Фазовая скорость. Волновоеуравнение

Бегущими волнами называютсяволны, которые переносят в простран- стве энергию. Перенос энергии волна- ми количественно характеризуется вектором плотности потока энер- гии. Этот вектор для упругих на- зывается вектором Умова [по имени русского ученого А. Умова (1846 — 1915), решившего задачу о распростра- нении энергии в среде]. Направление вектора Умова совпадает с направлени- ем переноса энергии, а его модуль ра- вен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную пло- щадку, расположенную перпендику- лярно направлению распространения

Для вывода уравнения бегущей вол- ны — зависимости смещения колеблю- щейся частицы от координат и време- ни — рассмотрим плоскую волну, пред- полагая, что колебания носят гармони- ческий характер, а ось совпадает с на- правлением распространения волны (см. рис. 222). В данном случае волно-

вые поверхности перпендикулярны оси х, а так как все точки волновой по- верхности колеблются одинаково, то смещение будет зависеть только от х и t, т.е. t).

На рис. 222 рассмотрим некоторую частицу В среды, находящуюся от ис- точника О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плос- кости х — 0, описываются функцией = A то частица среды ко- леблется по тому же закону, но ее коле- бания будут отставать по времени от ко- лебаний источника на т, так как для прохождения волной расстояния х тре-

X

буется время т —, где v — скорость распространения волны. Тогда уравне- ние колебаний частиц, лежащих в плос- кости х, имеет вид

откуда следует, что является не только периодической функцией вре- мени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (154.1) есть уравнение бегущей волны. Если плос- кая волна распространяется в противо- положном направлении, то

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейсявдоль по- ложительного направления оси х в сре- де, не поглощающей энергию, имеет вид

(154.2)

где А — const — амплитуда волны; — циклическая частота; — началь- ная фаза волны; определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t;

раза плоской волны.

Для характеристики волн использу-

ется волновое число

(154.3)

Учитывая (154.3), уравнению (154.2) можно придать вид

Уравнение волны, распространяю- щейся вдоль отрицательного направле- ния оси х, отличается от (154.4) только знаком кх.

Основываясь на формуле Эйлера (140.7), уравнение плоской волны мож- но записать в виде

где физический смысл имеет лишь дей- ствительная часть (см. § 140).

Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т. е.

Продифференцировав выражение (154.5) и сократив на получим 0, откуда

Следовательно, скорость v распро- странения волны в уравнении (154.6) есть не что иное, как скорость переме- щения фазы волны, и ее называют фа- зовой скоростью.

Повторяя ход рассуждений для плос- кой волны, можно доказать, что урав- нение сферической волны — волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, записыва- ется как

(154.7)

где г— расстояние от центра волны до

точки среды.

В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, ампли- туда колебаний не остается постоянной,

а убывает с по закону Уравнение (154.7) справедливо лишь для г, значительно превышающих раз- меры источника (тогда источник коле- баний можно считать точечным).

Из выражения (154.3) вытекает, что фазовая скорость

(154.8)

Если фазовая скорость в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называется диспергирующей средой.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае опи- сывается волновым уравнением — дифференциальным уравнением в час- тных производных

где v — фазовая скорость; А — +

д д

2 2

+ + оператор Лапласа.

Решением уравнения (154.9) явля- ется уравнение любой волны. Соответ- ствующей подстановкой можно убе- диться, что уравнению (154.9) удовлет- воряют, в частности, плоская волна [см. (154.2)] и сферическая волна [см. (154.7)]. Для плоской волны, распрос- траняющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид

§ 155. Принцип суперпозиции.

Групповая скорость

Если среда, в которой распространя- ется одновременно несколько волн, линейна, т. е. ее свойства не изменяют- ся под действием возмущений, создава- емых волной, то к ним применим прин- цип суперпозиции {наложения) волн: при распространении в линейной сре- де нескольких волн каждая из них рас- пространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой мо- мент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают ча- стицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Исходя из принципа суперпозиции и разложения Фурье [см. (144.5)]. любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, т.е. в виде волнового пакета, или группы волн.

Волновым пакетом называется су- перпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

Рассмотрим простейшую группу волн, получающуюся в результате наложения двух распространяющихся вдоль поло- жительного направления оси х гармони- ческих волн с одинаковыми амплитуда- ми, близкими частотами и волновыми числами, причем и dk Тогда

= — кх) +

+ + - +

cos

Эта волна отличается от гармони- ческой тем, что ее амплитуда

есть медленно изменяющаяся функция координаты х времени t.

За скорость распространения этой негармонической (волнового па- кета) принимают скорость перемеще- ния максимума амплитуды волны, рас- сматривая тем самым максимум в ка- честве центра волнового пакета. При условии, что — = const, полу- чим

(155.1)

Скорость и есть групповая ско- рость. Ее можно определить как ско- рость движения группы волн, образу- ющих в каждый момент времени лока- лизованный в пространстве пакет. Выражение (155.1) получено для простейшей группы волн из двух со- ставляющих, однако оно справедливо и для суперпозиции многих волн.

Рассмотрим связь между групповой [см. (155.1)] и фазовой v = — скоростями. Учитывая, что

[см. (154.3)], получим

(155.2)

Из формулы (155.2) вытекает, что и

—

может быть как меньше, так и больше v

ду фазами этих волн. Это явление на- зывается интерференцией волн.

в зависимости от знака

dv . В недис-

Рассмотрим наложение двух коге- рентных сферических волн, возбужда-

пергирующей среде — = 0 и группо-

d\

вая скорость совпадает с фазовой.

Понятие групповой скорости очень важно, так как именно она фигурирует при измерении дальности в радиолока- ции, в системах управления космиче- скими объектами и т.д. В теории отно- сительности доказывается, что группо- вая скорость и с, в то время как для фазовойскоростиограниченийнесуще- ствует.

§156.Интерференция волн

Согласованное протекание во време- ни и пространстве нескольких колеба- тельных или волновых процессов назы- вают когерентностью. Волны являют- ся когерентными, если разность их фаз остается постоянной во времени. Оче- видно, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую час- тоту.

При наложении в пространстве двух (или нескольких) когерентных волн в разных его точках получается усиление или ослабление результирующей вол- ны в зависимости от соотношения меж-

Рис.223

емых точечными источниками и (рис. 223), колеблющимися с одинако- выми амплитудой частотой и по- стоянной разностью фаз. Согласно (154.7),

где — расстояния от источников волн до выбранной точки к — волно- вое число; и — начальные фазы обеих рассматриваемых сферических

Амплитуда результирующей волны в точке В по (144.2) равна

Так как для когерентных источни- ковразностьначальныхфаз — —

= const, то результат наложения двух волн в различных точках зависит от ве- личины А — называемойразно- стью хода волн.

В точках, где

наблюдается интерференционный

максимум: амплитуда

гоколебания А =

А -А

. Вточках,

гд е

— —-

наблюдается интерференционный ми- нимум:амплитударезультирующегоко-

называется порядком интерференци- онного максимума или минимума.

Условия (156.1) и (156.2) сводятся к тому,

волны, вдоль по-

ложительного направления оси х, вол- ны, распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид

(157.1)

(156.3)

Выражение (156.3) представляет со- бой уравнение гиперболы с фокусами в точки и Следовательно, геометри- ческое место точек, в которых наблюда- ется усиление или ослабление результи- рующего колебания, представляет собой семейство гипербол (см. рис. 223), от- вечающих условию — — Между двумя интерференционными максиму- мами (на рис. 223 сплошные линии) находятся интерференционные мини- мумы (на рис. 223 штриховые линии).

§ 157. Стоячие волны

Частным случаем интерференции являются стоячие волны — это волны, образующиеся при наложении двух бе- гущих волн, распространяющихся на- встречу друг другу с одинаковыми час- тотами и амплитудами, а в случае по- перечных волн еще и одинаковой поля- ризацией.

Для вывода уравнения стоячей вол- ны предположим, что две плоские вол- ны распространяются навстречу друг другу вдоль оси в среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми амплитудами и частота- ми. Кроме того, начало координат вы- берем в точке, в которой обе волны име- ют одинаковую начальную фазу, а от- счет времени начнем с момента, когда начальные фазы обеих волн равны нулю. Тогда соответственно

Сложив эти уравнения и учитывая,

что к — [см. (154.3)], дояв-

Л

Из уравнения стоячей волны (157.2) вытекает, что в каждой точке этой вол- ны происходят колебания той же час- тоты с амплитудой —

, от координа-

ты х точки.

В точках

амплитуда достигает макси- мального значения, равного 2А. В точ- ках среды, где

амплитуда колебаний обращается внуль. Точки, в которых амплитуда ко- лебаний максимальна назы- ваются пучностями стоячей волны, аточки, в которых амплитуда колебаний равна нулю — 0), называются уз- лами стоячей волны. Точки среды, на- ходящиеся в узлах, колебаний не совер- шают.

Извыражений (157.3) и (157.4) по- лучим соответственно координаты пуч- ностей иузлов:

Из формул (157.5) и (157.6) следу- ет, что расстояния между двумя сосед- ними пучностями и двумя соседними

узлами одинаковы и равны Рассто- яние между соседними пучностью и уз- лом стоячей волны равно

В отличие от бегущей волны, все точки совершают колебания с одинаковой но с запазды- ванием по фазе [в уравнении бе- волны фаза колебаний зависит от координаты точки],

все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются разными амплиту- дами, нос одинаковымифазами [в урав- нении (157.2) стоячей волны аргумент косинуса не зависит от х]. При переходе

через узел множитель A cos х меня- ет свой знак, поэтому фаза колебаний

Рис. 224

по разные стороны от узла отличается на т. е. точки, лежащие по разные сто- роны от узла, колеблются в противо- фазе.

Образование стоячих волн наблюда- ют при интерференции бегущей и отра- женной волн. Если конец веревки зак- репить неподвижно (например, к стене), то отраженная в месте закрепления ве- ревки волна будет интерферировать с бе- гущей волной, образуя стоячую волну. На границе, где происходит отражение волны, в случае возникает узел. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от кото- рой происходит отражение, менее плот- ная, то в месте отражения возникает пучность (рис. 224, если более плот- ная — узел (рис. 224, Образование узла связано с тем, что волна, отража- ясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у грани- цы происходит сложение колебаний с противоположными фазами, в резуль- тате чего получается узел. Если же вол- на отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами — образуется

пучность.

Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переносаэнергиинет,таккакпадающая и отраженная волны одинаковой амп- литуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. По- этому полная энергия результирующей стоячей волны в пределах между узло- выми точками остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных половине длины волны, происходят взаимные превращения кинетической; энергии в потенциальную и обратно.

§ 158. Звуковые волны

Звуковыми (или акустическими) волнами называются распространяю- щиеся в среде упругие волны, обла- дающие частотами в пределах 16 — 20 000 Гц. Волны указанных частот, воз- действуя на слуховой аппарат челове- ка, вызывают ощущение звука. Волны с v < 16 Гц {инфразвуковые) v > 20 кГц

{ультразвуковые) органами слуха че- ловека не воспринимаются.

Звуковые волны в газах и жидкостях могут быть только продольными, так как эти среды обладают упругостью лишь по отношению к деформациям сжатия (растяжения). В твердых телах звуковые волны могут быть как про- дольными, так и поперечными, по- скольку твердые тела обладают упруго- стью по отношению к деформациям сжатия (растяжения) и сдвига.

Интенсивностью звука (или си- лой звука) называется величина, опре- деляемая средней по времени энерги- ей, переносимой звуковой волной в еди- ницу времени сквозь единичную пло- щадку, перпендикулярную направле- нию распространения волны:

интенсивности звука в —

ватт на метр в квадрате (Вт/м2).

Чувствительность человеческого уха различна для разных частот. Для того чтобы вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой ми- нимальной интенсивностью, но если эта интенсивность превышает определен- ный предел, то звук не слышен и вызы- вает только болевое ощущение. Таким образом, для каждой частоты колеба- ний существуют наименьшая (порог слышимости) наибольшая (порог болевого ощущения)

звука, которые способны вызвать зву- ковое восприятие. рис. 225 представ- лены зависимости порогов

ти и болевого ощущения от частоты звука. Область, расположенная между этими двумя кривыми, является обла- стью слышимости.

Если интенсивность звука является величиной, объективно характеризую- щей волновой процесс, то субъективной характеристикой звука, связанной с его интенсивностью, является громкость звука, зависящая от частоты. Согласно физиологическому закону Вебера — с ростом интенсивности зву- ка громкость возрастает по логарифми- ческому закону. На этом основании вводят объективную оценку громкости звука по измеренному значению его интенсивности:

где — интенсивность звука на пороге слышимости, принимаемая для всех звуков равной Вт/м2.

Величина Lназывается уровнем ин- тенсивности звука выражается в белах (в честь изобретателя телефона Белла). Обычно пользуются единица- ми, в 10 раз меньшими, — децибелами

Физиологической характеристикой звука является уровень громкости, ко- торый выражается в фонах (фон). Гром- кость для звука в 1000 Гц (частота стан- дартного чистого тона) равна 1 фон,

1 0 Курс фи 289

если его уровень интенсивности равен 1 дБ. Например, шум в вагоне метро при большой скорости соответствует фон, а шепот на расстоянии —

фон.

Реальный звук является наложени- ем гармонических колебаний с боль- шим набором частот, т. е. звук обладает акустическим спектром, который мо- жет быть сплошным (в некотором ин- тервале присутствуют колебания всех частот) и линейчатым (присутствуют колебания отделенных друг от друга определенных частот).

Звук характеризуется помимо гром- кости еще высотой и тембром. Высота звука — качество звука, определяемое человеком субъективно на слух и зави- сящее от частоты звука. С ростом час- тоты высота звука увеличивается, т.е. звук становится выше. Характер акус- тического спектра и распределения энергии между частотами определяет своеобразие звукового ощущения, на- зываемое тембром звука.

Так, различные певцы, берущие одну и ту же ноту, имеют различный акусти- ческий спектр, т. е. их голоса имеют раз- личный тембр.

Источником звука может быть вся- кое тело, колеблющееся в упругой сре- де со звуковой частотой (например, в струнных инструментах источником звука является струна, соединенная с корпусом инструмента).

Совершая колебания, тело вызыва- ет колебания прилегающих к нему час- тиц среды с такой же частотой. Состоя- ние колебательного движения последо- вательно передается к все более удален- ным от тела частицам среды, т.е. в сре- де распространяется волна с частотой колебаний, равной частоте ее источни- ка, и с определенной скоростью, зави- сящей от плотности и упругих среды. Скорость распространения зву-

ковых волн в газах вычисляется фор- муле

(158.1)

отношение молярных

теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме; R — молярная га- зовая постоянная; Г — термодинамиче- ская температура; М — молярная масса. Из формулы (158.1) вытекает, что скорость звука в газе не зависит от дав- ления р газа, но возрастает с повыше- нием температуры. Чем больше мо- лярная масса газа, тем меньше в нем скорость звука. Например, при Т =

= 273 К скорость звука в воздухе =

— 29 • кг/моль) v — 331 м/с, в водо- роде 2 • кг/моль) v = 1260 м/с. Выражение (158.1) соответствует опыт- ным данным.

При распространении звука в атмо- сфере необходимо учитывать целый ряд факторов: скорость и направление ветра, влажность воздуха, молекуляр- ную структуру газовой среды, явления преломления и отражения звука на гра- нице двух сред. Кроме того, любая ре- альная среда обладает вязкостью, по- этому наблюдается затухание звука, т. е. уменьшение его амплитуды и, следова- тельно, интенсивности звуковой волны по мере ее распространения. Затухание звука обусловлено в значительной мере его поглощением в среде, связанным с необратимым переходом звуковой энер- гии в другие формы энергии (в основ- ном в тепловую).

Для акустики помещений большое значение реверберация звука — процесс постепенного затухания звука в закрытых помещениях после выклю- чения его источника. Если помещения пустые, то происходит медленное зату- хание звука и создается «гулкость» по-

мещения. Если звуки затухают быстро (при применении звукопоглощающих материалов), то они воспринимаются приглушенными. Время ревербера- ции — это время, в течение которого ин- тенсивность звука в помещении ослаб- ляется в миллион раз, а его уровень — на 60 дБ. Помещение обладает хорошей акустикой, если время реверберации со- ставляет 0,5 — с.

§ 159. Эффект Доплера в акустике

Эффектом Доплера1 называется изменение частоты колебаний, воспри- нимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемни- ка относительно друг друга. Например, из опыта известно, что тон гудка поез- да повышается по мере его приближе- ния к платформе и понижается при уда- лении, т. е. движение источника колеба- ний (гудка) относительно приемника (уха) изменяет частоту принимаемых колебаний.

Для рассмотрения эффекта Допле- ра предположим, что источник и при- емник звука движутся вдоль соединя- ющей их прямой; и — соответ- ственно скорости движения источника и приемника, причем они положитель- ны, если жается к приемнику (источнику), и от- рицательны, если удаляются. Частота колебаний источника равна

1. Источник и приемник покоятся относительно среды,т. е. = 0. Если v — скорость распространения звуковой волны в рассматриваемой

1)

де, то длина волны \ vT — —. пространяясь в среде, волна достигнет

1853) — фи-

зик, и астроном.

Рис. 226

приемника и вызовет колебания его зву- кочувствителыюго элемента с частотой

Следовательно, частота у звука, ко- торую зарегистрирует приемник, равна частоте с звуковая волна излучается источником.

2. Приемник приближается к источ- нику, а источник покоится,т.е. > 0,

= 0.

В данном случае скорость распрост- ранения волны относительно приемни- ка станет равной v + Так как длина волны при этом не меняется, то

т.е. частота колебаний, воспринимае- мых приемником, в раз боль- ше частоты колебаний источника.

3. Источник приближается к прием- нику, а приемник покоится, т. е. > О,

= 0.

Скорость распространения колеба- ний зависит лишь от свойств среды, по- этому за время, равное периоду колеба- ний источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние vT (равное длине волны \) независимо от того, движется ли источ- ник или покоится. За это же время ис- точник пройдет в направлении волны расстояние (рис. 226), т.е. длина волны в направлении движения сокра- тится и станет равной

Тогда

т. е. частота v колебаний, воспринимае- мых приемником, увеличится в

V

раз. В случаях 2 3, если < 0 и

< 0, знак будет обратным.

4. Источник и приемник движутся относительно друг друга. Используя результаты, полученные для случаев 2 и 3, можно записать выражение для частоты колебаний, регистрируемых приемником:

(159.1)

причем верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит сближение, нижний знак — в случае их взаимного удаления.

Из приведенных формул следует, что эффект Доплера различен в зави- симости от того, движется ли источник или приемник. Если направления ско- ростей не совпадают с прохо- дящей через источник и приемник пря- мой, то вместо этих скоростей в форму- ле (159.1) надо брать их проекции на направление прямой.

§ Ультразвук и его применение

По своей природе ультразвук пред- ставляет собой упругие волны, и в этом он не отличается от звука (см. § 158). Однако ультразвук, обладая высокими частотами > 20 кГц) и, следователь- но, малыми длинами воли, характери- зуется особыми свойствами, что позво- ляет выделить его в отдельный класс явлений. Из-за малых длин воли ульт- развуковые волны, как и свет, могут

быть получены в виде строго направ- ленных пучков.

Для генерации ультразвука исполь- зуются в основном два явления.

Обратный пьезоэлектрический эффект (см. § 91) — это возникнове- ние деформации в вырезанной опреде- ленным образом кварцевой пластинке (в последнее время вместо кварца при- меняется бария) под действи- ем электрического поля. Если такую пластинку поместить в высокочастот- ное переменное поле, то можно вызвать ее вынужденные колебания. При резо- нансе на собственной частоте пластин- ки получают большие амплитуды коле- баний и, следовательно, большие интен- сивности излучаемой ультразвуковой волны. Идея кварцевого ультразвуково- го генератора принадлежит французско- му физику (1872 — 1946). Магнитострикция — это возникно- вение деформации в ферромагнетиках под действием магнитного поля. Помес- тив ферромагнитный стержень (напри- мер, из никеля или железа) в быстропе- магнитное поле, возбуждают

его механические колебания, амплитуда которых максимальна в случае резонанса.

Ультразвуки широко используются в технике, например для направленной подводной сигнализации, обнаружения подводных предметов и определения глубин (гидролокатор, эхолот). Напри- мер, в эхолоте от пьезокварцевого гене- ратора, укрепленного на судне, посыла- ются направленные ультразвуковые сигналы, которые, достигнув дна, отра- жаются от него и возвращаются обрат- но. Зная скорость их распространения в воде и определяя время прохождения (от подачи до возвращения) ультразву- кового сигнала, можно вычислить глу- бину. Прием эха также производится с помощью пьезокварца. Звуковые коле- бания, дойдя до пьезокварца, вызыва-

ют в нем упругие колебания, в резуль- тате чего на противоположных поверх- ностях кварца возникают электричес- кие заряды, которые измеряются.

Если пропускать сигнал через исследуемую деталь, то можно обнаружить в ней дефекты по характерному рассеянию пучка и по по- явлению ультразвуковой тени. На этом принципе создана целая отрасль техни- ки — ультразвуковая дефектоско- начало которой положено С. Я. Со- коловым (1897—1957). Применение ультразвука легло также в основу новой области акустики — акустоэлектро- ники, позволяющей наее основе разра-

батывать приборы для обработки сиг- нальной информации в микрорадио- электронике.

Ультразвук применяют для воздей- ствия на различные процессы (кристал- лизацию, диффузию, тепло- и массооб- мен в металлургии и т.д.) и биологиче- ские объекты (повышение интенсивно- сти процессов обмена и т.д.), для изу- чения физических свойств веществ (по- глощен