Постановка задач прикладной ггд.
Лекция №1
Список рекомендуемой литературы.
1) Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. ГИТТЛ, М., 1953.
2) Дейч М.Е. Техническая газовая динамика. Энергоиздат, М., 1973.
3) Сергель О.С. Прикладная гидрогазодинамика. М., Машиностроение., 1981.
4) Башта Т.М. Гидравлика, гидравлические машины и гидравлические приводы. М., Машиностроение., 1970.
Введение.
Прикладная ГГД (гидрогазодинамика) – это наука, изучающая закон движения жидкостей и газов при их взаимодействии между собой или с твердыми телами, при скоростях, когда справедливы законы классической механики. В состав ГГД входят такие разделы, как:
− гидростатика - изучает равновесие жидкостей и тел в них погруженных;
− кинематика - изучает движение жидкостей без учета взаимодействий определяющих это движение;
− динамика - изучает движение жидкостей при их взаимодействии с твердыми телами. Динамика подразделяется на:
− гидродинамику - изучает законы движения несжимаемой жидкости ( );
− газовая динамика - изучает законы движения газа при существенном изменении его плотности , при подводе (отводе) к газу тепла или совершения над ним механической работы.
Модели жидкостей и газов. Идеальные жидкость и газ.
Ламинарный и турбулентный режим течения.
Критерий Рейнольдса.
Жидкостью называется, вещество, которое обладает свойством текучести. Под текучестью (легко подвижностью) сплошной среды понимают ее способность совершать непрерывное, неограниченное движение в пространстве и времени под действием приложенных сил или по инерции.
Идеальная (совершенная) жидкость − условная жидкость, которая считается абсолютно несжимаемой и невязкой (т.е. силы внутреннего трения в ней отсутствуют, и она воспринимает только усилия сжатия), не имеющей молекулярного строения. Допущение идеальности жидкости дает точные результаты при решении задач для жидкости, находящейся в покое, т.е. в гидростатике (когда силы внутреннего трения отсутствуют).
Идеальный (совершенный) газ отличается от идеальной жидкости тем, что он сжимаемый, но невязкий. Он удовлетворяет уравнению состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клайперона) . Используя понятие энтальпии и можно получить калорическое уравнение состояния идеального газа.
Капельные жидкости принимают сферическую форму (минимальный объем) и образует свободную поверхность. Свободные поверхности отделяют жидкость от атмосферы, они являются поверхностями уровня, а поверхность с постоянной величиной давления - поверхностями равного давления. Поверхность постоянного давления обладает двумя свойствами: а) две различные поверхности не пересекаются между собой. В противном случае в точке пересечения было бы два значения давления; б) внешние массовые (объемные) силы, проекциями которых являются X, Y, Z, направлены по нормали в каждой точке поверхности постоянного давления. Газы, характеризуются большой сжимаемостью и неограниченно расширяются при отсутствии давления.
Континуум − модель жидкости, которая считается сплошной однородной средой, не имеющей молекулярного строения. Континуумом является не только идеальная жидкость, но и вязкая жидкость. Эта гипотеза применима для жидкостей и сравнительно плотных газов, у которых в единице объема находится так много молекул, что большинство из них имеют параметры (например, скорость) примерно одинаковые и равные средневероятным значениям.
Ламинарное (слоистое) − это упорядоченное течение жидкости без перемешивания соседних слоев, без пульсации скорости и давления. При таком течении в трубе постоянного сечения все линии тока параллельны оси трубы, однако возможно упорядоченное вихревое движение вокруг линий тока.
Турбулентное (бурное, возмущенное) − сопровождается интенсивным перемешиванием и пульсациями скорости и других параметров. Имеет место поперечное перемещение отдельных частиц жидкости и их вращение вокруг собственных осей.
В 1883 году Рейнольдс доказал существование двух качественно различных режимов течения в трубах. Переход от ламинарного к турбулентному осуществляется внезапно, сопровождается усилением теплопередачи, увеличением потерь на трение. Из опытов при различных параметрах ( , , , ) он установил, что переход, определяется их комплексом и называется критическим числом Рейнольдса
при − ламинарный, при − турбулентный. В области имеет место узкая переходная зона , течение в которой называется переходным.
Лекция №2
Гидростатика.
Гидростатика − изучает законы, при которых жидкость находиться в состоянии равновесия. Для нее характерно постоянство формы и объема рассматриваемого тела и как следствие - отсутствие касательных напряжений. На элемент жидкости действуют только массовые силы, которые нормальны к поверхности. Общим условием равновесия жидкости или газа является равенство нулю равноденствия всех сил и суммы всех моментов, приложенных к любому элементу жидкости, относительно любой оси. Различают абсолютное и относительное равновесие жидкости, при этом свободные поверхности имеют различный вид.
Абсолютное равновесие. Относительное. Напряжение по оси Х.
Абсолютное − жидкость находится в сосуде только под действием силы веса.
Относительное − сосуд ускоренно движется вниз по наклонной плоскости.
Напряжение по оси Х − жидкость находится в цилиндре и вместе с ним вращается вокруг оси цилиндра с постоянной угловой скоростью.
Закон Паскаля.
Определим гидростатическое давление в произвольной точке жидкости с постоянной плотностью и давлением на свободной поверхности . Для этого случая: , ;
Уравнение равновесия в дифференциальной форме примет вид: .
, , ,
или −
основное уравнение гидростатики
Выводы: Давление, с которым внешние силы действуют на граничной поверхности жидкости, передается всем частицам этой жидкости по всем направлениям без изменения величины передаваемого давления (т.е. давление жидкости не теряется в пути). Давление в любой точке складывается из давления на свободной поверхности и давления столба вышележащей жидкости. Поверхности уровня параллельны свободной поверхности .
− давление столба жидкости высотой с плотностью на площадке 1 м2. z − геометрическая высота, − гидростатическое давление, Па,
− гидростатическая высота, м, − пьезометрическая высота.
Виды движения.
Причиной движения жидкости, во всех случаях, является нарушение условия ее равновесия. Задача кинематического изучения движения жидкости заключается в определении значения скорости в каждой точке движущейся жидкости для любого момента времени . Совокупность скоростей частиц жидкой среды образует поле скоростей. Проекции составляющих скорости на прямоугольные оси координат X, Y, Z в общем случае могут быть представлены так:
Различают два вида движения жидкости: установившееся и неустановившееся.
Установившееся движение это движение неизменное во времени, при котором параметры жидкости (скорость, давление, плотность и др.) являются функциями лишь координат и не зависят от времени, т.е. .
(истечение жидкости из сосуда при постоянном уровне)
Неустановившееся движение это движение, при котором параметры жидкости изменяются не только с изменением координат, но и во времени, т.е.
(истечение жидкости из сосуда, через отверстие в дне, при условии изменения уровня жидкости в сосуде).
Элементарная струйка.
Замкнутая поверхность, составленная из линий тока, называется трубкой тока. Часть жидкости, ограниченная трубкой тока, называется элементарной струйной. Элементарная струйка обладает следующими свойствами: 1) в случае установившегося движения форма элементарной струйки остается неизменной во времени, так как вид линий тока, из которых состоит струйка, в установившемся движении во времени не меняется; 2) поверхность элементарной струйки является непроницаемой для частиц жидкости, движущихся в соседних струйках, поскольку на поверхности струйки векторы скорости частиц совпадают с касательными. Таким образом, элементарная струйка представляет собой как бы самостоятельный элементарный поток. Поперечное сечение элементарной струйки принимается бесконечно малым: , . Вследствие этого скорости во всех точках ее поперечного сечения одинаковые. При решении многих задач гидродинамики делается предположение о том, что поток движущейся жидкости состоит из отдельных элементарных струек. Течение такого потока называют струйным, вследствие различия скоростей соседние струйки будут скользить одна по другой, не перемешиваясь друг с другом.
Динамика жидкости и газа.
Уравнение неразрывности.
Движение жидкости, при котором внутри потока не образуется пустот, т.е. нет разрывов струй, называется сплошным, или неразрывным. Найдем аналитическое выражение условия неразрывности течения жидкости, полагая плотность непостоянной. Секундная масса жидкости через единицу площади . ,
Пусть гранями бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz (рис. 29) ограничивается некоторое неподвижное относительно координатных осей пространство, через которое протекает жидкость.
За время сек через грань АВCD внутрь параллелепипеда втекает масса жидкости , а вытекает через грань А'В'C'D' масса . Плотность и скорость на входе (в плоскости грани ABCD) в общем случае сжимаемой жидкости не равны плотности и скорости на выходе (в плоскости грани А'В'C'D'). При этом изменение и обуславливается только тем, что при переходе от одной грани к другой для сходственных точек этих граней меняется лишь координата х независимо от времени, так как втекание происходит одновременно. Поэтому:
; ;
После преобразований получим
Если за время масса жидкости внутри параллелепипеда увеличилась за счет притока на величину , а уменьшилась за счет вытекания на величину , то изменение массы в этом движении вдоль координатной оси ОХ равняется:
.
Аналогично найдем, что изменение массы в итоге движения вдоль осей ОY и OZ равняется:
;
Общее изменение массы за время сек равно:
С другой стороны, изменение массы жидкости в объеме (dx, dy, dz) параллелепипеда можно рассматривать как изменение массы в зависимо от времени. В виду постоянства координат х, у, z (так как параллелепипед неподвижен), изменение массы в нем обусловлено изменением плотности во времени, так как в этом случае . В начальный момент времени масса внутри параллелепипеда равна . По прошествии промежутка времени dt сек, средняя для объема параллелепипеда плотность изменится и будет равна
.
В конечный момент временя масса жидкости в объеме параллелепипеда равняется
.
Таким образом, изменение массы за время dt будет равно
.
Выражения и в условиях сплошности течения представляют одно и то же изменение массы в объеме параллелепипед, поэтому или
.
Сократив это уравнение на величину объема параллелепипеда (dx, dy, dz) (это сокращение указывает на независимость результата от объема), получим
. (1)
Это и есть уравнение неразрывности. Оно одинаково справедливо как для капельной несжимаемой ( ), так и газообразной сжимаемой ( ) жидкости. В частном случае установившегося движения плотность (как и все остальные параметры движения) от времени не зависит и, следовательно, . Поэтому уравнение неразрывности в этой случае имеет вид
.
Для несжимаемой жидкости ( ), как при установившемся, так и при неустановившемся движении, уравнение неразрывности имеет вид
.
Уравнение неразрывности в общем случае для установившегося двухмерного (плоского) движения и одномерного движения соответственно
, . (2)
Для частного случая одномерного установившегося движения несжимаемой жидкости из уравнения неразрывности (2) можно получить формулу расхода жидкости для элементарной струйки.
А именно: , или , т.е. .
Умножив на постоянную величину df, где df − площадь поперечного сечения элементарной струйки, получим , или ,т.е. .
Дифференциальное уравнение (1) неразрывности течения можно представить и в другом виде, учитывая что:
− справедливо и для других осей координат, запишем:
.
Записав проекции скорости как
; , , получим:
, , поэтому
.
В форме Эйлера.
В потоке идеальной жидкости возьмем произвольную точку с координатами x, y, z и выделим элемент жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы точка М была одной из его вершин. Ребра параллелепипеда параллельны координатным осям и соответственно равны dx, dy, dz. Составим уравнения движения выделенного элемента жидкости, масса которого равна в проекции на оси координат. При этом используем принцип Д'Аламбера: силы, действующие на элемент жидкости в каждый момент времени, уравновешиваются силами инерции. На элемент жидкости действуют массовые и поверхностные силы. Положительное направление сил совпадает с положительным направлением осей координат. На выделенный элементарный объем жидкости действует результирующая массовая сила, составляющие которой, отнесенные к единице массы, равны X, Y, Z. Тогда массовые силы, действующие на выделенный объем в направления координатных осей, будут равны: ; ; . Из поверхностных сил, которые заменяет собой действие окружающей среды на выделенный элемент, нужно учитывать только нормальные силы давления, так как жидкость идеальная. При вычислении сил давления, действующих на отдельные грани параллелепипеда, следует иметь в виду, что давления по трем взаимно ортогональным бесконечно малым площадкам, проходящим через одну и ту же точку М равны . Тогда на противоположные грани действуют давления, отличающиеся на величину приращения давления вдоль соответствующей координатной оси. Так, например, поскольку
,
тогда разность сил давления на левую и правую грань (вдоль оси ОХ) равна
.
Аналогично находим результирующие давления на оси Y и Z. Они будут соответственно равны
и .
Скорость движения жидкости в точке М и ее компоненты изменяется с изменением координат и времени. Тогда проекции ускорения выделенного объема жидкости равны:
,
а силы инерции определятся как произведения этих ускорений на массу параллелепипеда:
.
Уравнения движения выделенного объема жидкости в проекциях на координатные оси теперь запишутся в следующем виде:
; ;
.
Разделив эти уравнения почленно на массу элемента , получим уравнения движения жидкости, отнесенные к единице массы:
; ; . (1)
Полученная система дифференциальных уравнений носит название уравнений движения идеальной жидкости в форме Эйлера. Члены этих уравнений представляют собой соответствующие ускорения. Смысл каждого из уравнений заключается в следующем − полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорения от массовых сил и ускорения от сил давления. Уравнения Эйлера в таком виде справедливы как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости, т.е. газа, а также для случая установившегося движения. Уравнения движения в форме Эйлера недостаточны для решения гидродинамических задач, так как число уравнений 3, а число неизвестных 5 ( ). К этим уравнениям необходимо добавить уравнение неразрывности движения
и так называемое характеристическое уравнение, которое устанавливает зависимость между плотностью жидкости, давлением и температурой: . Для случая несжимаемой жидкости . Для случая газообразной идеальной жидкости характеристическим уравнением является уравнение , где Т − абсолютная температура газа, Р − абсолютное давление газа, R − газовая постоянная. Для некоторых случаев движения предполагают, что плотность рассматриваемой среда зависит только от давленая и не зависит от температуры . Такая среда называется баротропной.
В форме Навье-Стокса
Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости в общем виде значительно сложнее уравнений движения идеальной жидкости, так как влияние вязкости сказывается не только в появлении касательных напряжении, но и в изменении величины нормального давления. Для их составления выделим в прямоугольной системе координат в потоке жидкости у точки M(x, y, z) элемент жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы точка М была одной из его вершин. Выражения для массы элемента, проекций его ускорения на оси координат, проекций объемных сил запишутся здесь так же, как и при выводе уравнений движения идеальной жидкости в форме Эйлера. Отличие будет только в выражениях для поверхностных сих. В случае вязкой жидкости на грани параллелепипеда будут действовать не только нормальные напряжения , но и касательные, потому что поверхностные силы в вязкой жидкости не ортогональны к рассматриваемой поверхности. В уравнения движения вязкой жидкости, помимо ускорений, учитываемых при движении идеальной жидкости, должны войти еще и ускорения от сил трения. Посмотрим сначала, как следует учитывать ускорения от сил трения при плоскопараллельном движении жидкости вдоль оси X с градиентом скорости только в направлении оси Y.
Согласно гипотезе Ньютона, при слоистом (ламинарном) течении жидкости сила трения между ее слоями равна
,
где − динамический коэффициент вязкости; − площадь поверхности трения; − градиент скорости по нормали y. Силу трения, отнесенную к единице площади поверхности трения, обозначают через и называют напряжением трения. Итак,
.
При наличии градиента скорости вдоль оси Y силы трения на верхнюю и нижнюю грани параллелепипеда действуют в противоположных направлениях. Сила трения на нижней грани элемента определяется как
на верхней грани элемента, где напряжение трения получило приращение , она равна .
Равнодействующая сила трения, действующая на жидкий элемент в направлении оси X, будет определяться разностью сил, действующих на нижней и верхней гранях элемента
.
Так как согласно гипотезе Ньютона, и , то
.
Соответствующее ускорение, т.е. силу трения, приходящуюся на единицу массы элемента , можно выразить как
.
В трехмерном потоке, когда градиенты скорости могут существовать в направлении всех трех координатных осей, ускорение от сил трения в проекциях на оси X, Y, Z, выражаются следующим образом:
, ,
.
Эти проекции ускорений от сил трения следует ввести в дифференциальное уравнения движения вязкой жидкости помимо ускорений, действующих на частицу идеальной жидкости. Тогда дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости запишутся в виде:
,
, (*)
.
Уравнения движения, записанные в такой форме (*), называются уравнениями Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости. Если при изучении движения вязкой жидкости одновременно учитывать и сжимаемость, то уравнения движения будут более сложными.
При движении вязкой (реальной) жидкости за гидростатическое давление в точке принимают среднее арифметическое значение давлений по трем произвольным, проходящим через данную точку, взаимно перпендикулярным площадкам, т.е.
.
Все слагаемые в уравнениях Навье-Стокса, так же как и в уравнениях Эйлера, имеет размерность ускорения м/сек2. В левые части уравнений входят проекция полного ускорения частицы, в правые части − проекции ускорения от объемных сил, от сил давления и от сил вязкости (трения). Неизвестными величинами являются скорости , давление Р, и в общем случав сжимаемой жидкости плотность . Зависимость от температуры считается известной. Для того чтобы получилась замкнутая система уравнений, в которой число уравнений равнялось числу неизвестных, необходимо к уравнениям Навье-Стокса присоединить уравнение неразрывности движения
,
а в случае сжимаемой жидкости, еще и характеристическое уравнение .
К сверхзвуковому и обратно.
Изменение числа М в газовом потоке происходит под влиянием трения, теплового и геометрического воздействия, при изменении расхода газа в канале и при совершении механической работы. Эти воздействия вызывают изменение числа М как в дозвуковом, так и в сверхзвуковом потоке газа. Рассмотрим влияние этих воздействий на скорость движения идеального газа. Расход газа равен . Продифференцируем и почленно поделим на G:
(1)
Дифференцируя уравнение состояния , получим:
или . (2)
Сопоставив (1) и (2), получим:
(3)
Из уравнения Бернулли в дифференциальной форме:
, (4)
где − техническая работа, − работа сил трения. Сопоставляя (3) и (4), получим:
(5)
здесь . От слагаемого избавимся с помощью дифференциального уравнения энергии:
(6)
−тепло, подводимое к газу извне, − прирост теплосодержания. Подставим (6) в (5), получим:
(7)
Выражение (7) − является условием обобщения воздействия, связывающим изменение скорости газового потока с внешними воздействиями − геометрическим, расходным, механическим, тепловым. Установлено Л.А.Вулисом. Особенность выражения (7) состоит в смене знака его левой части при переходе значения скорости через критическое. Воздействие, вызывающее ускорение в дозвуковом потоке (сужение канала, подвод дополнительной массы газа, совершение газом работы, трение и подвод тепла: dF<0, dG>0, dL>0, dQ>0) приводят к замедлению сверхзвукового потока. Воздействия обратного знака (расширение канала, отсос газа, сообщение газу механической работы, отвод тепла: dF>0, dG<0, dL<0, dQ<0) приводят к замедлению звукового потока и ускорению сверхзвукового. Под влиянием одностороннего воздействия величину скорости газового потока можно довести только до критической, но нельзя перевести через нее. Например, путем подвода тепла можно ускорять дозвуковой поток, но только до тех пор, пока не получится М=1. Для того чтобы перевести дозвуковой поток в сверхзвуковой, нужно переменить знак воздействия в зоне М=1, начав отводить тепло.
Скачки уплотнения.
1) Прямые скачки уплотнения.
Пусть под влиянием резкого смещения поршня в трубе возникло и распространяется слева направо сильная волна сжатия. За время фронт волны переместился на расстояние . Значит в области 1-Н за время давление от повысилось до и следовательно в 1-Н наблюдается повышение плотности газа на величину . Это может произойти, только если некоторое количество газа перетечет из объема 1-2 в 1-Н, где F − площадь поперечного сечения. При распространении сильной волны сжатия газ позади фронта волны должен находиться в движении следуя в том же направлении что и волна. Из уравнения неразрывности определим скорость газового потока.
, , − скорость волны.
; Применим к области Н-1 уравнение количества движения. За время масса газа заполнившая объем Н-1, перейдет из состояния покоя в движение со скоростью . Соответствующее изменение количества движения должно быть равно импульсу силы, вызванной разностью давлений, действующих в сечениях 1 и Н
следовательно (2)
Подставим (1) в (2), получим:
(3)
В случае слабой волны, когда , , имеем акустическую волну.
(4)
Волна, которая составляет прямой угол с направлением ее распространения − называется ударной волной. Остановив ударную волну встречным потоком газа, мы получим некоторую неподвижную поверхность, пересекая которую все элементарные струйки газа одновременно претерпевают скачкообразные изменения скорости движения, плотности, давления, температуры. По этой причине ударную волну называют скачком уплотнения.
2) Косые скачки уплотнений
Фронт косого скачка располагается наклонно к направлению потока. Косой скачок получается в том случае, когда пересекая фронт скачка газовый поток должен изменить свое направление. Например, при сверх звуковом обтекании газом клиновидного тела. Если до встречи струи с фронтом косого скачка вектор скорости составлял с ним угол , то после пересечения фронта струя отклоняется на угол , а угол между вектором скорости и фронтом скачка становится равным .
Разложим вектор скорости на два компонента, из которых один нормален , а другой параллелен фронту скачка. При пересечении струей фронта косого скачка нормальный компонент скорости уменьшается , а тангенциальный остается неизменным .
Пусть контур Н11Н охватывает часть фронта косого скачка. Участки Н1 − перпендикулярен фронту, участки Н-Н и 1-1 параллельны ему. Составим баланс количества движения для этого контура сначала в проекции на направление фронта. Ввиду того, что силы давления на обеих боковых поверхностях Н-1 одинаковы, соответствующая проекция количества движения остается неизменной, откуда и вытекает условие . Если теперь составить уравнение количества движения в направлении Н-1, перпендикулярном фронту, то ввиду того, что на поверх