Для неоднородного участка цепи

Мы рассматривали закон Ома [см. (98.1)] для однородного участка цепи, т. е. такого, в котором не действует С (не действуют сторонние силы). Теперь рассмотрим неоднородный участок цепи, где действующую ЭДС на участ- ке 1 — 2 обозначим через а прило- женную на концах участка разность потенциалов — через —

Если ток проходит по неподвижным проводникам, образующим участок 1—2, то работа всех сил (сторонних и электростатических), совершаемая над носителями тока, по закону сохранения и превращения энергии равна теплоте, выделяющейся на участке. Работа сил, совершаемая при перемещении заря- да на участке 1—2, согласно (97.4),

ЭДС как и сила тока /, — вели- чина скалярная. Ее необходимо брать либо с положительным, либо с отрица- тельным знаком в зависимости от зна- ка работы, совершаемой сторонними силами. Если ЭДС способствует движе- нию положительных зарядов в выбран- ном направлении (в направлении 1 — 2), то > 0. Если препятствуетдви- жению положительных зарядов в дан- ном направлении, то < 0.

За время t в проводнике выделяется теплота [см. (99.5)]

Q = = IR(It) = (100.2)

Из формул (100.1) и (100.2) полу- чим

Ленд (1804- 1865) - русский физик. IR = +(100.3)

откуда

Выражение (100.3) или (100.4) пред- ставляет собой закон Ома для неодно- родногоучастка цепи в интегральной форме, который является обобщенным законом Ома.

Если на данном участке цепи источ- ник тока отсутствует — 0), то из (100.4) приходим к закону Ома для од- нородного участка цепи (98.1):

R R

[при отсутствии сторонних сил напря- жение на концах участка равно разно- сти потенциалов (см. § 97)]. Если же электрическая цепь замкнута, то выб- ранные точки 1 2 совпадают, = тогда из получаем закон Ома для замкнутой цепи:

§101.ПравилаКирхгофа для разветвленных цепей

Обобщенный закон Ома [см. позволяет рассчитать практически лю- бую сложную цепь. Однако непосред- ственный расчет разветвленных цепей, содержащих несколько замкнутых кон- туров (контуры могут иметь общие уча- стки, каждый из контуров может иметь несколько источников тока и т.д.), до- вольно сложен. Эта задача более про- сто решается с помощью двух правил

Любая точка разветвления цепи, в которой сходится не менее трех провод- ников с током, называется узлом. При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла, — отрицательным.

Первое правило Кирхгофа: алгебра- ическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

п

-—

к

где ЭДС, действующая в цепи; R —

суммарное сопротивление всей цепи. В общем случае R внут-

реннее сопротивление источника тока,

— сопротивление внешней цепи). Поэтому закон Ома для замкнутой цепи будет иметь вид

Если разомкнута и, следователь- но, в ней ток отсутствует (/ 0), то из закона Ома (100.4) получим, что =

ЭДС, действующая в ра- зомкнутой цепи, равна разности потен- циалов на ее концах. Следовательно, для того чтобы найти ЭДС источника тока, надо измерить разность потенци- алов на его клеммах при разомкнутой цепи.

Например, для рис. первое пра- вило Кирхгофа запишется так:

+ 0.

Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения электрического заряда. Действительно, в случае устано- вившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном его участке не должны накапливаться элек- трические заряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоян- ными.

Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома для разветв- ленных цепей. Рассмотрим контур, со- стоящий из трех участков (рис. 151). Направление обхода по часовой стрел-

Г. Кирхгоф — немецкийфизик. 183

Рис.150 Рис. 151

ке примем за положительное, отметив, что выбор этого направления совершен- но произволен. Все токи, совпадающие по направлению с направлением обхо- да контура, считаются положительны- ми, не совпадающие с направлением обхода — отрицательными. Источники тока считаются положительными, если они создают ток, направленный в сто- рону обхода контура. Применяя к уча- сткам закон Ома (100.3), можно запи- сать:

Складывая почленно эти уравнения, получим

(101.1)

выражает второе правило Кирхгофа: в любом замкну- том контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления соот- ветствующих участков этого контура равна алгебраической сумме ЭДС встречающихся в этом контуре:

При расчете сложных цепей посто- янного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направле- ние токов на всех участках цепи; дей- ствительное направление токов опреде- лится при решении задачи: если иско- мый ток получится положительным, его направление было выбрано пра- вильно, отрицательным — его истинное направление противоположно выбран- ному.

2. Выбрать направление обхода кон- тура и строго его придерживаться; про- изведение IR положительно, если ток на данном участке совпадает с направ- лением обхода, и, наоборот; ЭДС, дей- ствующие по выбранному направлению обхода, считаются положительными, против — отрицательными.

3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу комых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и ЭДС рассматриваемой цепи); каждый рассматриваемый контур должен со- держать хотя бы один элемент, не со- держащийся в предыдущих контурах, иначе получатся уравнения, являющи- еся простой комбинацией уже состав- ленных.

В качестве примера использования пра- вил Кирхгофа рассмотрим схему (рис.

моста Сопро-

тивления образуют его «пле- чи». Между точками Аи В моста включена батарея с ЭДС сопротивлением меж- ду точками Си D включен гальванометр с сопротивлением Для узлов А, В и С, применяя первое правило Кирхгофа, полу- чим

(101.3)

ДляконтуровАСВА,A АиCBDC,со- гласно второму правилу Кирхгофа, можно

Ч. (1802 — английский фи-

зик.

Рис. 152

= 0. (101.4)

Если известны все сопротивления и ЭДС, то, решая полученные шесть уравне- ний, можно найти неизвестные токи. Изме- няя известные сопротивления можно добиться того, чтобы ток через галь- ванометр был равен нулю = 0). Тогда из (101.3) найдем

из (101.4) получим

— —

Из (101.5) и (101.6) вытекает, что

•. (101.7)

Таким образом, в случае равновесного моста = 0) при определении искомого сопротивления ЭДС батареи, сопротив- ления батареи и гальванометра роли не иг- рают.

На практике обычно

(рис. 153), где со-

Рис. 153

нием Тогда, используя выражение

ч

(101.7), можно записать

= (101.8)

противления и представляют собой

длинную однородную проволоку (реохорд) с большим удельным сопротивлением, так

что отношение —- можно заменить отноше-

Длины и легко измеряются по шка- ле, a всегда известно. Поэтому уравнение (101.8) позволяет определить неизвестное сопротивление

Контрольные вопросы

Что называют силой тока? плотностью тока? Каковы их единицы? Дать определения. Назовите условия возникновения и существования электрического тока.

Что такое сторонние силы? Какова их природа?

В чем заключается физический смысл электродвижущей силы, действующей в цепи? напряжения? разности потенциалов?

Почему напряжение является обобщенным понятием разности потенциалов?

Какова связь между сопротивлением и проводимостью, удельным сопротивлением и удельной проводимостью?

В чем заключается явление сверхпроводимости? Каковы его перспективы? На чем основано действие термометров сопротивления?

Выведите законы Ома и Джоуля — в дифференциальной форме.

В чем заключается физический смысл удельной тепловой мощности тока? Проанализируйте обобщенный закон Ома. Какие частные законы можно из него полу- чить?

Поясните физический смысл электродвижущей силы, разности потенциалов и напря- жения на участке электрической цепи.

• Как формулируются правила Кирхгофа? На чем они основаны?

• Как составляются уравнения, выражающие правила Кирхгофа?

ЗАДАЧИ

12.1. По медному проводнику сечением 1 мм2течет ток; сила тока 1 А. Определите сред- нюю скорость упорядоченного движения электронов вдоль проводника, предполагая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Плотность меди 8,9 г/см3. [74 мкм/с]

12.2. Определите, во сколько раз возрастет сила тока, проходящего через платиновую печь, если при постоянном напряжении на зажимах ее температура повышается от — 20 °С до — 1200 °С. Температурный коэффициент сопротивления платины принять равным 3,65• К"1 . [В 5раз]

12.3. По медному проводу сечением 0,3 мм2 течет ток 0,3 А. Определите силу, действую- щую на отдельные свободные электроны со стороны электрического поля. Удельное сопро- тивление меди 17 нОм • м. [2,72 • Н]

12.4. Сила тока в проводнике сопротивлением 10 Ом равномерно убывает от 3 А до

/ = 0 за 30 с. Определите выделившееся за это время в проводнике количество теплоты. [900 Дж]

12.5. Плотность электрического тока в алюминиевом проводе равна 5 А/см2. Определи- те удельную тепловую мощность тока, если удельное сопротивление алюминия 26 нОм • м.

12.6. Определите сопротивление источника тока, если во внешней цепи при силе тока — 5 А выделяется мощность = 10 Вт, а при силе тока = 8 А мощность = 12 Вт. [0,17 Ом]

12.7. Три источника тока с ЭДС = 1,8 В, = 1,4 В и соединены накоротко одноименными полюсами. Внутреннее сопротивление первого источника — 0,4 Ом, вто- рого — = 0,6 Ом. Определите внутреннее сопротивление третьего источника, если через первый источник идет ток = 1,13 А. [0,2 Ом]

Глава 13 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ В МЕТАЛЛАХ,

ВАКУУМЕ И ГАЗАХ

§ 102. Элементарная классическая теория электропроводности металлов

Носителями тока в металлах явля- ются свободные электроны, т. е. элект- роны, слабо связанные с ионами крис- таллической решетки металла. Это представление о природе носителей тока в металлах основывается на элек-

тронной теории проводимости ме- таллов, созданной немецким физиком П. Друде (1863 — 1906) и разработанной впоследствии нидерландским физиком

X. Лоренцем, а также на ряде класси- ческих опытов, подтверждающих поло- жения электронной теории.

Первый из таких опытов — опыт Рикке1 (1901), в котором в течение года

1 К. Рикке (1845— 1915) — немецкий физик.

электрический ток пропускался через три последовательно соединенных с тщательно отшлифованными торцами металлических цилиндра А1, Си) одинакового радиуса. Несмотря на то что общий заряд, прошедший через эти цилиндры, достигал огромного значе- нии • Кл), никаких, даже мик- роскопических, следов переноса веще- ства не обнаружилось. Это явилось экспериментальным доказательством того, что ионы в металлах не участву- ют в переносе электричества, а перенос заряда в металлах осуществляется час- тицами, которые являются общими для всех металлов. Такими частицами мог- ли быть открытые в 1897 г. английским физиком Д.Томсоном (1856 — 1940) электроны.

Для доказательства этого предполо- жения необходимо было определить знак и величину удельного заряда но- сителей (отношение заряда носителя к его массе). Идея подобных опытов зак- лючалась в следующем: если в металле имеются подвижные, слабо связанные с решеткой носители тока, то при рез- ком торможении проводника эти части- цы должны по инерции смещаться впе- ред, как смещаются вперед пассажиры, стоящие в вагоне при его торможении. Результатом смещения зарядов должен быть импульс тока; по направлению тока можно определить знак носителей тока, а зная размеры и сопротивление проводника, можно вычислить удель- ный заряд носителей.

Идея этих опытов (1913) и их каче- ственное воплощение принадлежат российским физикам С.Л.Мандельш- таму (1879-1944) и Н.Д.Папалекси (1880-1947). Эти опыты в 1916 г. были усовершенствованы и проведены аме- риканским физиком Р.Толменом (1881 — 1948) и ранее шотландским

физиком Б.Стюартом (1828—1887).

Ими экспериментально доказано, что носители тока в металлах имеют отри- цательный заряд, а их удельный заряд приблизительно одинаков для всех ис- следованных металлов. По значению удельного заряда носителей электри- ческого тока и по определенному ранее Р. Милликеном элементарному элект- рическому заряду была определена их масса. Оказалось, что значения удель- ного заряда и массы носителей тока и электронов, движущихся в вакууме, со- впадали. Таким образом, было оконча- тельно доказано, что носителями элек- трического тока в металлах являются свободныеэлектроны.

Существование свободных электро- нов в металлах можно объяснить сле- дующим образом: при образовании кри- сталлической решетки металла (в ре- зультате сближения изолированных атомов) валентные электроны, сравни- тельно слабо связанные с атомными яд- рами, отрываются от атомов металла, становятся «свободными» и могут пе- ремещаться по всему объему. Таким об- разом, в узлах кристаллической решет- ки располагаются ионы металла, а меж- ду ними хаотически движутся свобод- ные электроны, образуя своеобразный электронный газ, обладающий, соглас- но электронной теории металлов, свой- ствами идеального газа.

Электроны проводимости при сво- ем движении сталкиваются с ионами решетки, в результате чего устанавли- вается термодинамическое равновесие между электронным газом и решеткой. По теории Друде —Лоренца, электро- ны обладают такой же энергией тепло- вого движения, как и молекулы одно- атомного газа. Поэтому, применяя вы- воды молекулярно-кинетической тео- рии [см. (44.3)], можно найти среднюю скорость теплового движения электро- нов

которая для Т— 300 К равна 1,1 • 105м/с. Тепловое движение электронов, явля- ясь хаотическим, не может привести к возникновению тока.

При наложении внешнего электри- ческого поля на металлический провод- ник кроме теплового движения элект- ронов происходит их упорядоченное движение, т. е. возникает электрический ток. Среднюю скорость (v) упорядо- ченного движения электронов можно оценить согласно формуле (96.1) для плотности тока: j = ne(v). Выбрав до- пустимую плотность тока, например для медных проводов 107 А/м2, полу- чим, что при концентрации носителей тока п = 8 • средняя скорость упорядоченного движения электро- нов равна 7,8 • 10~4м/с. Следовательно,

(v) {и), т.е. даже при очень больших плотностях тока средняя скорость упо- рядоченного движения электронов, обусловливающего электрический ток, значительно меньше их скорости теп- лового движения. Поэтому при вы- числениях результирующую скорость ((v) можно заменять скоростью теплового движения (и).

Казалось бы, полученный результат противоречит факту практически мгновенной передачи электрических сигналов на большие расстояния. Дело в том, что замыкание электрической цепи влечет за собой распространение электрического поля со скоростью с

(с = 3 • 108м/с). Через время — длина цепи) вдоль цепи установится стационарное электрическое поле и в ней начнется упорядоченное движение электронов. Поэтому электрический ток возникает в цепи практически од- новременно с ее замыканием.

§ 103. Вывод основных законов электрического тока