И его решение. Автоколебания

Рассмотрим свободные затухаю- щие колебания — колебания, амплиту- ды которых из-за потерь энергии реаль- ной колебательной системой с течени- ем времени уменьшаются. Простейшим механизмом уменьшения энергии коле- баний является ее превращение в теп- лоту вследствие трения в механических

системах, а также оми- ческих потерь и излучения электромаг-

нитнои энергии в электрических коле- бательных системах.

Закон затухания опреде- ляется свойствами колебательных сис- тем. Обычно рассматривают линейные системы — идеализированные реаль- ные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства

+ 0. (146.3)

Решение уравнения (146.3) зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен:

(146.4)

системы, в ходе процесса не изменяют-

[если (из

0, то такое обозначе-

ся. Линейными системами являются, например, пружинный маятник при ма- лых растяжениях пружины (когда спра- ведлив закон Гука), колебательный контур, индуктивность, емкость и со- противление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения.

Различные по своей природе линей- ные системы описываются идентичны- ми линейными дифференциальными уравнениями, что позволяет подходить к изучению колебаний различной фи- зической природы с единой точки зре- ния, а также проводить их моделирова- ние, в том числе и на ЭВМ.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы задается в виде

где s —колеблющаяся величина, опи- сывающая тот или иной физический процесс; б const — коэффициент за- тухания, —циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т.е. при б — 0(при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.

Решение уравнения рассмот- рим в виде

ние мы вправе сделать]. Тогда получим

уравнение типа (142.1) + 0, ре- шением которого является функция и= + [см. (140.1)]. Таким образом, решение уравнения (146.1) в случае малых затуханий

+ (146.5)

где

— амплитуда затухающих колеба-

ний; — начальная амплитуда.

Зависимость (146.5) показана па рис. сплошной линией, а зависи- мость (146.6) — штриховыми

Промежуток времени т = -, в течение

которого амплитуда затухающих коле- баний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие коле- бания не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо по- нятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно услов- но пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя пос-

где

(146.2)

После нахождения первой и второй

производных выражения (146.2) и под- становки их в (146.1) получим

ледующими максимумами (или мини- мумами) колеблющейся физической величины (см. рис. Тогда период затухающих колебаний с учетом фор- мулы (146.4) равен

Если A(t) и + T) — амплитуды двух последовательных колебаний, со- ответствующих моментам времени, от- личающимся на период, то отношение

называется декрементом

а его логарифм

ских (в качестве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнит- ных (в качестве примера рассмотрим электрический колебательный контур).

1. Свободные затухающие колеба- ния пружинного маятника. Для пру- жинного маятника (см. § 142) массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F= сила трения пропорциональна скорости, т. е.

где г сопротивления; знак «-» указывает на противополож- ные направления силы трения и скоро- сти.

При данных условиях закон движе- ния маятника будет иметь вид

— логарифмическим декрементом затухания; — число колебаний, со- вершаемых за время уменьшения амп- литуды в е раз. Логарифмический дек- ремент затухания — постоянная вели- чина для данной колебательной систе- мы.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием доб- ротности Q, которая при малых зна- чениях логарифмического декремента

(так как затухание мало (б2 то

Т принято равным

Из формулы (146.8) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний совершаемых системой за время релаксации.

Выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линейных сис- тем, применимы для колебаний различ- ной физической природы — механиче-

(146.9)

Используя формулу

(142.2)] и принимая, что коэффициент затухания

получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение затухаю- щих колебаний маятника:

Извыражений (146.1) и(146.5) вы- текает, что колебания маятника подчи- няются закону

гдечастота = [см. (146.4)]. Добротность пружинного маятника, согласно (146.8) и (146.10),

2. Свободные затухающие колеба- ния в электрическом колебательном контуре.Дифференциальное уравне- ние свободных затухающих колебаний

заряда в контуре (при R 0) имеет вид [см. (143.2)]

Учитывая выражение (143.4) и прини- мая коэффициент затухания

Извыражений (146.1) и (146.5) выте- кает, что колебания заряда совершают- ся позакону

с частотой, согласно (146.4),

(146.11) (146.13)

дифференциальное уравнение (143.2) можно записать в идентичном уравне- нию (146.1) виде

меньшей собственной частоты конту- ра [см. (143.4)]. При R = 0 формула (146.13) переходит в (143.4).

Т а б л ц а 7

Логарифмический декремент зату- хания определяется формулой (146.7), а добротность колебательного контура [см.

(146.14)

В табл. 7 произведено сопоставление затухающих колебаний пружинного маятника и колебаний в электрическом колебательном контуре.

В заключение отметим, что при уве- личении коэффициента затухания 6 пе- риод затухающих колебаний растет и при 8 обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периоди- ческим. В этом случае колеблющаяся величина асимптотически приближает- ся к нулю, когда t со. Данный про- цесс будет апериодическим, а не коле- бательным.

Огромный интерес для техники пред- ставляет возможность поддерживать колебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии реальной колебательной системы. Осо- бенно важны и широко применимы так называемые автоколебания — незату- хающие колебания, поддерживаемые в

системе за счет посто- янного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний опре- деляются самой системой.

Автоколебания принципиально от- личаются от свободных незатухающих колебаний, происходящих без последу- ющих внешних воздействий, а также от вынужденных колебаний (см. § 147), происходящих под действием периоди- ческой силы. Автоколебательная систе- ма сама управляет внешними воздей- ствиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями).

Примером автоколебательной сис- темы могут служить часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с колебаниями. Энергия, переда- ваемая при этом маятнику, берется либо за счет раскручивающейся пру- жины, либо за счет опускающегося груза. Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах так- же возникают вследствие автоколе- баний, поддерживаемых воздушной струей.

системами яв- ляются также двигатели внутреннего сгорания, паровые турбины, ламповые генераторы и т.д.

§ 147. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических и электромагнитных)

И его решение

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие коле- бания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора изменяю- щего по гармоническому закону:

Если рассматривать механические колебания, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила

(147.1)

С учетом (147.1) закон движения для пружинного маятника запи- шется в виде

Используя (142.2) и (146.10), при- дем к уравнению

Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль иг- рает подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармо- ническому закону ЭДС или напряжение

пой форме (см. § 140). Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплекс- ную величину

(147.6)

Частное решение этого уравнения бу- дем искать в виде

Тогда уравнение (143.2) с (147.3) можно записать в виде

(147.3)

Подставляя выражение для s его про- изводных = — ) в уравнение (147.6), получим

+ + = (147.7)

Так как это равенство должно быть

Используя (143.4) и (146.11), при- дем к уравнению

Колебания, возникающие под дей- ствием внешней периодически изменя- ющейся силы или внешней периодиче- ски изменяющейся ЭДС, называются

вынужденными меха- ническими и вынужденными элект- ромагнитными колебаниями.

Уравнения (147.2) и (147.4) можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению

справедливым для всех моментов вре- мени, то время t из него должно исклю- чаться. Отсюда следует, что т| = со. Учи- тывая это, из уравнения (147.7) найдем величину и умножим ее числитель и знаменатель на —

Это комплексное число удобно пред- ставить в экспоненциальной форме:

применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкрет- ной физической природы в случае

—

механических колебаний равно —, в

где

(147.8)

(147.9)

случае

U ).

Следовательно, решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет

Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения (146.5) одно- родного уравнения (146.1) частного решения неоднородного уравнения. Частное решение найдем в комплекс-

Его вещественная часть, являющая- ся решением уравнения (147.5), равна

(147.10)

где задаются соответственно фор- мулами (147.8) и (147.9).

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (147.5) име- ет вид

(147.11)

Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения однородного уравнения

Дифференцируя a) t, найдем силу тока в контуре при

установившихся колебаниях:

[см. (146.5)] и частного решения Слагаемое (147.12) играет существен- ную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колеба- ний) до тех пор, пока амплитуда вынуж- денных колебаний не достигнет значе- ния, определяемого равенством (147.8). Графически вынужденные колебания представлены рис. Следователь- но, в установившемся режиме вынуж- денные колебания происходят с часто- той и являются гармоническими; ам- плитуда и фаза колебаний, определяе- мые выражениями (147.8) и (147.9), также зависят от

Запишем формулы (147.10), (147.8) и (147.9) для электромагнитных коле- баний, учитывая, что [см.

Рис.211

где

Выражение (147.14) может быть за- писано ввиде

где —сдвиг пофазе между

током и приложенным напряжением [см. (147.3)].

Всоответствии с выражением (147.13)

Изформулы (147.16) вытекает, что ток отстает пофазе от напряжения

>0), если > ——,и опережает на- пряжение

Формулы (147.15) PI (147.16) мож- но также получить с помощью вектор- ной диаграммы (см. § 149).

§ 148. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний (механических

И электромагнитных).

Резонанс

Рассмотрим зависимость амплиту- ды А вынужденных колебаний от час- тоты Механические и электромаг- нитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х) колеблю- щегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора.

Из формулы (147.8) следует, что амплитуда А смещения (заряда) имеет максимум. Чтобы резонан- сную частоту — частоту, при ко- торой амплитуда А смещения (заряда) достигает максимума, — нужно найти максимум функции (147.8), или, что то же самое, минимум подкоренного вы- ражения. Продифференцировав подко- ренное выражение и приравняв его нулю, получим условие, определяющее

Эторавенствовыполняется О,

у которых только лишь по- ложительное значение имеет физиче- ский смысл. Следовательно, резонанс- ная частота

или близкой собственной частоте коле- бательной системы, называется резо- нансом (соответственно механи- ческим или электрическим). При б2 значение практически со- впадает с собственной частотой коле- бательной системы. Подставляя (148.1) в формулу (147.8), получим

(148.2)

На рис. 212 приведены

амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях 8. Из (148.1) и (148.2) вытекает, что чем меньше 8, тем выше и правее лежит мак- симум данной кривой. Если со 0, то все кривые [см. также (147.8)] достига- ют одного и того же, отличного от нуля, предельного значения которое

зывают статическим отклонением.

В случае механических колебаний

— в случае электромагнитных —

Если —> 0, то все кривые асимп- тотически стремятся к нулю. Приведен- ная совокупность кривых называется резонансными кривыми.

Явление резкого возрастания амп- литуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего пере-

менного напряжения) к частоте, равной Рис.212

Рис.213

максимальна при = и равна

т.е. чем больше коэффициент затуха- ния б, тем ниже максимум резонансной кривой. Используя формулы (142.2), (146.10) и (143.4), (146.11), получим,

что амплитуда скорости при механиче- ском резонансе равна

аамплитуда тока при электрическом резонансе

Из формулы (148.2) вытекает, что при малом затухании резо- нансная амплитуда смещения (заряда)

Из выражения tg =

где — добротность колебательной системы [см. (146.8)];

ное выше статическое отклонение.

Отсюда следует, что добротность характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q,

больше

На рис. резонанс-

ные кривые для амплитуды скорости (тока). Амплитуда скорости (тока)

Рис.214

следует, что если затухание в системе отсутствует (8 = 0), то только в этом случае колебания и вынуждаю- щая сила (приложенное переменное на- пряжение) имеют одинаковые фазы; во всех других случаях 0.

Зависимость от при разных ко- эффициентах 8 графически представле- на на рис. из которого следует, что при изменении изменяется и сдвиг фаз Из формулы (147.9) вытекает, что при — 0 0, а при = не зависимо от значения коэффициента затухания Ф = —, т.е. сила (напряже- ние) опережает по фазе колебания на —. При дальнейшем увеличении сдвиг фаз возрастает и при е. фаза колебаний почти противополож- на фазе внешней силы (переменного на- пряжения). Семейство кривых, изобра- женных нарис. 214, называется фазо- выми резонансными кривыми.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различ- ного рода сооружений необходимо, что- бы собственная частота их колебаний

совпадала с возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень сла- бые колебания, если их частота совпа- дает с частотой собственных колебаний прибора. Так, радиотехника, приклад- ная акустика, электротехника исполь- зуют явление резонанса.

Рис.215

Переменный ток, текущий через резистор сопротивлениемR (L О,

0) (рис. 215, При выполнении условия квазистационарности ток через резистор определяется законом Ома:

§149.Переменныйток

вынужденные элек- тромагнитные колебания (см. § 147) можно рассматривать как протекание в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор перемен- ного тока. Переменный ток можно считать квазистационарным, е. для него мгновенные силы тока во всех сечениях цепи практически одина- ковы, так как их изменения происходят достаточно медленно, а электромагнит- ные возмущения распространяются по цепи со скоростью, равной скорости света.

Для мгновенных значений квазиста- ционарных токов выполняются закон Ома и вытекающие из пего правила Кирхгофа, которые будут использова- ны применительно к переменным то- кам (эти законы уже использовались при рассмотрении электромагнитных колебаний).

Рассмотрим последовательно про- цессы, происходящие участке цепи, содержащем резистор, катушку индук- тивности и конденсатор, к концам ко- торого приложено переменное напря- жение

где

Для наглядного изображения соот- ношений между переменными токами и напряжениями воспользуемся

дом векторных диаграмм. рис. дана векторная диаграмма амплитуд- ных значенийтока и напряжения

на резисторе (сдвиг фаз между и равен нулю).

2. Переменный ток, текущий через катушку индуктивностьюL (R 0,

0) (рис. 216, а). Если в цепи прило- жено переменное напряжение то в ней потечет переменный ток, в резуль- тате чего возникнет самоиндук- ции [см. (126.3)] —L— . Тогда за-

кон Ома [см. (100.3)] для рассматрива- емого участка цепи имеет вид

откуда

где — амплитуда напряжения.

Рис.216

Так как внешнее напряжение приложе- но к катушке индуктивности, то

(149.3)

есть падение напряжения на катушке. Из уравнения (149.2) следует, что

После интегрирования, учитывая, что постоянная интегрирования равна нулю (так как отсутствует постоянная состав- ляющая тока), получим

217

L —> 0) 217, Если переменное напряжение (149.1) приложено к кон- денсатору, то он все время перезаряжа- ется, и в цепи течет переменный ток. Так как все внешнее напряжение при- ложено к конденсатору, а сопротивле- нием подводящих проводов можно пре- небречь,

тока

где = Величина

(149.5)

называется реактивным индуктив- ным сопротивлением (или индуктив- ным сопротивлением). Из выражения (149.5) вытекает, что для постоянного тока — 0) катушка индуктивности не имеет сопротивления. Подстановка зна- чения = в выражение (149.2) с учетом (149.3) приводит к следующе- му значению падения напряжения на катушке индуктивности:

(149.6)

Сравнение выражений (149.4) и (149.6) приводит к выводу, что падение напряжения опережаетпофазеток /,

через катушку, на —, что и по- казано на векторной диаграмме (рис.

3. Переменный ток, текущий через конденсатор емкостью С 0, 274

называется реактивным емкостным сопротивлением (или емкостным со- противлением). Для постоянного тока

0) = т. е. постоянный ток че- рез конденсатор течь не может. Паде- ние напряжения на конденсаторе

(149.8)

Сравнение выражений (149.7) и приводит к выводу, что падение напряжения отстает по фазе от те-

кущего через конденсатор тока 1 на —.

Это показано на векторной диаграмме (рис. б).

4. Цепь переменного тока, содер- жащая последовательно включенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор.На рис. 218, а представ- лен участок цепи, содержащий резистор сопротивлением R, катушку индуктив- ностью L конденсатор емкостью С, к концам которого приложено пере- менное напряжение (149.1). В цепи возникнет переменный ток, который вызовет на всех элементах цепи соот- ветствующиепадениянапряжения

На рис. 218,6 представлена вектор- ная диаграмма амплитуд падений на- пряжений на резисторе ( катушке ( конденсаторе (

Амплитуда приложенного на- пряжения должна быть равна вектор- ной сумме амплитуд этих падений на- пряжений. Как видно из рис. 218, б, угол определяет разность фаз между напряжением и силой тока. Из рисун- ка следует, что [см. также формулу (147.16)]

(149.9)

Из прямоугольного треугольника полу-

откуда амплитуда силы тока имеет зна- чение

где и определяются соответственно формулами (149.9) и (149.10). Величина

(149.12)

называется полным сопротивлением

цепи, а величина

— реактивным сопротивлением.

Рассмотрим частный случай, когда в цепи отсутствует конденсатор. В дан- ном случае падения напряжений и в сумме равны приложенному на- пряжению U. Векторная диаграмма для данного случая представлена на рис. 219, из которого следует, что

.(149.13)

совпадающее с (147.15).

Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по закону U =

— тов цепи течет ток

Рис.219

275

Выражения (149.9) и (149.10) совпа- дают с (149.13), если в них —— = 0, т.е.

С= оо. Следовательно, отсутствие кон- денсатора в цепи означает, что С= оо, а не 0. Данный вывод можно тракто- вать следующим образом: сближая об- кладки конденсатора до их полного со- прикосновения, получим цепь, в кото- рой конденсатор отсутствует [расстоя- ние между обкладками стремится к нулю, а емкость — к бесконечности; см. (94.3)].

§ 150. Резонанс напряжений

Если вцепи переменного тока, со- держащей последовательно включен- ные конденсатор, катушку индуктивно- сти ирезистор (см. рис. 218),

(150.1)

то сдвиг фаз между током и напряже- нием (149.9) обращается в нуль 0), т.е. изменения тока и напряжения про- исходят синфазно. Условию (150.1) удовлетворяет частота

(150.2)

В данном случае полное сопротивление цепи Z (149.12) становится минималь- ным, равным активному сопротивле- нию R цепи, и ток в цепи определяется этим сопротивлением, принимая мак- симальные (