Оптика. элементы квантовой физики

Основные формулы

Абсолютный показатель преломления среды   где с – скорость света в вакууме; υ - скорость света в среде. Закон преломления света   где - угол падения света; - угол преломления света; n1 и n2 - абсолютные показатели преломления первый и второй сред соответственно; n12 - относительный показатель преломления второй среды относительно первой среды.   Оптическая сила тонкой линзы   где a и b - расстояние соответственно от предмета и изображения до линзы; F - фокусное расстояние линзы; n – показатель преломления стекла; R1, R2 – радиусы кривизны линзы.   Увеличение линзы     Оптическая длина пути в однородной среде   где S - геометрическая длина пути световой волны; n - показатель преломления среды.   Оптическая разность хода   где и - оптические пути двух световых волн. Условие интерференционного максимума     и интерференционного минимума   где - длина световой волны.   Расстояние между интерференционными полосами двух когерентных источников света   где d - расстояние между когерентными источниками света; - расстояние от источников до экрана, - длина световой волны. Интерференция света в плоскопараллельных пластинках (в отраженном свете) определяется соотношениями: а) усиление света   б) ослабление света где h - толщина пластинки; - угол преломления; - длина волны света; m= 0; 1; 2; 3; … ; n – показатель преломления. В проходящем свете условия усиления и ослабления света обратны условиям в отраженном свете. Радиус светлых колец Ньютона в проходящем свете или темных в отраженном и темных колец в проходящем свете или светлых в отраженном Условие главных максимумов дифракционной решетки   где d- постоянная дифракционной решетки; - угол между нормалью к поверхности дифракционной решетки и направлением дифрагированных волн, - длина волны. Формула Вульфа-Брэгга   где d - расстояние между атомными плоскостями кристалла; θm - угол скольжения рентгеновских лучей.   Закон Малюса   где и - интенсивности плоскополяризованного света, падающего и прошедшего через анализатор; - угол между плоскостью поляризации падающего света и главной плоскостью анализатора. Закон Брюстера   где - угол Брюстера; n1 и n2 - показатели преломлений первой и второй среды.   Угол поворота плоскости поляризации света в кристаллах и чистых жидкостях   в растворах   где - постоянная вращения; - удельная постоянная вращения; с - концентрация оптически активного вещества в растворе; - расстояние, пройденное светом в оптически активном веществе.   Степень поляризации   где и - максимальная и минимальная интенсивности света.   Закон Стефана-Больцмана   где R - энергетическая светимость черного тела; Т – термодинамическая температура тела; - постоянная Стефана-Больцмана.   Энергетическая светимость серого тела   где А – поглощательная способность серого тела.   Закон смещения Вина   где - длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения черного тела; - постоянная Вина.   Давление света при нормальном падении на поверхность   где - количество энергии, падающей на единицу поверхности за единицу времени; - коэффициент отражения; - объемная плотность энергии излучения; c – скорость света.   Энергия фотона   где h - постоянная Планка; - частота света.   Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта   где Aвых - работа выхода электронов из металла; - максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.   Красная граница фотоэффекта   где - минимальная частота света, при которой еще возможен фотоэффект; - максимальная длина волны света, при которой еще возможен фотоэффект.   Изменение длины волны рентгеновского излучения при эффекте Комптона   где и - длина волны падающего и рассеянного излучения; θ- угол рассеяния; - комптоновская длина волны ( ); m0 - масса покоя частицы.   Длина волны де Бройля   где h - постоянная Планка; p - импульс частицы.   Соотношение неопределенностей Гейзенберга:   1)для координаты и импульса   где - неопределенность координаты частиц; - неопределенность проекции импульса частицы на соответствующую координатную ось;   2)для энергии и времени   где - неопределенность энергии частицы в некотором состоянии; - время нахождения частицы в этом состоянии.   Сериальные формулы спектра водородоподобных атомов   где - длина волны спектральной линии; - постоянная Ридберга; - порядковый номер элемента; n=1, 2, 3, …, k=n+1; n+2, … .   Спектральные линии характеристического рентгеновского излучения где а - постоянная экранирования; Z – зарядовое число атома.   Дефект массы ядра   где mp - масса протона; mn - масса нейтрона; mн - масса атома ; ma и mя - масса атома и его ядра ; Z и A - зарядовое и массовое числа.   Энергия связи ядра   где с – скорость света в вакууме.   Удельная энергия связи Закон радиоактивного распада где - начальное число радиоактивных ядер в момент времени t=0 ; N - число нераспавшихся радиоактивных ядер в момент времени t ; - постоянная радиоактивного распада.   Активность радиоактивного вещества

n= ,   ,   D = =(n-1)( + ),   .   ,     ,   0, 1, 2, …,   0,1,2, …,     ,     , ,     ;   , m= 0,1,2, …,   , m= 0; … .     θm =m , m=1, 2, …,     ,   ,   ;   ,   ,   ,   ,   ,   ,     ,     ,     ,   (θ/2),   ,     ,     ,   ,     ,     ,     .   ,     .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1.Под каким углом должен падать свет настеклянную пластину с показателем преломления n, чтобы отраженный луч был перпендикулярен преломленному?

Дано:n; Найти:

Решение:

По закону преломления света , где - угол падения света, - угол преломления света. По условию задачи +90⁰+ =180⁰. Отсюда, =90⁰-

Тогда = = tg =n. =arctg n.

Ответ: arctg n.

Пример 2. Объектив какой оптической силы нужно взять для фотоаппарата, чтобы с самолета, летящего на высоте 5км., сфотографировать местность в масштабе 1:20000?

Дано: b=5км; a:b=1:20000

Найти: D

Решение:

Используя формулу линзы D= и a= , можно найти

Ответ:

Пример 3. От двух параллельных щелей, находящихся на расстоянии 10^-4м друг от друга, на экран, находящийся от щелей на расстоянии 1м от этих щелей, падают лучи света. Определить расстояние между двумя соседними полосами интерференционных максимумов, наблюдаемых на экране, если на экран падает свет с длиной волны 560нм.

Дано: d=10^-4м; =1м; =5,6 10^-7м

Найти:

Решение:

Для решения задач нужно пользоваться формулой для определения расстояния между интерференционными полосами на экране, расположенном параллельно двум когерентным источникам света:

Ответ: .

Пример 4. На мыльную пленку падает белый свет под углом к поверхности пленки. При какой наименьшей толщине пленки отраженные лучи будут окрашены в желтый цвет ? Показатель преломления мыльной воды n=1,33.

Дано: ; ;n=1,33

Найти: h_min-?

Решение:

Усиление света в отраженных лучах опишется формулой:

и h_min будет при m=0. Таким образом, .

n определяется по формуле: n= . Отсюда, sin =

. Тогда h_min= .

Ответ: .

Пример 5. Плоскопараллельная стеклянная пластинка лежит на сферической поверхности плоско- выпуклой стеклянной линзы.

Найти фокусное расстояние линзы, радиус кривизны ее сферической поверхности и оптическую силу, если расстояние между двумя первыми светлыми кольцами Ньютона, наблюдаемыми в отраженном свете с равно 0,5мм.

Дано: ; r₂-r₁=0,5мм=5 10^-4м.

Найти: F; R; D;

Решение:

Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете выражаются формулами:

, где m=1,2,3,... .

По условиям задачи и

; тогда и

Отсюда

Оптическая сила линзы плоско-выпуклой линзы определяется из формулы:

Фокусное расстояние линзы определяется как:

Ответ: R=1,6 м; D=0,31 дптр; F=3,2 м.

Пример 6. На дифракционную решетку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет. Период решетки 2мкм. Определить наибольший порядок дифракционного максимума, который дает эта решетка в случае красного ( и в случае фиолетового ( света.

Дано:d= 2 мкм; = 0,76 мкм; =0,38 мкм.

Найти: m_1max; m_2max.

Решение:

Главные максимумы дифракционной картины определяются формулой:

dSin ,

где m порядок спектра:

Так как Sin не может быть больше 1, то

Отсюда, ; m является целым числом, поэтому

=2; =5

Ответ: =2; =5

Пример 7.Определите, во сколько раз ослабится интенсивность света, прошедшего через поляризатор и анализатор, расположенные так, что угол между их главными плоскостями и в каждом из них теряется 8% падающего света.

Дано: К₁=К₂=К=0,08; =30⁰

Найти: I₀ /I₂

Решение:Естественный свет, проходя через поляризатор превращается в плоскополяризованный, и его интенсивность на выходе из поляризатора (с учетом потери интенсивности)

Согласно закону Малюса, интенсивность света на выходе из анализатора (с учетом потери интенсивности)

Подставив в данное выражение предыдущее, получится

Тогда искомое ослабление интенсивности при прохождении света через поляризатор и анализатор

Ответ:

Пример 8.Пучок естественного света падает на стекло с показателем преломления n=1,73. Определите угол преломления, при котором отраженный от стекла пучок света полностью поляризован.

Дано: n=1,73; tg _Бр=n

Найти:

Решение: Свет, отраженный от диэлектрика, полностью поляризован, если он падает на диэлектрик под углом Брюстера . Согласно закону Брюстера

где n₂₁- относительный показатель преломления второй среды (стекла) относительно первой (воздуха):

n₂₁=n₂/n₁=n (поскольку n₁=1)

Тогда , т. е =arctg 1,73=60⁰

Если tg , то согласно решению задачи пример 1,

+90⁰+ =180⁰

Отсюда, =90⁰- =90⁰-60⁰=30⁰

Ответ: .

Пример 9.Слой оптически активного раствора, имеющего концентрацию 8%, вращает плоскость поляризации луча на 12⁰. При какой концентрации раствора угол вращения плоскости равен 21⁰?

Дано: С₁=8%; =12; =21⁰

Найти: С₂.

Решение:Используя формулу угла поворота плоскости поляризации света в растворах можно написать:

(1)

(2)

Из (1) и (2) : , отсюда . Подставив численные значения величин

Ответ: =14%

Пример 10.Энергетическая светимость абсолютно черного тела равна 250кВт/м². Определить длину волны, при которой будет максимальная испускательная способность тела.

Дано: R=250 квт/м²=2,5 Вт/м²; =5,67 Вт/м²; b=2,9 мкм

Найти: -?

Решение: Согласно закону Стефана- Больцмана и закону смещения Вина

Из этих двух законов:

Ответ:

Пример 11.Найти давление света на стенки электрической 100-ватной лампы. Колба лампы представляет собой сферический сосуд радиусом 5см. Стенки лампы отражают 10% падающего на них света. Считать, что вся потребляемая мощность идет на излучение.

Дано: W=100Вт; R=5см =5 м; =0,1;

Найти: Р

Решение: Давление света при нормальном падении на поверхность определяется формулой:

где Е- количество энергии, падающей на единицу поверхности за единицу времени, т. е

, а . Следовательно, в данном случае,

Ответ: Р=1,2 Па

Пример 12.Найти частоту света, вырывающего с поверхности металла электроны, полностью задерживающиеся обратным потенциалом в 3В. Фотоэффект у этого металла начинается при частоте падающего света в Гц. Найти работу выхода электрона из этого металла.

Дано: U_зад=3В; =6 10¹⁴Гц.

Найти: ; A_вых.

Решение: Для решения задачи необходимо пользоваться уравнением Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

,

где А_вых=h _min; ; 1эв=1,6

Вычисления: ,

; = (Гц)=1,3 10¹⁵ Гц

Ответ: Гц; А_вых=2,48эВ=4 10^-19Дж.

Пример 13. Рентгеновские лучи с длиной волны =210^-11м испытывают комптоновское рассеяние под углом 90⁰. Найти: 1) изменение длины волны рентгеновских лучей при рассеянии, 2) кинетическую энергию отдачи электрона , 3) количество движения электрона отдачи.

Дано: м; θ=90⁰

Найти: , Т, Р.

Решение: Изменение длины волны при эффекте Комптона вычисляется по формуле:

,

где - длина рассеянного излучения, - комптоновская длина волны электрона равная м, тогда м

Кинетическая энергия отдачи электрона Т равна:

= 6,63 10³⁴ 3 10⁸ (Дж)=

=1,08 10^-15(Дж)=6,7 10³(эВ)

Количество движения электрона отдачи Р вычисляется по формуле:

кг .

.

Ответ: ; Т=1,08 Дж; Р=1,59 кг .

Пример 14. Найти длину волны де Бройля для электронов, прошедших разность потенциалов: 1) 1В и 2) 100В.

Дано: кг; =1,6 Кл; u₁=1B; u₂=100В.

Найти:

Решение.Длина волны де Бройля находится по формуле:

;

Скорость электронов, прошедших разность потенциалов U находится из закона сохранения энергии:

eU= , т. е. . Отсюда , ;

.

Ответ: =1,23 10^-9м; ₂=1,23 10^-10м.

Пример 15.Масса движущегося электрона в три раза больше его массы покоя. Чему равна минимальная неопределенность координаты электрона?

Дано:m=3m₀; m₀=9,1 10^{-31 кг.}

Найти: .

Решение. Согласно соотношению неопределенности Гейзенберга,

,

где и - неопределенности координаты и импульса частицы; h- постоянная Планка.

Учитывая, что

,

где m- масса; - скорость частицы, соотношение неопределенностей можно представить в виде

.

Поскольку неопределенность скорости , как и сама скорость, не может превышать скорость света в вакууме, то

Согласно условию задачи m=3 m₀ и тогда

Проводя вычисления можно найти

Ответ: .

Пример 16. Наибольшая длина волны водорода в серии Бальмера 656,28 нм. Определить длину волны в серии Лаймена.

Дано: К₁=2; К₂=1;

Найти: .

Решение:

Наибольшие длины волны в серии Больмера и серии Лаймена выразятся формулами:

=R( )=

=R( )=

Нужно определить из первой формулы R и подставить в формулу для :

=

Отсюда, = . =

Ответ: =1,2153

Пример 17. Вычислить активность препарата радиоактивного иридия массой 5 г. Какая часть начального количество иридия останется не распадавшейся через один месяц? Период полураспада иридия 75 суток.

Дано: m=5г= 5 кг; Т_1/2=75 суток; t=30 дней

Найти: А, N/N₀

Решение.

Активность радиоактивного вещества выражается формулой A= , и связаны соотношением

Начальное количество атомов в препарате равно

,

где m –масса препарата, М - молярная масса, N_A – число Авогадро. Учитывая вышеуказанные соотношения:

Числовое значение А будет:

Доля не распавшихся атомов равна:

Ответ: ;

Контрольная работа 4

Таблица вариантов

Вариант	Номера контрольных работ

401. Плоское зеркало поворачивается на угол =28⁰. На какой угол повернется отраженный луч?

402. Определить показатель преломления и скорость распространения в веществе, если известно, что при угле падения 45⁰ угол преломления равен 30⁰.

403. Луч света падает под углом =30⁰ на плоскопараллельную пластинку и выходит из нее параллельно первоначальному лучу со смещением на d=1,94 см. Показатель преломления стекла n=1,5. Найти толщину пластинки h.

404. Найти предельный угол падения луча при переходе луча из стекла в воду, если показатель преломления стекла n=1,5.

405. Луч света выходит из скипидара в воздух. Предельный угол падения . Определить скорость распространения света в скипидаре.

406. Найти фокусное расстояние линзы, погруженную в воду, если известно, что в воздухе ее оптическая сила 5 дптр. Показатель преломления стекла линзы 1,6.

407. Найти увеличение линзы, показатель преломления которой 1,6 и радиусы кривизны 50 см, если предмет находится на расстоянии 50 см от линзы.

408. Светящаяся точка движется со скорость 0,2 м/с по окружности вокруг главной оптической оси собирающей линзы в плоскости, параллельной плоскости линзы и отстоящей от нее на расстоянии в 1,8 раз больше фокусного расстояния линзы. Найти скорость движения изображения.

409. Оптическая сила собирающей линзы 6 дптр. На каком расстоянии от линзы нужно поместить предмет, чтобы получить мнимое его изображение на расстоянии 25 см от линзы?

410. Расстояние от предмета до экрана 5 м. Для того, чтобы получить на экране увеличенное изображение предмета, собирающую линзу с фокусным расстоянием 80 см следует поместить между предметом и экраном. На каком расстоянии от предмета должна быть установлена лампа?

411. В просветленной оптике для устранения отражения света на поверхность линзы наносится тонкая пленка вещества с показателем преломления 1,26, меньшим, чем у стекла. При какой минимальной толщине пленки отражение света от линзы не будет наблюдаться? Длина волны падающего света 0,55 мкм, угол падения 30⁰.

412. Пучок монохроматических ( =0,6 мкм) световых волн падает под углом =30⁰ на находящуюся в воздухе мыльную пленку (n=1,3). При какой наименьшей толщине d пленки отраженные световые волны будут максимально ослаблены интерференцией?

413. Расстояние между двумя когерентными источниками d=0,9 мм. Источники, испускающие монохроматический свет с длиной волны =640 нм, расположены на расстоянии =3,5 м от экрана. Определите число светлых полос, располагающихся на 1 см длины экрана.

414. В опыте с зеркалами Френеля расстояние d между мнимыми изображениями источников света равно 0,5 мм, расстояние от них до экрана равно 3 м. Длина волны =0,6 мкм. Определить расстояние между интерференционными полосами на экране.

415. В опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лучей помещалась тонкая стеклянная пластинка, вследствие чего центральная светлая полоса смещалась в положение, первоначально занятое пятой светлой полосой (не считая центральной). Луч падает перпендикулярно к поверхности пластинки. Показатель преломления пластинки n=1,5. Длина волны =600 нм. Какова толщина h пластинки?

416. Расстояние d между двумя когерентными источниками света ( =0,5 мкм) равно 0,1 мм. Расстояние b между интерференционными полосами на экране в средней части интерференционной картины равно 1 см. Определить расстояние от источников до экрана.

417. Оптическая разность хода двух интерферирующих волн монохроматического света равна 0,3 . Определить разность фаз .

418. Определить минимальную толщину тонкой пленки масла (n=1,6) на поверхности воды, если при наблюдении через спектроскоп под углом 60⁰ к нормали в спектре отраженного света видна значительно усиленной желтая линия ( =589 нм).

419. Пучок параллельных лучей, соответствующих длине =0,6 мкм, падает на мыльную пленку под углом =45⁰. Показатель преломления мыльной воды n=1,33. При какой наименьшей толщине пленки отраженный от нее свет будет максимально ослаблен?

420. На пленку из глицерина (n=1,47) толщиной 0,25 мкм падает белый свет. Каким будет казаться цвет пленки в отраженном свете, если угол падения лучей равен 30⁰?

421. Радиусы двух соседних т