Движение подогреваемого газа по трубе постоянного сечения.
Процесс подвода тепла вносит особый вид сопротивления. При подогреве движущегося газа полное давление падает. Будем рассматривать движение газа в трубе. Обозначим и приведенные скорости в соответственных сечениях. Пусть скорость в трубе мала: <1 и <1. Пусть газ поступает в трубу х−г из канала с большим поперечным сечением I. На участке I−х реализуется течение без потерь и теплообмена. Подвод тепла осуществляется только в цилиндрической трубе х—г. После этого газ без потерь и теплообмена вытекает в широкий канал II. Несмотря на то, что в каналах I и II скорость мала, а гидравлическими потерями можно пренебречь, значения полного давления в сечениях I и II неодинаковы. Вследствие подогрева полное давление во втором канале меньше. Согласно уравнению Бернулли:
, . Отсюда изменение полного давления:
(1)
Из уравнения неразрывности следует, что если вследствие подогрева плотность газа уменьшается, то скорость его растет, а статическое давление падает. Из уравнения импульсов (пренебрегая трением) можно определить падение статического давления при подогреве на участке х−г:
или .
Подставив эту разность в уравнение (1), имеем
.
Отсюда видно, что при подогреве медленно движущегося газа величина потерь мала. При значительной же скорости ими пренебрегать уже нельзя.
Обнаруженное «тепловое» сопротивление нетрудно объяснить с точки зрения термодинамики. В рассмотренном примере имеет место расширение газа в конфузоре, затем подогрев его при пониженном давлении и, наконец, сжатие в диффузоре. Но такой цикл противоположен обычному циклу тепловой машины, в котором подвод тепла идет при повышенном давлении. По этой причине рассматриваемый процесс связан с поглощением, а не выделением энергии.
Оценим влияние подвода тепла на расход газа в трубе. Пусть истечение газа происходит через трубу постоянного сечения, в которой температура газа увеличивается от значения Тх до Тг. Ограничиваясь случаем малых скоростей ( <1), при котором абсолютная величина давления меняется незначительно, получим
.
Из уравнения импульсов, пренебрегая сопротивлением трения, имеем
и по определению . Тогда
(2)
Здесь есть полное давление в сосуде, из которого газ вытекает, а статическое давление в выходном сечении трубы. Расход газа при заданном перепаде давлений равен где F — поперечное сечение трубы. Из (2) следует, что
поэтому отношение расходов газа при отсутствии и наличии подогрева в трубе
(3)
Как видим, подвод тепла при заданном перепаде давлений ведет к уменьшению расхода газа при одновременном увеличении скорости истечения.
Исследуем падение давления на участке х−г трубы при большой дозвуковой скорости движения газа. При значительных скоростях течения плотность газа при подогреве уменьшается не только из-за повышения температуры, но и вследствие понижения статического давления. В связи с этим скорость газа увеличивается вдоль трубы быстрее, чем температура. Скорость звука, которая пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры, увеличивается вдоль трубы значительно медленнее, чем скорость потока. По этой причине число по длине трубы растет.
Поток, имеющий любую начальную скорость, можно за счет соответствующего подогрева довести до критической скорости (Мг=1). При большом начальном значении числа М понадобится незначительный подогрев. Чем ниже скорость, тем более сильный критический подогрев необходим. Но никаким подогревом нельзя перевести поток в цилиндрической трубе в сверхзвуковую область. Это явление носит название теплового кризиса. Естественно, что после того, как в конце трубы достигнут кризис, скорость потока в начале трубы не может быть увеличена никакими способами. Если по достижении кризиса продолжать подогрев газа, то величина критической скорости в конце трубы растет, а скорость в начале трубы падает. Иначе говоря, заданному количеству тепла соответствует совершенно определенное предельное значение числа М в начале трубы.