Основы теории подобия и анализа размерности.

Исследования процессов с целью получения уравнений, возможно проводить чисто теоретическим путем на основе общих законов физики и химии это наиболее желательный путь исследования процесса, конечным итогом которого является решение уравнений, полностью описывающих процессы.

Пример:

Для идеальных жидкостей решение дифференциального уравнения равновесия и движения Эйлера является основное уравнение гидростатики и уравнение Бернулли. Но большинство процессов химической технологии зависят от такого большого количества переменных, что удается дать лишь математическую формулировку задачи, полученные уравнения не могут быть решены известными способами.

Пример: дифференциальные уравнения Навье-Стокса.

С аналогичными трудностями приходится сталкиваться и при тепловых и при массообменных процессах, процессах в реакторе, где химические превращения осложняются движением потоков и тепло-массообменными процессами.

В таких случаях, для нахождения связей между величинами, характеризующими процесс, прибегают к экспериментальному исследованию, то есть к проведения опытов.

На основе опытов часто получаются эмпирические уравнения, которые являются частными и не могут быть распространены на условия отличные от тех, в которых они получены.

Теория подобия дает возможность так ставить опыты и обрабатывать расчеты, чтоб при проведении, небольшого числа опытов, иметь возможность обобщать результат, получая уравнения для всех подобных явлений.

Используя теорию подобия, позволяющую вместо опытов на аппаратах промышленного масштаба проверять исследования на моделях значительно меньшего размера.

Таким образом, методы теории подобия лежат в основе масштабирования и моделирования процессов.

ü Различают физическое математическое моделирование.

v При физическом моделирование процесс изучается на материальных моделях только в аппаратах меньших размеров, но физическая сущность изучаемых процессов в модели и в натуре остается одинаковой.

ЛЕКЦИЯ 8.

Подобными называются явления, для которых постоянны отношения характеризующих их сходственных величин.

Необходимые условия подобия:

· Геометрическое подобие, т.е. подобие сходственных геометрических величин.

· Временное подобие.

· Подобие полей физических величин, т.е. в сходных точках пространства физические величины подобны.

· Подобие начальных и граничных условий.

Достаточные условия:

Процессы, происходящие в модели и в натуре, должны описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями.

Основные понятия теории подобия.

К_l изменяется при изменении масштаба.

i – представляет собой выражение величины в относительных единицах.

Инвариант, выраженный отношением двух подобных величин, называется симплексом.

Если инвариант выражен отношениями разнородных величин, но является безразмерным, то такой инвариант называется критерием подобия.

· Геометрическое подобие соблюдается при равенстве всех сходных линейных размеров

1 аппарат	2 аппарат
Загрузка	τ1'	τ1''
Перемешивание	τ2'	τ2''
Нагрев	τ3'	τ3''
Выгрузка	τ4'	τ4''

· Временное подобие

При соблюдении геометрического и временного подобия будет соблюдаться и подобие скоростей

т.е. можно заменить отношение одноименных величин отношениями их приращений.

· Подобие полей физических величин.

Оно предполагает, что для двух любых сходных точек натуры и модели, размещенных подобно в пространстве и времени, отношение физических свойств является величиной постоянной.

· Подобие начальных и граничных условий предполагает, что отношение основных параметров в начале и на границе в модели и в натуре является величиной постоянной, т.е. для начальных и граничных условий, а также для других сходных точек пространства, соблюдается геометрическое, временное и физическое подобие.

Теоремы подобия.

1. Подобными являются явления, характеризующиеся численно равными критериями подобия.

m'	m''
ω'	ω''
τ'	τ''
G'	G''

Эти величины взаимодействуют по закону:

Запишем константы подобия:

Если индикатор подобия равен 1, то явления подобны.

Вывод:эта теорема подобия была сформулирована Ньютоном и согласно ей, при подобии систем всегда могут быть найдены такие комплексные величины, которые для сходств точек одинаковы. Первая точка подобия, показывает, какие величины следует измерять при проведении опытов, а именно те величины, которые входят в критерии подобия.

2. Решение любого дифференциального уравнения связывающего между собой. Переменные, влияющие на процесс, могут быть предоставлены в виде зависимости между критериями подобия.

П₁, П₂, П₃…….. П₁=f(П₂;П₃…)

Если процесс описывает несколько критериев подобия П₁, П₂, П_3, … такая зависимость называется критериальным уравнением; причем, П₁ – определяемый критерий, П₂, П_3, - определяющий критерий. П₁ – это такой критерий, в который входят величины, не являющиеся необходимыми для однозначной характеристики процесса. Такие критерии сами зависят от определяющих критериев, в состав которых входят условия однозначности, то есть замеряемые величины.

Для гидродинамических процессов нужно найти ∆р – эта величина будет входить в П₁. Замеряемые величины (вязкость, плотность, диаметр и т.д.) – П₂,П₃

Вывод: Вторая теорема подобия показывает, как обрабатывать результаты опытов, проводимых на моделях. Их нужно представлять в виде функциональной зависимости между критериями подобия. (Бекингем, Афанасьева-Эленфест).

3. Кирпичев формулирует совокупность необходимых и достаточных условий подобия.

Подобны те явления, которые описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений, и у которой численно равны определяющие критерии подобия.

Общий вывод: Исследование процесса методом теории подобия должно состоять из следующих этапов:

· Получив полное математическое описание, т.е. составив ДУ, проводят его подобное преобразование и получают критерий подобия.

· Опытным путем на моделях устанавливают конкретный вид зависимости между критериями подобия. Полученное обобщенное уравнение справедливо для всех подобных явлений в исследованных пределах измерения определяющих критериев подобия.

ЛЕКЦИЯ 9:

Гидродинамическое подобие (подобные преобразования уравнений Навье-Стокса) и вывод основных критериев ГД подобия.

Методы теории подобия позволяют преобразовать ДУ Навье-Стокса, описывающие движение реальной жидкости, и получить общую функциональную зависимость между критериями ГД подобия, характеризующими силы, действующие при движении жидкости.

Уравнение Навье-Стокса для практических случаев решить чисто математически невозможно.

Преобразуем уравнение Навье-Стокса для оси OZ в соответствии с положениями теории подобия.

· Установившийся поток.

Последовательность преобразования:

1. Отбрасываем знаки дифференциала;

2. Считаем геометрический размер z=l (линейным)

Для установившегося режима отсутствуют изменения технологической переменной во времени, поэтому в левой части уравнения заменяем отношение дифференциалов на отношение конечных величин.

3. Делим все слагаемые на ρ

4. Учитывая, что время может быть выражено

5. Делим правую часть на левую

Отражает влияние силы тяжести на движение жидкости и характеризует отношение сил инерции к силе тяжести в подобных потоках.

Это отношение сил давления к силе инерции. Отражает влияние перепада гидростатического давления на давление жидкости.

Отражает влияние силы трения на движение жидкости.

· Неустановившийся режим.

Помимо этих критериев имеет место:

Критерии Рейнольдса, Фруда и гомохромности составлены из величин определяющих распределение скоростей в потоке, и поэтому являются определяющими критериями ГД подобия.

Критерий Эйлера включает в себя абсолютное давление, которое нужно определить, т.к. если знать разность – известна движущая сила, поэтому он является определяемым критерием.

Т.о., чтобы процессы, происходящие в модели и в натуре, были подобны в сходных точках, должно осуществляться равенство:

Re'=Re'', Fr'=Fr'', Ho'=Ho'', Eu'=Eu''

Согласно второй теории подобия, критерии подобия должны быть связаны между собой критериальным уравнением:

Необходимо учитывать симплекс геометрического подобия.

Любую функциональную зависимость можно описать степенной функцией

Путем обработки опытных данных на моделях находят численные значения коэффициента А и степеней m,n,r,q и получают обобщенное критериальное уравнение ГД для данного процесса.

Если процесс установившийся:

При турбулентном движении капельных жидкостей и газов, перемещаемых с помощью насосов и компрессоров, влияние силы тяжести на распределение скоростей и перепад давления незначительно, поэтому Fr может быть исключен:

Некоторые физические величины, входящие в критерии подобия, целесообразно заменять на другие им пропорциональные, т.к. иногда бывает почти невозможно экспериментально определить ту или иную физическую величину, входящую в критерий подобия; поэтому используются производные от остальных критериев подобия.

Т.о. получают критерий подобия для естественной конвекции, т.е. движении, возникающем вследствие разности плотностей

Критериальное уравнение подобия процесса можно получить, используя метод анализа размерностей.

Один из методов обработки экспериментальных данных с получением критериального уравнения – π – теорема Бекингема, согласно которой общая функциональная зависимость, связывающая между собой n переменных величин при m основных единицах измерения может быть представлена в виде зависимости между (n-m) безразмерных комплексов этих величин, а при наличии подобия в виде связи между этим количеством критериев подобия.