Воплощения локальной симметрии

Теперь мы расшифровали и даже улучшили вторую строчку стихотворной строфы Уилера. Другими словами, мы обсудили, как силы направляют материю или как ян направляет инь. Чтобы завершить этот цикл идей, мы должны обсудить законы, которые управляют влиянием в противоположном направлении.

Точнее, наша задача состоит в следующем: как нам получить уравнения для кривизны пространства-времени и пространств свойств? Наш главный направляющий принцип, принцип локальной симметрии , настолько же красив, насколько глубок. Мы ввели эту идею ранее, в главе «Симметрия I», и теперь коротко повторим ее и после этого будем делать дальнейшие построения на ее основе.

Вспомним, что, разработав в 1905 г. специальную теорию относительности, Эйнштейн вскоре осознал, что ее невозможно совместить с теорией гравитации Ньютона. Он бился над этой проблемой целых десять лет, назвав их «годами тревожного поиска во тьме».

Эйнштейн достиг просветления, обнаружив подходящие уравнения для кривизны пространства-времени, и тем самым завершил новую теорию гравитации, общую теорию относительности. Он открыл их, когда сформулировал следующее требование: уравнения должны воплощать то, что он назвал общей ковариантностью , которая является вариантом локальной симметрии для пространства – времени.

Чтобы глубже понять локальную симметрию Главной теории, давайте начнем с того, что вспомним основную идею симметрии уравнений, которую мы ввели ранее в наших дискуссиях вокруг уравнений Максвелла. Мы говорим, что уравнение (или система уравнений) имеет симметрию, если существуют такие изменения, которые можно произвести над входящими в уравнение величинами, не изменив его содержания. Требование симметрии предоставляет нам способ нахождения особенных уравнений, поскольку большинство уравнений, выбранных случайно, не симметричны. Также, если говорить субъективно, это способ нахождения особенно красивых уравнений.

(Некоторые считают, что использование слова «симметрия» для описания свойства уравнения режет слух, поскольку оно кажется довольно далеким от обыденного значения этого слова. Если у вас есть такое затруднение, возможно, вам стоит иметь в виду слово «инвариантность» как дополнение или замену. После некоторого обдумывания я решил придерживаться слова «симметрия», так как оно глубоко укоренилось в литературе и это не осталось без отклика. Как бы вы это ни называли, главной идеей остается Изменение без изменений.)

Общепринятая, т. е. нелокальная, или (слово, которое буду использовать я) глобальная, симметрия физических законов обычно предполагает изменение Вселенной в целом, жестко и глобально. Например, мы постулируем, что содержание законов физики не изменится, если мы изменим положение всего, что в них встречается, на одну и ту же величину – скажем, сдвинем все на метр в одном и том же направлении, везде (и во все моменты времени). Если хорошо подумать об этом, вы поймете, что это точный (хотя возможно странный) способ сказать, что законы не знают предпочтительного положения в пространстве или, проще говоря, что законы везде принимают одну и ту же форму. Но, если мы поменяем положение некоторых предметов на бóльшую величину, чем положение других, мы изменим их взаимное расположение. Это, несомненно, поменяет содержание законов о силах – например, закон Ньютона для гравитации и похожий на него закон Кулона для электрических сил, – которые зависят от расстояний между объектами.

С локальной симметрией появляются преобразования, меняющиеся в пространстве и времени. Именно потому, что мы можем выбирать преобразования локально , не заботясь о Вселенной в целом, мы используем слово «локальная» при описании такой возможности. Рассмотрим снова вид трансформации, который мы только что обсудили в предыдущем абзаце: простой сдвиг всех объектов. На первый взгляд, как мы видели, симметрия законов физики может иметь место только в том случае, если мы предполагаем перемещение всего на одинаковое расстояние в одном и том же направлении. Если мы изменим расстояния между объектами, мы изменим законы их взаимодействия! Однако – а в этом как раз и заключается йога локальной симметрии – если у нас имеется метрический флюид и мы внесем нужные поправки в метрический флюид одновременно с перемещениями , то мы сможем сохранить расстояния между объектами и, следовательно, законы их взаимодействия неизменными!

Анаморфное искусство, как показано на вклейке EE, служит прекрасной метафорой – или, лучше сказать, моделью – для локальной симметрии. Как мы обсуждали ранее, начертательная/проективная геометрия – это искусство/наука об Изменениях без изменений, с которым (-ой) сталкиваешься, смотря на один и тот же объект (нет изменения) с разных точек зрения (изменения). Мы признаем, что многие различные картины могут изображать один и тот же предмет. Но мы можем получить более сложные образы, используя все тот же изначальный объект, если допустим присутствие искажающих сред – кривых зеркал, скажем, или линз и призм… или вообще некой структуры, которая меняется в пространстве от места к месту и искривляет световые лучи. Допуская присутствие таких сред, мы начинаем считать, что гораздо более широкий спектр изображений представляет один и тот же объект . Локальная симметрия – это та же самая идея, только примененная к уравнениям вместо предметов.

Условие локальной симметрии накладывает жесткие ограничения на наши уравнения. Мы требуем, чтобы версии этих уравнений, выглядящие очень искаженными, имели такие же следствия, как и оригиналы. Чтобы это было возможно, мы должны сделать предположение о том, что пространство-время (включая и любые пространства свойств, наложенные на него) заполнено соответствующими флюидами. В зависимости от того, как вы хотите интерпретировать эту ситуацию, вы можете сказать, что флюиды ответственны за видимые искажения или – альтернативно – компенсируют их. (Они ответственны за видимые искажения, если вы трактуете все от объекта к восприятию; они компенсируют видимые искажения, если вы трактуете все от восприятия к объекту!) В любом случае нам нужны эти заполняющие пространство-время флюиды, если мы хотим иметь локальную симметрию. И если мы хотим, чтобы они были успешными универсальными компенсаторами, флюиды должны обладать весьма особенными свойствами. Другими словами, они должны будут подчиняться очень специальным уравнениям.

Именно требование локальной версии специальной теории относительности позволило Эйнштейну получить уравнения для метрического поля, являющиеся основой общей теории относительности! И именно требование локальных версий вращений в пространствах свойств позволило Чжэньнину Янгу и Роберту Миллсу найти уравнения, носящие их имена и управляющие слабым и сильным флюидами. Янг и Миллс основывались на работе Германа Вейля, который показал, что уравнения Максвелла для электромагнитного флюида можно вывести таким образом.

Когда мы переходим от флюидов к соответствующим им субатомным частицам, или квантам, мы осознаем, что существование гравитонов, фотонов, виконов и цветных глюонов – квантов метрического, электромагнитного, сильного и слабого флюидов соответственно – и их свойств является неизбежным и исключительным следствием различных локальных симметрий . Обычный жаргон для этих локальных симметрий в физической литературе таков:

• общая ковариантность – для локальной версии специальной теории относительности;

• калибровочная симметрия U (1) – для локальной версии вращения в пространстве свойств электрического заряда;

• калибровочная симметрия SU (2) – для локальной версии вращения в пространстве свойств слабого заряда;

• калибровочная симметрия SU (3) – для локальной версии вращения в пространстве свойств сильного заряда.

Историческое происхождение термина «калибровочная симметрия» довольно интересно. Оно обсуждается в примечаниях в конце книги.

Мы можем подвести итог нашему обсуждению справедливым образом так, чтобы это запомнилось:

Гравитоны – это воплощения общей ковариантности.

Фотоны – это воплощения калибровочной симметрии 1.0.

Виконы – это воплощения калибровочной симметрии 2.0.

Цветные глюоны – это воплощения калибровочной симметрии 3.0.

Давайте отпразднуем эту выдающуюся плодотворность дуализма

Идеальное ↔ Реальное

подходящим рисунком (вклейка LL). Когда объекты, содержащие симметричные детали, фотографируют с помощью объектива «рыбий глаз», симметрия различных деталей отображается по-разному, в зависимости от пространственного положения. Такие изображения могут передавать дух локальной симметрии в подходящей, странно красивой визуальной форме.

И в заключение (с помощью илл. 33) давайте переключим наше внимание с результатов теорий с локальной симметрией на процесс их создания. Это трехступенчатый процесс. Мы должны выбрать объекты, которые мы хотим изобразить (материя), то, как мы разрешим им выглядеть (преобразования), и среды, которые будут обеспечивать эти преобразования (флюиды). Этот рисунок, показывающий процесс создания анаморфного искусства, является уточненной версией вклеек K и L. Наш современный Мастер – рачительный ремесленник, но теперь мы знаем, что его мысли более изобретательны, его инструменты более разнообразны – и его подход более игрив, – чем у Мастера, которого представлял себе Блейк.

Илл. 33. Процесс создания анаморфного искусства

Где определяет что

Когда частица движется в пространстве свойств, на обычном языке мы бы сказали, что она превращается в частицу другого вида. Скажем, «красный» кварк – т. е. кварк с единицей красного заряда – может превратиться в «синий» кварк. Но теперь у нас есть другой, более глубокий способ рассматривать эту ситуацию. С этой новой точки зрения мы видим, что эти две частицы – красный кварк и синий кварк – на самом деле являются одной и той же сущностью, занимающей разные положения! Таким образом, что это кодируется тем, где оно находится.

Поскольку цветные глюоны реагируют именно на цветовой заряд, то они решают, что им делать, «смотря», где расположены частицы – или, в более общей формулировке, как выглядит распределение волновых функций или полей в пространстве цветовых свойств. Для этих глюонов важно положение и еще раз положение – положение в этом пространстве свойств, равно как и положение в пространстве-времени. И наоборот, когда мы наблюдаем за поведением цветных глюонов, мы получаем информацию из пространства цветового заряда. Пространства свойств, сначала введенные в качестве подспорья воображению, превращаются тем самым в осязаемые элементы действительности.