Двойной интеграл позволяет вычислить массу, координаты центра тяжести, статичные моменты первого и второго порядка плоской пластинки, начиненной веществом.
Пусть на плоскости задана плоская фигура , и пусть непрерывная функция - плотность распределения ее массы. Разобьем фигуру на части сетью гладких кривых и, предполагая, что в пределах одной части плотность распределения масс постоянна, получаем приближенное выражение для массы:
.
В пределе имеем
.
Аналогично выводятся формулы для статических моментов первого порядка и относительно осей и :
и ,
Координаты центра тяжести пластинки вычисляются по формулам:
.
Вторые статические моменты (моменты инерции относительно осей и ) вычисляются по формулам:
и .
Наконец, момент инерции относительно начало координат имеет вид
.
2. Механические приложения тройного интеграла
Аналогично двумерному случаю можно выписать следующие формулы.
Масса тела:
.
Первые статические моменты относительно координатных плоскостей:
Координаты центра тяжести
.
Вторые статические моменты:
.
ЛЕКЦИЯ 7
Криволинейный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения
1. Криволинейный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление
Пусть в параметрически задана кривая .
Будем предполагать, что кривая является гладкой( кусочно-гладкой), т.е функции непрерывно дифференцируемые: . Такая кривая является спрямляемой. В этом случае длину дуги части кривой, отвечающей отрезку можно вычислять при помощи формулы
.
Если -длина части кривой, отвечающей отрезку .
Пусть -разбиение отрезка , - разметка разбиения,
.
Образуем интегральную сумму
.
Будем говорить, что для функции существует криволинейный интеграл первого рода по кривой , если существует , не зависящий от . Т.е
Значение интеграла полагают равным числу А:
.
Свойства криволинейного интеграла 1-го рода:
1. .
2. Если .
3.Если на , то .
4. ,
где - длина
Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.
По определению интеграла сумма является интегральной суммой для интеграла Римана-Стилтьеса поэтому .
Если , - гладкая кривая, то
Если кривая задана в трехмерном пространстве
, то аналогично
2. Приложения криволинейного интеграла 1-го рода
Геометрическое приложение: Вычисление длины кривой.
Длина кривой
Механические приложения: Вычисление массы, статических моментов, координат центра тяжести.
Пусть сначала - плоская кривая - плотность на кривой . Имеют место следующие формулы:
Масса
.
Первые статические моменты относительно осей и
Координаты центра тяжести
.
Вторые статические моменты (моменты инерции) относительно осей и
Момент инерции относительно начала координат
.
Пусть теперь - пространственная кривая , -плотность на кривой . Имеют место следующие формулы :
Масса
.
Первые статические моменты относительно координатных плоскостей
Координаты центра тяжести
.
Вторые статические моменты (моменты инерции) относительно координатных плоскостей:
Момент инерции относительно начала координат
ЛЕКЦИЯ 8
Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл. Формула Грина. Условия независимости интеграла от пути в R2
1. Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл
Пусть - гладкая кривая,
.
Пусть - разбиение отрезка ,
- мелкость разбиения,
- разметка разбиения.
Образуем следующую интегральную сумму:
Будем говорить, что для функций существует криволинейный интеграл второго рода по кривой в направлении возрастания параметра (от начальной точки кривой к конечной точке), если существует , не зависящий от , т.е.
Этой интеграл имеет следующее обозначение
.
Он зависит от ориентации кривой
В случае замкнутой кривой различают положительную и отрицательную ориентацию: против часовой стрелки и по часовой стрелке.
Этот случай подчеркивают следующим обозначением
.
Функции в записи интеграла можно считать координатами вектора . Его называют векторным полем, заданным на кривой .
Обозначим
Криволинейный интеграл определяет работу векторного (силового) поля вдоль кривой в направление от точки А к точке В. Работу по замкнутой кривой часто называют циркуляцией.
2. Формула Грина
Теорема (Формула Грина).Пусть в односвязной области задано векторное поле таким, что функции - непрерывные в Е .Кривая , множество , ограниченное этой кривой выпуклое . Тогда справедлива формула
.
Здесь кривая обходится в положительном направлении.
Доказательство.Будем считать, что рассматриваемая область односвязная, т.е. в ней нет исключенных участков.
y
y = y2(x)
D
A
C
B
y= y1(x)
0 x1 x2 x
Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:
Рассуждая аналогично, для области правильной при проектировании на ось , получим
(2)
Складывая (1) и (2), получим формулу Грина.
3. Условия независимости интеграла от пути в R2
Лемма.Работа векторного поля не зависит от пути тогда и только тогда, когда любая циркуляция равна 0.
Доказательство.Пусть произвольный замкнутый контур, точки А и В – любые точки на . Тогда
.
Работа векторного поля не зависит от пути .
Лемма доказана.
Векторное поле называется потенциальным, если существует функция 2-х переменных - скалярное поле такое, что ,т.е .
Замечание.В дифференциальных уравнениях уравнение первого порядка, записанное в дифференциалах называется уравнением в полных дифференциалах, если существует скалярное поле : .
В этом случае общий интеграл уравнения имеет вид
Теорема.Если в односвязной области функции непрерывны, то следующие условия эквивалентны:
1) поле - потенциальное в ;
2) в ;
3) Работа поля в не зависит от пути.
Доказательство.Будем следовать схеме .
·
Поле - потенциальное в , поэтому -скалярное поле : , т.е.
.
·
Достаточно проверить, что любая циркуляция в равна 0.
Используем формулу Грина, получим
.
·
Покажем, что следующее скалярное поле и есть искомый потенциал:
Итак,
-потенциальное поле в .
ЛЕКЦИЯ 9
Площадь поверхности в R3. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения
1. Площадь поверхности в R3
Поверхность в задается параметрически при помощи 2 параметров
,
,
- поверхность в .
Иногда поверхность задают при помощи одной функции двух переменных
.
Поверхность называется гладкой если:
.
Из этих частных производных можно записать матрицу Якоби нашего отображения
.
Точку назовем не особой, если ранг А в этой точке максимален и равен двум. В не особой точке векторы-столбцы являются линейно не зависимыми.
Выясним геометрический смысл этих векторов. Эти векторы - касательные векторы к линиям на поверхности. В не особой точке эти касательные векторы не коллинеарные.
Можно показать, что все касательные векторы к кривым на поверхности, проходящие через , лежат в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке .
В не особой точке уравнение касательной плоскости можно записать с помощью точки и двух касательных векторов :
.
Рассмотрим вектор .
Очень часто в качестве нормального вектора будем использовать единичный нормальный вектор
Определим первую квадратную форму на поверхности. Пусть
Таким образом, первая квадратичная форма на поверхности имеет вид:
.
Определение.Площадью гладкой поверхности , -измеримо по Жордану, называется число: .
Преобразуем эту формулу для площади поверхности
2. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление
Пусть поверхность ,
- непрерывная функция.
Определение.Поверхностным интегралом первого рода по поверхности от функции называется число
.
Здесь - элемент площади поверхности.
Данное определение справедливо и для кусочно-гладкой поверхности, т.е. поверхности, которая может быть разбита на конечное число гладких участков.
Поверхностный интеграл первого рода сводится к некоторому двойному интегралу и для него справедливы все его свойства.
3. Приложения поверхностного интеграла 1-го рода
Геометрическое приложение: Вычисление площади поверхности
Механические приложения: Вычисление массы, статических моментов, координат центра тяжести поверхности, начиненной веществом с плотностью .
Масса: .
Первые статические моменты относительно координатных плоскостей:
Координаты центра тяжести:
.
Вторые статические моменты относительно координатных плоскостей:
Статический момент (момент инерции) относительно начала координат:
.
ЛЕКЦИЯ 10