И все-таки, что же это такое – энтропия?

Статистическая физика показала, что давление создается движущимися частицами, а температура – это кинетическая энергия отдельной частицы. Энтропия получила более глубокое и замечательное объяснение в работах физика-философа Людвига Больцмана[106]за 40 лет до статьи Эйнштейна о броуновском движении. Больцман много сделал для разработки закономерностей статистической физики. С возрастом у него развилось биполярное аффективное расстройство – серьезное психическое заболевание. В 1906 году, не сумев одолеть приступ депрессии, ученый повесился. Это произошло всего за три года до того, как эксперименты Перрена убедили научный мир, что основные представления, заложенные Больцманом, были правильными.

Больцман показал, что энтропия объекта связана с количеством вариантов, которыми микроскопические молекулы могут создать его макроскопическое состояние. Это количество вариантов называется статистическим весом (числом способов [квантовых состояний] осуществления этого состояния). Представьте галлон воздуха, в котором 1023 молекул. В одном макроскопическом состоянии этого объема воздуха все молекулы могут сгруппироваться в одном его углу. Способ достижения такого состояния имеется всего один. Так что статистический вес при этом будет равен единице. В другом варианте молекулы могут быть ровно распределены в каждом кубическом сантиметре объема. Статистический вес такого состояния огромен, потому что мы можем разместить первую молекулу в любом из 3785 см³ объема галлона, вторую – в любом другом кубическом сантиметре и так далее, заботясь только о том, чтобы не «переполнить» каждый отдельно взятый кубический сантиметр. Поскольку количество молекул в галлоне воздуха колоссально – 10²³ штук, статистический вес, то есть количество вариантов заполнения молекулами этого объема, гигантский, но вычисляемый. (Ниже мы дойдем до конкретных вычислений.)

Больцман постулировал, что статистический вес состояния определяет вероятность реализации такого состояния. Наибольшую вероятность имеет равномерное распределение молекул в объеме. При расчете статистического веса Больцман включал также количество вариантов обмена энергией между частицами.

Ученый понял, что подобный подход может оказаться ключом к более глубокому пониманию энтропии. Вычислив статистический вес состояния W , он нашел, что натуральный логарифм этого числа пропорционален энтропии! Это было удивительное открытие. До этого термин «энтропия» использовался в чисто техническом смысле, обозначая минимизацию потерь тепла. Больцман показал, что это фундаментальная величина, основывающаяся на абстрактной математике и статистической физике. Вот его уравнение:

Энтропия = k lg W.

Число k – фундаментальная мировая постоянная, чтобы переводить lg W [107], безразмерную величину, в понятную инженерам энтропию, которая измеряется в калориях на градус или джоулях на градус. Сегодня k называется постоянной Больцмана ; она определяет связь между температурой и энергией. (Я использовал ту же букву k в уравнении Эйнштейна, касающемся общей теории относительности, но это другое число.) Эта постоянная настолько важна, что каждый студент, изучающий физику, запоминает ее наизусть[108]. Больцман так гордился своим уравнением, что завещал выгравировать его на своей могиле, что и было сделано.

Определение множества гугол было придумано девятилетним Милтоном Сироттой, когда его дядя математик Эдвард Каснер попросил нарисовать после единицы столько нолей, сколько мальчик был в состоянии изобразить. Позднее они вдвоем решили, что гугол – это число, обозначаемое единицей со 100 нолями. Это можно записать так: 1 гугол = 10100. (Компания Google была названа по этому слову, правда с ошибкой в написании, Шоном Андерсоном, другом основателя Google Ларри Пейджа.) Количество атомов в нашей Вселенной оценивается в 1078. Это меньше, чем гугол, на 1 с 22 нолями. Однако статистический вес контейнера с газом, то есть число способов достижения его макроскопического состояния, – это 1 с 1025 нолями. Это число –

– многократно больше гугола. Но меньше гуголплекса.

Что же такое гуголплекс ? Это монстроподобное число определяется как 1 с гуголом нолей. (Это, кстати, был первоначальный вариант названия компании Google, предложенный Андерсоном.) Оно может быть записано как

Оно так огромно, что многие считают его нереальным. Оно больше, чем количество кубических миллиметров в известной нам Вселенной. Но оно используется в статистической физике при расчете энтропии Вселенной, которая оценивается австралийскими учеными Часом Эганом и Чарльзом Лайнвивером величиной 3 × 10104k . Это число – логарифм статистического веса W . Сама же величина W намного больше[109]. Число способов перераспределения вещества во Вселенной без изменения ее нынешнего состояния (те же звезды и другие космические тела – то есть W для нашей Вселенной) – больше, чем гуголплекс, намного больше, чем

Получается, что статистический вес Вселенной больше, чем если гуголплекс помножить на число 1 с 10 000 нолей.

Тирания энтропии

Как реальные молекулы могут разместиться в реальной емкости? Как поделят имеющуюся энергию? Главная идея Больцмана заключалась в том, что состояние с наибольшим статистическим весом будет доминировать. Более высокая энтропия выигрывает, и выигрывает сильно, потому что соответствующие вероятности определяются не логарифмом W , а самим W , то есть числом способов осуществления этого состояния, которое всегда будет больше его логарифма.

Результаты в статистической физике требуют предположения, что вероятность любого состояния зависит от числа способов его достижения. Это предположение не самоочевидно. Оно называется эргодической гипотезой [110]. На самом деле оно в строгом смысле неистинно. Если у вас две емкости, одна из которых заполнена газом, а другая пуста, состояние максимальной энтропии наступит, когда каждая емкость заполнится только наполовину. Но если эти емкости не соединены между собой, газ не может перемещаться из одной в другую. Таким образом, состояние максимальной вероятности оказывается недостижимым.

Это пояснение может звучать весьма тривиально, но оно очень важно с точки зрения понимания времени. Оно заставляет нас дать энтропии другое определение: энтропия не логарифм числа способов наполнения емкостей, а логарифм доступных таких способов. Подсчитывая их, не принимайте во внимание способы наполнения емкостей, нарушающие какие-то другие законы физики (например, что молекулы могут проникать сквозь стенки сосудов). Далее в этой книге статистический вес W будет обозначать число доступных способов наполнения емкостей .

Человек не в состоянии ограничить рост энтропии, но может установить некий контроль над достижением доступных состояний. Я попытаюсь доказать, что такой контроль можно считать ключевым в свободе выбора человека. Мы не в силах уменьшить энтропию Вселенной, но можем сделать свой выбор: соединять или нет две емкости с газом. Если не соединим, энтропия Вселенной будет меньше, чем в противном случае.

Мы можем также управлять локальной энтропией, снижая ее по нашему желанию. Это делает, например, кондиционер воздуха. Он охлаждает воздух внутри помещения, уменьшая энтропию в доме, и выбрасывает тепло наружу. Увеличение энтропии в чуть потеплевшем воздухе снаружи больше, чем количество энтропии, уменьшившееся внутри. Таким образом, использование этого устройства охлаждает нас и снижает нашу собственную энтропию, но повышает общую энтропию Вселенной.

Жизнь представляет собой локальный пример уменьшения энтропии. Растения забирают немногочисленный рассеянный углерод из воздуха, соединяют его с водой, получаемой из почвы, и при участии энергии солнечного света создают сложные молекулы крахмалов, которые организуются в высокоупорядоченные структуры. Энтропия молекул, из которых состоят растения, уменьшается, но общая энтропия повышается, главным образом за счет тепла, выбрасываемого в атмосферу.

Энтропия – это беспорядок

Часто говорят, что энтропией измеряется степень беспорядка и хаоса. Состояние газа с низкой энтропией подразумевает нахождение молекул на одной области пространства с высокой степенью организации. Состояние с высокой энтропией означает, что молекулы распределены в значительном пространстве и не упорядочены. Высокая энтропия относится к состоянию, которое возникает с большой вероятностью в результате случайных процессов. Низкая энтропия – такая организация вещества, которое в реальности маловероятно. Высокоорганизованное состояние, как следует из самого названия, не может быть итогом случайных природных процессов[111].

В принципе, если вы имеете дело с такой системой, как, например, идеальный тепловой двигатель Карно для получения полезной механической работы путем использования горячих газов, общая энтропия может остаться постоянной. Но этот идеальный двигатель пока не создан. На практике энтропия всегда увеличивается – в том смысле, что увеличивающийся хаос неизбежен. Перенос тепла от горячего объекта к холодному увеличивает энтропию. Наша Вселенная теряет свою организованность и медленно, но верно, становится все более подвержена случайностям.

Разбейте чашку – и вы увеличите энтропию ее молекул. Будучи разъединенными, они находятся ближе к первоначальному естественному случайному состоянию. Попробуйте выбросить эти молекулы в космическое пространство, позвольте им рассеяться – вы нарушите порядок и увеличите энтропию. Создавая чашку, мы уменьшаем локальную энтропию за счет остальной Вселенной. Бо льшая часть того, что мы считаем цивилизацией, основана на локальных уменьшениях энтропии.

Энтропия и квантовая физика

Статистическая физика удивительным образом привела к открытию физики квантовой. Нагрейте какой-то предмет до нескольких тысяч градусов по Фаренгейту, и он засветится видимым светом: этот свет будет красным. Статистическая физика объясняла это излучением вибрацией молекул в предмете[112]. Считалось, что движущиеся при этом электрические заряды порождали свет. Но расчеты, сделанные с позиций статистической физики, показывали, что это излучение должно иметь бесконечную энергию при уменьшении длины волны излучения (то есть смещении в ультрафиолетовую область), и эту проблему назвали ультрафиолетовой катастрофой [113]. По сути это знаменовало большие затруднения и даже крах статистической физики.

Немецкий физик Макс Планк в связи с этим предложил странное на первый взгляд и «нефизическое» решение. Он нашел уравнение, которое объясняло фактические наблюдения. Сегодня мы называем его формулой Планка . Это была математика, а не физика. Затем ученый начал искать новый физический принцип, который, в случае истинности, объяснил бы получение уравнения. Решение было найдено: он понял, что атомы могут эмитировать свет только порциями, которые назвали квантовыми . Эта поразительная идея стала основным принципом квантовой физики.

Планку пришлось предположить: когда атом испускает свет частотой f , энергия этого света должна представлять собой произведение этой частоты на базовую единицу энергии h . Он записал формулу в таком виде:

E = hf.

Число h подобрал таким образом, чтобы наблюдаемое излучение от горячих объектов соответствовало его формуле. Сегодня мы знаем это число как постоянную Планка , и это одна из самых знаменитых величин. Ученые часто говорят, что любая формула, которая не содержит h , принадлежит классической физике, а та, которая эту константу содержит, находится в области квантовой.

Предположение Планка в 1901 году было сделано произвольно. Его формула соответствовала экспериментальным данным, однако предположение о том, что черное тело эмитирует свет порциями – квантами, не имело подтверждения. Спустя четыре года Эйнштейн понял, что несколько иная интерпретация гипотезы Планка может быть использована для объяснения совершенно другой загадки – фотоэлектрического эффекта. Сегодня на нем основана работа солнечных батарей и цифровых фотокамер. Этот эффект был открыт в 1887 году Генрихом Герцем (тем самым немецким ученым, который обнаружил радиоволны и чьим именем названа единица частоты герц, которая присутствует в повсеместно распространенном электричестве [с частотой 50 герц[114]]).

Герц открыл, что свет, падающий на поверхность какого-то предмета, «выбивает» из него электрон. Одновременно он обнаружил, что энергия этого электрона зависит от цвета луча (то есть от его частоты), а не интенсивности. Это открытие было очень загадочным. Увеличивая интенсивность светового луча, Герц получал не электроны с увеличенной энергией, а рост их количества. Это наблюдение не имело особого смысла, если исходить из того, что свет – вид электромагнитного излучения.

Эйнштейн понял, что может объяснить фотоэлектрический эффект Герца, если предположит, что сам свет разделен на кванты. (Планк полагал, что на кванты делится атом.) Эйнштейн назвал эти частицы света кванты ; позже ученые назвали их фотонами . По существу, Эйнштейн открыл фотон. Во всяком случае, он был первым, кто признал его существование. Каждый фотон выбивает один электрон. Он сообщает этому электрону энергию hf. Таким образом, энергия электрона зависит от частоты света. Более интенсивный свет подразумевает, что в нем просто больше фотонов и что он «выбивает» больше электронов. Именно объяснение Эйнштейном фотоэлектрического эффекта принесло ему Нобелевскую премию в 1921 году.

По иронии судьбы квантовое объяснение эффекта фотоэлектричества утвердило Эйнштейна также в качестве одного из основателей квантовой физики. Ирония в том, что он никогда не принимал квантовую теорию, по крайней мере в том ее варианте, который стал доминировать в физике (речь идет о копенгагенской интерпретации квантовой механики).

* * *

Энтропия увеличивается. Время бежит вперед. Какая связь между ними? Простая или причинно-следственная? Артур Эддингтон утверждал, что энтропия и время связаны, но эта связь неочевидна. Энтропия не просто растет со временем, как заключила статистическая физика. Эддингтон считал, что все как раз наоборот: ведущим элементом здесь была энтропия. Энтропия оказывается причиной того, что время движется.

Глава 11

Объяснение времени

Эддингтон объясняет, как энтропия определяет направление стрелы времени

Те проблемы, которые сто ит решать, доказывают всю ценность сопротивлением их решению.

Пит Хейн[115]

Спросите случайно встретившегося физика: «Что заставляет время двигаться вперед?» Не знаю, со сколькими физиками вы знакомы, но я их знаю предостаточно. И я пробовал задавать этот вопрос многим из них. Ответом было обычно нечто типа: «Возможно, энтропия». Потом физик обычно старался пояснить свой ответ: «Я не уверен, что это так. Но мне кажется, что это единственное, что у нас есть».