Предельная скорость движения газа. Число Маха.
Рассматривая истечение газа при отсутствии энергетического обмена не трудно убедиться в том, что скорость истечения ни при каких условиях не может быть выше некоторой максимальной величины
.
Максимальная скорость достигается в случае, когда теплосодержание в потоке равно 0, т.е. когда полное теплосодержание газа целиком преобразуется в кинетическую энергию
.
Для воздуха ( ; ); м/с;
Для перевода газа из состояния покоя в движение со скоростью , необходимо затратить часть теплосодержания.
, Разделим на полное теплосодержание:
, при , получим .
С учетом того, что , умножим правую часть уравнения на получим:
.
Скорость звука в газе определяется как: , поэтому степень использования теплосодержания газа для получения заданного значения скорости потока определяется отношением скорости потока к скорости звука в неподвижном газе:
при получим
Для воздуха: ,
Разделив тепловой перепад на теплосодержание в потоке получим:
,
где скорость потока оказывается отнесенной к скорости звука в потоке:
.
Отношение скорости потока к скорости звука в потоке принято называть числом Маха . Число Маха характеризует степень преобразования теплосодержания в кинетическую энергию потока
.
Режим при котором скорость потока равна скорости звука, т.е. М=1 называется критическим.
.
В энергетически изолированном течении газа:
, где − приведенная скорость.
при
Общие условия перехода от дозвукового течения
К сверхзвуковому и обратно.
Изменение числа М в газовом потоке происходит под влиянием трения, теплового и геометрического воздействия, при изменении расхода газа в канале и при совершении механической работы. Эти воздействия вызывают изменение числа М как в дозвуковом, так и в сверхзвуковом потоке газа. Рассмотрим влияние этих воздействий на скорость движения идеального газа. Расход газа равен . Продифференцируем и почленно поделим на G:
(1)
Дифференцируя уравнение состояния , получим:
или . (2)
Сопоставив (1) и (2), получим:
(3)
Из уравнения Бернулли в дифференциальной форме:
, (4)
где − техническая работа, − работа сил трения. Сопоставляя (3) и (4), получим:
(5)
здесь . От слагаемого избавимся с помощью дифференциального уравнения энергии:
(6)
−тепло, подводимое к газу извне, − прирост теплосодержания. Подставим (6) в (5), получим:
(7)
Выражение (7) − является условием обобщения воздействия, связывающим изменение скорости газового потока с внешними воздействиями − геометрическим, расходным, механическим, тепловым. Установлено Л.А.Вулисом. Особенность выражения (7) состоит в смене знака его левой части при переходе значения скорости через критическое. Воздействие, вызывающее ускорение в дозвуковом потоке (сужение канала, подвод дополнительной массы газа, совершение газом работы, трение и подвод тепла: dF<0, dG>0, dL>0, dQ>0) приводят к замедлению сверхзвукового потока. Воздействия обратного знака (расширение канала, отсос газа, сообщение газу механической работы, отвод тепла: dF>0, dG<0, dL<0, dQ<0) приводят к замедлению звукового потока и ускорению сверхзвукового. Под влиянием одностороннего воздействия величину скорости газового потока можно довести только до критической, но нельзя перевести через нее. Например, путем подвода тепла можно ускорять дозвуковой поток, но только до тех пор, пока не получится М=1. Для того чтобы перевести дозвуковой поток в сверхзвуковой, нужно переменить знак воздействия в зоне М=1, начав отводить тепло.
Скачки уплотнения.
1) Прямые скачки уплотнения.
Пусть под влиянием резкого смещения поршня в трубе возникло и распространяется слева направо сильная волна сжатия. За время фронт волны переместился на расстояние . Значит в области 1-Н за время давление от повысилось до и следовательно в 1-Н наблюдается повышение плотности газа на величину . Это может произойти, только если некоторое количество газа перетечет из объема 1-2 в 1-Н, где F − площадь поперечного сечения. При распространении сильной волны сжатия газ позади фронта волны должен находиться в движении следуя в том же направлении что и волна. Из уравнения неразрывности определим скорость газового потока.
, , − скорость волны.
; Применим к области Н-1 уравнение количества движения. За время масса газа заполнившая объем Н-1, перейдет из состояния покоя в движение со скоростью . Соответствующее изменение количества движения должно быть равно импульсу силы, вызванной разностью давлений, действующих в сечениях 1 и Н
следовательно (2)
Подставим (1) в (2), получим:
(3)
В случае слабой волны, когда , , имеем акустическую волну.
(4)
Волна, которая составляет прямой угол с направлением ее распространения − называется ударной волной. Остановив ударную волну встречным потоком газа, мы получим некоторую неподвижную поверхность, пересекая которую все элементарные струйки газа одновременно претерпевают скачкообразные изменения скорости движения, плотности, давления, температуры. По этой причине ударную волну называют скачком уплотнения.
2) Косые скачки уплотнений
Фронт косого скачка располагается наклонно к направлению потока. Косой скачок получается в том случае, когда пересекая фронт скачка газовый поток должен изменить свое направление. Например, при сверх звуковом обтекании газом клиновидного тела. Если до встречи струи с фронтом косого скачка вектор скорости составлял с ним угол , то после пересечения фронта струя отклоняется на угол , а угол между вектором скорости и фронтом скачка становится равным .
Разложим вектор скорости на два компонента, из которых один нормален , а другой параллелен фронту скачка. При пересечении струей фронта косого скачка нормальный компонент скорости уменьшается , а тангенциальный остается неизменным .
Пусть контур Н11Н охватывает часть фронта косого скачка. Участки Н1 − перпендикулярен фронту, участки Н-Н и 1-1 параллельны ему. Составим баланс количества движения для этого контура сначала в проекции на направление фронта. Ввиду того, что силы давления на обеих боковых поверхностях Н-1 одинаковы, соответствующая проекция количества движения остается неизменной, откуда и вытекает условие . Если теперь составить уравнение количества движения в направлении Н-1, перпендикулярном фронту, то ввиду того, что на поверхностях Н-Н и 1-1 действуют существенно разные давления получиться: . Давление в скачке уплотнения возрастает ( ) следовательно, нормальный компонент скорости в скачке уменьшается. Косой скачок уплотнения сводиться к прямому скачку, который сносится вместе с потоком газа в бок скоростью . При одной и той же скорости набегающего потока косой скачок всегда бывает слабее прямого. Интенсивность косого скачка уплотнения изменяется с изменением угла наклона его фронта к направлению набегающего потока. Случай, когда образуется прямой скачок является наиболее простым, так как при этом сразу получается дозвуковое течение. После косого скачка поток замедляется, но может оставаться сверхзвуковым. Полное торможение сверх звукового потока должно сопровождаться системой косых скачков, обычно завершающихся слабым прямым скачком или одним прямым скачком уплотнения.