса, можно записать:

, – результирующие силы, действующие на каждое тело,

, – скорости в начале и в конце рассматриваемого промежутка времени.

Складывая равенства почленно, получим:

и – силы внутренние, тогда по III закону Ньютона =- .

Тогда

.

Это означает, что сумма импульсов обеих тел системы не изменяется со временем, т.е. .

Введем величину , представляющую вектор импульса всей системы (или полный импульс системы).

Тогда для системы из “n” тел

(3.3)

или из II закона Ньютона

, (3.4)

т.к. система замкнута.

Эти равенства выражают закон сохранения импульса.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Полный вектор импульса замкнутой (или изолированной) системы тел с течением времени не изменяется.

Пусть теперь на тела A и B действуют теперь как внутренние, так и внешние силы: на тело A – и , а на тело B – и .

Тогда ,

или, что равносильно для системы из “n” тел: .

Складывая эти уравнения с учетом, что , получаем

. (3.5)

Следовательно, производная по времени от вектора импульса системы равна сумме всех внешних сил, приложенных к телам системы.

Для замкнутой системы , вследствие чего полный импульс не зависит от времени. Это утверждение представляет собой содержание закона сохранения импульса. Повторим его:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Импульс замкнутой системы тел остается постоянным.

Отметим, что импульс системы тел остается постоянным и для системы, подверженной внешним воздействиям, при условии, что внешние силы, действующие на тела системы, в сумме дают нуль. Если даже сумма внешних сил не равна нулю, но проекция этой суммы на некоторое направление есть нуль, то составляющая импульса в этом направлении будет постоянной.

Работа и энергия.

Пусть тело, на которое действует сила , проходит, двигаясь по некоторой траектории путь S. При этом сила либо изменяет скорость тела, сообщая ему ускорение, либо компенсирует действие другой силы (или сил), противодействующих движению. Для характеристики действия силы, в результате которого совершается перемещение тела, используется величина, называемая работой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Работой называется скалярная величина, численно равная произведению действующей силы (F_S) на направление перемещения и величины пути (S), проходимого точкой приложения силы A=F_S×S.

Это выражение справедливо, если величина проекции силы F_S=const. В частности, это имеет место, когда тело движется прямолинейно и постоянная по величине сила F образует с направлением движения постоянный угол a (рис. 3.2). Т.к. F_S=F·cosa, то A=F·S·cosa.

Работа алгебраическая величина. Если

1. , то cosa > 0 Þ A > 0;

2. , то A<0, т.к. cosa < 0;

3. , то cosa = 0 Þ A = 0.

Последнее обстоятельство особенно отчетливо показывает, что понятие работы в механике существенно отличается от обыденного представления о работе.

Пример: Чтобы держать тяжелый груз, а тем более нести его по горизонтальному пути, носильщик затрачивает много усилий, хотя якобы «не совершает работу». Работа как механическая величина в этих случаях не равна нулю, так как эта работа складывается из множества перемещений вниз и вверх. Причем при перемещении вниз уменьшение потенциальной энергии в поле тяжести не переходит в полезную работу.

Если величина проекции силы на направление перемещения не постоянная величина во время движения, то для вычисления работы необходимо путь S разбить на элементарные участки DS, взяв их настолько малыми, что за время прохождения телом такого участка величину F_S можно было считать практически неизменной (рис. 3.3).

Тогда для элементарного участка пути: DA @ F_S×DS.

А работа на всем пути S будет вычисляться как сумма элементарных работ: .

При ×DS_i ® 0 получим строгое равенство:

График F_S как функции положения точки на траектории представлен на рис. 3.3. Видно, что элементарная работа равна площади заштрихованной полоски, а работа A на пути от точки 1 до точки 2 численно равна площади фигуры, ограниченной кривой F_S, вертикальными прямыми 1 и 2 и осью S.

Воспользовавшись скалярным произведением векторов, выражение для работы можно записать в виде:

, (3.6)

где под подразумевается вектор элементарного перемещения. Если сила имеет постоянную величину и направление, то вектор в последнем выражении можно вынести за знак интеграла, в результате чего выражение для работы примет вид:

, (3.7)

где – вектор перемещения, а S_F – его проекция на направление силы.

В системе СИ единицей работы является 1Дж, который равен работе, совершаемой силой в 1Н на пути в 1м. 1Дж=1Н×1м.

ЛЕКЦИЯ 4

Мощность.

На практике имеет значение не только величина совершенной работы, но и время, в течение которого она совершается. Из всех механизмов наиболее выгодными являются те, которые за меньшее время выполняют большую работу. Поэтому для характеристики механизмов, предназначенных для совершения работы, вводится величина, показывающая, какую работу данный механизм совершает в единицу времени. Эта величина называется мощностью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Мощность – физическая величина, численно равная работе, совершаемой телом за единицу времени.

Определяется мощность, как отношение работы DA к промежутку времени Dt, за который она совершается ; Если за одинаковые, сколь угодно малые промежутки времени совершается неодинаковая работа, то мощность будет зависеть от времени и в этом случае вводится понятие мгновенной мощности: ;

Если за время dt под действием силы произошло перемещение тела на , то элементарная работа dA, совершаемая за время dt будет равна .

Тогда мощность

. (3.8)

Следовательно, мощность оказывается равной скалярному произведению силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения силы:

W=F×v×cosa, где a – угол между направлением силы и скорости.

а) a=0, поэтому cosa=1, следовательно, W=Fv – max;

б) , поэтому cosa = 0, следовательно, , значит W = 0.

В системе СИ единицей мощности является 1Вт. Это мощность, при которой в единицу времени (1с) совершается работа в 1Дж.

Энергия.

Из опыта известно, что тела часто оказываются в состоянии совершать работу над другими телами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Физическая величина, характеризующая способность тела или системы тел совершать работу, называется энергией.

Пример: 1) Катящийся шар обладает энергией, т.к., сталкиваясь с другим телом, перемещает его, т.е. совершает работу.

2) Растянутая пружина также обладает энергией, т.к. после устранения деформирующей силы, совершает работу по перемещению своих частей (витков) или какого-либо другого тела.

3) система, состоящая из Земного шара и расположенного на некоторой высоте тела, обладает энергией, т.к. при устранении связи, удерживающей тело на высоте, это тело начнет двигаться и может совершить работу.

Итак, названные тела обладают энергией независимо от того, совершают они в данный момент времени работу или нет. Энергия характеризует способность системы к совершению работы при переходе из одного состояния в другое.

Если в первом состоянии энергия системы Е₁, а во втором Е₂, то

А = Е₂ - Е₁.

Если работа внешних сил A > 0, то энергия системы возрастает Е₂ ‑ Е₁ > 0.

Если A<0 (система совершает работу), то энергия системы убывает. Е₂-Е₁<0, т.е. убыль энергии в этом случае численно равна работе против тех сил, которые препятствуют движению тела. Следовательно, система может совершать работу только за счет изменения своей энергии.

Энергия тела может быть обусловлена двумя причинами:

1. Во-первых, движением тела с некоторой скоростью v. Энергия этого вида называется кинетической энергией (от греческого «кинетикос» – относящийся к движению).

2. Во-вторых, взаимным расположением тел или частей тела и характером их взаимодействия (или более, строго говоря, нахождением тела в потенциальном поле сил). Энергия этого вида называется потенциальной (от латинского «potential» – возможность).

Замечание: Поле сил называется потенциальным, если работа, совершаемая над телом силами, зависящими только от положения тела, не зависит от пути, а определяется только начальным и конечным положением тела в пространстве. А сами силы называются консервативными.

Далее рассмотрим введенные понятия более подробно.

Кинетическая энергия тела.

Рассмотрим простейшую систему, состоящую из одной частицы (материальной точки).

Напишем уравнение движения частицы . Здесь – результирующая всех сил, действующих на тело. Умножим это уравнение на перемещение частицы . Тогда . Здесь – есть приращение скорости за время dt.

Соответственно,

.

После этого получаем:

(3.9)

Если система замкнута, то , следовательно, , а сама величина . Эта величина называется кинетической энергией частицы.

Говорят, что для изолированной системы кинетическая энергия является интегралом движения (т.е. остается неизменной).

Если на частицу действует сила , то кинетическая энергия не остается постоянной. Проинтегрируем соотношение (3.9) вдоль некоторой траектории от точки 1 до точки 2.

.

Левая часть этого равенства представляет собой разность значений кинетической энергии в точках 2 и 1, т.е. приращение кинетической энергии на пути 1 – 2. Учтя это, получим:

,

где А – работа силы на пути 1®2, поэтому иногда пишут вместо А ® А₁₂.

Итак:

Работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы: А₁₂ = Т₂ - Т₁.

Энергия имеет такую же размерность, как и работа.