Внезапное короткое замыкание синхронной машины

Общие замечания

Анализ электромагнитного переходного процесса при внезапном коротком замыкании, рассматриваемый в на­стоящей главе, ограничен условием, что синхронная ма­шина работает отдельно от других источников питания. Внешняя цепь ее статора при возникшем коротком за­мыкании характеризуется некоторым постоянным сопро­тивлением, преимущественно индуктивным.

Чтобы иметь некоторое представление о взаимном влиянии машин на характер протекания электромагнит­ного переходного процесса (при неизменной скорости их вращения), в конце главы данный вопрос кратко освещен для простейших условий, когда в схеме имеются две ма­шины, связанные между собой через произвольные ре­активности.

Вначале рассматривается переходный процесс в син­хронной машине без демпферных обмоток и при отклю­ченном устройстве автоматического регулирования воз­буждения. В дальнейшем введен учет такого регулирова­ния, используя материал предыдущей главы. Влияние и учет демпферных обмоток

изложен без строгих математических выкладок: при этом основное внимание обращено на вскрытие физической сущностиявления и воз­можности упрощенной оценки этот влияния.

Практический интерес представляет протекание про­цесса при каскадном (или ступенчатом) отключении ко­роткого замыкания и его повторном включении. В об­щем виде данный вопрос очень сложен. Поэтому здесь он рассмотрен применительно к условиям, когда в схеме имеется лишь одна машина.

9-2. Внезапное короткое замыкание синхронноймашины без демпферных обмоток

При металлическом трехфазном коротком замыкании напряжение каждой фазы в месте короткого замыкания U=0. Следовательно, приращение напряжения в этой точке при возникновении такого повреждения будет ΔU= -U_o или в операторной форме. U(p)= -U_o/pАналогично приращения составляющих этого напряже­ния будут:

Δu_d = -u_do= Δu_d (p) = -u_do/p (9-1)

Δu_q = -u_qo= Δu_q (p) = -u_qo/p (9-2)

.При отсутствии АРВ Δu_f==0. Тогда из (7-39) имеем:

(9-3)

и из (7-40)

Ф_d(р)=х_d(р) Δi_d (р). (9-4)

Для рассматриваемого переходного процесса уравне­ния (7-29) и (7-30) с учетом (7-34) после соответствую­щей группировки слагаемых можно представить в виде

Δu_d (p) = -u_do/p=-(r+px_d(p)) Δi_d (p) - x_q Δi_q (p) (9-5)

Δu_q (p) = -u_qo/p= x_d(p) Δi_d (p) – (r+px_q )Δi_q (p) (9-6)

откуда приращения токов:

	(9-8)

где определитель

D(p)=(r+px_d(p))(r+px_q)+x_d(p)x_q (9-9)

Приравняв определитель нулю, получим характери­стическое уравнение, которое после подстановки вместо х_d{р) выражения (7-42) и проведения ряда преобразо­ваний приобретает вид:

	(9-10)

Как видно, оно является полным кубическим уравне­нием относительно оператора р. Это указывает на то, что каждое из приращений токов (Δi_d, Δi_q) содержит в себе три свободные составляющие. Таким образом, уже для самых элементарных условий требуется решить уравне­ние третьей степени, что достаточно просто лишь в чис­ловых значениях.

Анализ характеристического уравнения (9-10) приводит к выводу, что при относительно малых значениях активных сопротивлений цепей, .как это обычно имеет место в условиях короткого замыкания, корни этого уравнения с достаточной для практики точностью можно определять, принимая поочередно г_f==0 и г==0.

Так, при г_f=0 (или T_f0=∞) характеристическое уравнение приобретает более простой вид:

[x'_dx_qp²+r(x'_d+x_d)p+(x'_dx_q+r²)]p=0 (9-11)

(9-12)

корни соответственно равны:

p₃=0

Два первых корня, как видно, выражаются сопряженными комплексами. Их действительная часть отрицательная, что указывает на затухание соответствующих им

свободных токов с постоянной времени

где x₂ = 2¢x_d x_q /(x¢_d + x_q ) (9 - 14)

/представляет собой реактивность обратной последова­тельности машины (подробнее—см. § 12-2). Значения мнимых частей этих корней

(9-15)

представляют относительные угловые частоты изменения соответствующих свободных токов, выраженных в коор­динатах d, q.

Вычитаемое под корнем в (9-15) обычно ничтожно мало по сравнению с единицей, что позволяет практиче­ски им пренебречь. Тогда вместо (9-12) получим упро­щенно:

(9-12а)

В то время как найденные при r_f = 0 значения корней p₁ и р₂ достаточно близки к действительности, значение третьего корня р_з при том же допущении не отражает истинного характера изменения соответствующей ему свободной составляющей тока. В самом деле, p_з=0 указывает на то, что эта составляющая тока остается неизменной, но это противоречит физической сущности рассматриваемого процесса.

Близкое к действительности значение корня р_з мож­но получить, полагая, r=0, но r_f ¹0. При этом (9-10) переходит в простое уравнение

(p²+1) (x¢_dp +x_d /T_jo ) = 0 (9-16)

первые два корня которого получаются чисто мнимыми со­пряженными:

p_1,2 =± j

а третий корень

p₃ = - x_d / T_fo x´d , (9-17)

являясь вещественной отрицательной величиной, указы­вает на то, что отвечающий ему свободный ток затухает по экспоненте с постоянной времени

Т´_d = -1/p₃ = T_fox´_d /x_d (9-18)

При необходимости значение T´_d.можно несколько уточнить, введя приближенный учет активного сопротив­ления цепи статора r. При этом выражение для T´_d при­обретает вид:

T´_d = T_fo x´_d x_q + r² / (x_d x_q + r²) (9-19)

Поскольку корни характеристического уравнения определены, то переход от изображений (9-7) и (9-8) к их оригиналам (т. е. временным функциям) уже не представляет принципиальных трудностей. Для каждого слагаемого этих выражений можно применить извест­ную формулу разложения. Однако и здесь для упроще­ния решения можно без заметной погрешности исполь­зовать еще дополнительное допущение. Сущность послед­него состоит в следующем: поскольку r_f и r относитель­но малы, при определении принужденных токов и началь­ных значений свободных токов практически можно пре­небречь всеми активными сопротивлениями одновремен­но, а не поочередно, как это делалось при определении корней характеристического уравнения. В этом случае, как правило,учет активных сопротивлений находит отражение только в значениях соответствующих постоянных слагающих затухания свободных токов.

При r==0 и r_f==0 определитель вместо (9-9) будет:

D(p)=(1+p²)x´_dx_q (9-20)

и выражения (9-7) и (9-8) становятся совсем простыми:

i_d(p) = u_do / ((1+p²)x´_d) – u_qo / (p(1+p²)x´_d) , (9-21)

i_q(p) = u_qo / ((1+p²)x_q) + u_do / (p(1+p²)x_q) . (9-22)

Непосредственно из таблиц преобразования функций по Лапласу имеем:

1/(1+p²) = sin t

и 1 / (p (1+p²)) = 1 – cos t.

поэтому оригиналами выражений (9-21) и (9-22) будут:

(9-23) ; (9-24)

Прибавив к полученным приращениям токов предше­ствующие значения i_do и i_qo , и приняв во внимание, что в соответствии с принятыми положительными направле­ниями осей d и q

E'_qо = u_qo—x´_d i_do и u_do = -x_q i_qo

получим:

Далее, используя (7-18), можно перейти от перемен­ных в осях d, q к переменным в фазных осях А, В, С.Так, например, для фазы А после ряда преобразований имеем:

Здесь, как видно, пока еще не учтено затухание сво­бодных токов. В частности, первый член этого выраже­ния представляет собой периодическую слагающую основной частоты, амплитуда которой при r_f =0 остается

постоянной и равной начальному переходному току. Эта слагающая вызвана э. д. с. вращения, и ее изменение легко выявить, рассматривая отдельно действие этой э. д. с. при представлении машины операторной реактив­ностью X_d(p). Другими словами, для приращения этой слагающей Δ i _dп в операторной форме имеем:

Δ i _dп(p) = -u_qo/(px_d (p)) = -u_qo(1+pT_fo) / (p (x_d+T_fox´_dp)), (9-28)

которое после перехода к оригиналу при значении p₃ опре­деляемом из (9-17), дает:

Δ i _dп =-u_qo / x_d-(u_qo / x´_d-u_qo / x_d)e^-t/T´d (9-29)

Прибавив предшествующий ток i_do и сделав небольшие преобразования, получим:i _dп = Δi _dп+ i _do= -E_qo / x_d – (E´_qo / x´_d - E_qo / x_d) e ^-t/T´d (9-30)

(9-30a)

Полученная закономерность изменения тока i_dn в ко­ординатах d, q в то же время характеризует изменение огибающей кривой периодической слагающей основной частоты тока статора. Эта слагающая в рассматривае­мых условиях (пренебрежение активными сопротивления­ми цепи статора и отсутствие замкнутого контура в по­перечной оси ротора) является только продольной. Ее действующее значение в произвольный момент опреде­ляется аналогичным выражением, т. е.

где I—установившийся ток короткого замыкания;

(I´_/0/ —I)=I' _св/0/ —начальный свободный переходный ток.

(9-31)

Для мгновенного значения периодической слагающей тока основной частоты фазы А имеем:

Остальные члены в (9-27) обусловлены действием трансформаторной э. д. с., и их затухание происходит с постоянной времени Га, определяемой (9-13).

Таким образом, полное выражение для мгновенного значения тока фазы А с учетом затухания свободных слагающих будет:

Здесь первые два члена образуют периодическую слагающую тока основной частоты, третий и четвертый члены — апериодическую слагающую и два последних члена—вторую гармонику тока.

Из структуры (9-32) видно, что вторая гармоника обусловлена несимметрией ротора (х_q ¹ x'_d). Ее возник­новение вызвано апериодической слагающей тока стато­ра, что непосредственно следует из простых физических представлений. В самом деле, поскольку магнитный по­ток от апериодической слагающей токов трех фаз ста­тора' практически неподвижен в пространстве, в обмотке возбуждения он наводит э. д. с. синхронной частоты, ко­торая создает в этой обмотке переменный ток той же частоты. В результате возникает пульсирующий магнит­ный поток, неподвижный относительно ротора. Чтобы проще представить влияние этого потока на статор, раз­ложим его на два вращающихся в противоположные стороны. Один из них, очевидно, неподвижен относитель­но статора и частично компенсирует вызвавший его по­ток, а другой вращается относительно статора с двойной синхронной скоростью и вызывает в нем вторую гармо­нику тока.

Все полученные выражения справедливы при коротком замыкании как на выводах машины, так и в произ­вольной точке присоединенной к машине сети. В послед­нем случае под u_d0 и u_q0 нужно понимать составляющие предшествующего напряжения в рассматриваемой точке короткого замыкания, а к каждой из реактивностей ма­шины должна быть прибавлена внешняя реактивность до места короткого замыкания. Аналогично в (9-13), а также в

(9-19) величина r должна включать в себя актив­ное сопротивление внешней цепи до точки короткого за­мыкания. Из выражения для второй гармоники следует, что с увеличением удаленности короткого замыкания ве­личина этой гармоники падает.

Обратимся теперь к обмотке возбуждения. Выраже­ние для тока в ней можно получить, используя соотно­шение (9-3). Однако при ранее принятых допущениях его можно установить проще.

откуда

или

Для компенсации магнитного потока, созданного током ∆i_dп/0/ ,с целью сохранения в начальный момент пред­шествующего потокосцепления обмотки возбуждения в последней возникнет свободный ток i_fa, начальное значение которого(приведенное статору) определяется из равенства:

Этот ток обмотки возбуждения, затухает с постоянной времени Т'_d.

С другой стороны ,как отмечалось выше ,от апериодической слагающей тока статора в обмотке возбуждения наводится переменный ток практически синхронной частоты ,затухающий с постоянной времени Т_а. Начальное значение этого тока должно быть равно i_fa/0/, но противоположно ему, чтобы в момент короткого замыкания в обмотке возбуждения сохранился предшествующий ток i_f0.

Следовательно, выражение для тока в обмотке возбуждения при внезапном коротком замыкании в цепи статора будет:

(9-34)

Следует заметить, что, в тo время Как ток в фазах статора при коротком замыкании зависит от значения начального угла g₀, ток в обмотке возбуждения не зави­сит от него. Это объясняется тем, что свободные токи обмотки возбуждения связаны с результирующими маг­нитными потоками, образуемыми соответствующими свободными токами фазных обмоток статора, и величи­ны этих потоков не зависят от положения ротора в мо­мент возникновения короткого замыкания.

На рис. 9-1 приведены кривые изменения токов ста­тора и ротора при внезапном коротком замыкании син­хронного генератора, предварительно работавшего на холостом ходу. Для большей наглядности кривых основ­ная частота тока резко сокращена. Периодическая сла­гающая тока статора i_п соответствует апериодической слагающей тока обмотки возбуждения i_fa; в то же вре­мя апериодическая слагающая тока статора i_a обуслов­ливает периодическую слагающую тока обмотки возбуж­дения i_fп, а последняя вследствие несимметрии ротора — вторую гармонику тока статора i_2ω. Постоянная време­ни T'_d, как правило, значительно больше T_а.

Пример 9-1. Для генератора известны следующие параметры 67 Мва; 10,5 кв; 3,68 ка; х_d= 1,0; x_q= 0,6; х_σ= 0,15; х'_d= 0,3;

r=0.83·10^-2 ом; T_f0=5 сек, ток возбуждения холостого хода 450 а. Генератор работает на холостом ходу с номинальным напряжением; его АРВ отключено.

Для случая внезапного трехфазного короткого замыкания на выводах генератора требуется построить кривые изменения мгно­венных значений токов статора и обмотки возбуждения, а также кривые изменения действующего значения полного тока статора в начальной стадии процесса короткого замыкания. Определить также максимальное мгновенное значение напряжения на кольцах ротора.

Расчет проведем в относительных единицах при номинальных условиях генератора и лишь некоторые конечные результаты выра­зим в именованных единицах.

Согласно заданному условию E'_q0=E_q0=U₀=l. При этом будем иметь:

I'/0/=1/0.3=3.33;I=1/1=1;

начальное значение апериодической слагающей тока статора (при γ₀=0), с учетом того, что u_q0=U_q0, будет:

начальная амплитуда второй гармоники тока статора

Величина реактивности

Рис. 9-1. Кривые изменения токов при внезапном коротком замыкании синхронной машины без демпферных обмоток,

а—обмотка статора; б—обмотка возбуждения.

относительная величина активного сопротивления статора

r=0.83·10^-2·67/10.5²=0,005. :

Значения постоянных времени:

T_a=x₂/ωr=0.4/(314·0.005)=0.255 сек и

сек

Выражение для мгновенного значения тока фазы А (при γ₀ = 0) будет:

i_A= (2,33e^-t/1.5 + 1) cosωt— (2,5 + 0,83 cos2ωt) е^-t/0.255

где начальный свободный переходный ток

I'_св/0/ = I'_/0/ =3,33-1=2,33.

Относительный ток возбуждения, приведенный к статору, бу­дет:

Для мгновенного значения тока в обмотке возбуждения имеем:

По этим выражениям построены кривые, представленные на рис. 9-2,а и 9-3,а. Для статора они даны только для первых не­скольких периодов, а для обмотки возбуждения — до 3 сек, причем для большей наглядности период слагающей i_fп резко увеличен, хотя огибающая по ее максимальным мгновенным значениям со­хранена в правильном масштабе.

Для ударного тока короткого замыкания имеем:

или

i_y=2.33e^-0.01/1.5+1+(2.5+0.83)e^-0.01/0.255=6.52

i_y = Ö2×3,68×6,52=34ка

Ударный коэффициент составляет:

Рис. 9-2. К примерам 9-1 и 9-2. Кривые изменения тока статора синхронной машины при внезапном коротком замыкании.

а—при отсутствии демпферных обмоток; б—при наличии демпферных

обмоток.

Рис 9-3. К примерам 9-1 и 9-2. Кривые изменения тока возбужде­ния синхронной машины при внезапном коротком замыкании.

в—при отсутствии демпферных обмоток: б—при наличии демпферных обмоток.

Для действующего значения полного тока статора (в относи­тельных единицах) э соответствии с указаниями § 3-3 имеем:

Если не выделять вторую гармонику, а считать, что только одна апериодическая слагающая полностью уравновешивает на­чальную амплитуду периодической слагающей (т. е. I¢₀=3,33), то третьего слагаемого под радикалом не будет, а коэффициент перед последним слагаемым будет 22 (вместо 13,2), что приводит к за­вышению определяемой величины тока.

По вычисленным для нескольких моментов времени величинам действующих значений токов статора построены кривые 1, 2 и 3, представленные на рис. 9-4.

Рис. 9-4. К примерам 9-1 и 9-2. Кривые из­менения действующего значения тока ста­тора.

/ — периодической слагающей тока; 2 — полного тока с учетом второй гармоники; 3 — то же, но без учета второй гармоники с соответствующим увеличением апериодической слагающей тока при отсутствии демпферных обмоток; 4, 5 и 6 — то же, но при наличии демпферных обмоток.

Для определения напряжения на кольцах ротора предвари­тельно найдем активное сопротивление обмотки возбуждения. Из выражения для T_fo для относительной величины этого сопротивле­ния, приведенного к статору, имеем:

где реактивность обмотки возбуждения

,

Во взаимной системе относительных единиц базисный ток в цепи возбуждения должен быть (см. § 5-3)

I_fб=i_fx.,xx_ad=450×0.85=380a,

а S_fб=S_б=67Мва;

следовательно,

U_fб = 67/0,38 =176кв

Действительная величина активного сопротивления обмотки воз­буждения в именованных единицах составляет:

r_f=0,655×10^-2× 176²/67 =0,304 oм.

Максимальное мгновенное значение тока в обмотке возбужде­ния, выраженное в относительных единицах, при которых задается характеристика холостого хода, будет:

I_f=I_fx_ad=6.52×0.85=5.55

или

I_f=5.55×450=2500 a

Напряжение на кольцах ротора при холостом ходе U_fx.x=0,304×450»137 в; искомое максимальное мгновенное значение при коротком замыкании U_fмакс =0,304×2 500=760 в.