Стационарные состояния как собственные колебания

Уравнение, которое описывает, как волновая функция электрона меняется во времени, называется уравнением Шрёдингера. Если рассматривать это уравнение как часть математики, то оно близко связано с уравнениями, которые мы используем для описания музыкальных инструментов.

Атом водорода, рассматриваемый как музыкальный инструмент, выглядит как трехмерный гонг, который является жестким на внешней стороне – далеко от протона, – но который легче привести в движение вблизи от середины. Это означает, что «вибрации» нашего инструмента, сила которых зашифрована в амплитуде волновой функции, будут иметь тенденцию сфокусироваться в середине. Волновая функция также будет стремиться сконцентрироваться в середине и, конечно, то же самое произойдет со связанным с ней облаком вероятности. Таково строгое квантово-механическое описание явления, в обиходе формулируемого как «протон притягивает электрон»!

Теперь мы готовы понять, как современная квантовая механика, основанная на волновых функциях и уравнении Шрёдингера, одновременно схватывает и передает «наивысшую музыкальность» Бора.

Самый важный шаг в понимании того, как действует любой музыкальный инструмент с физической точки зрения, – это понимание его естественных колебаний. Они соответствуют его «нотам», т. е. рисункам колебаний, которые инструмент может поддерживать на протяжении значительного времени и которые легко извлечь (сыграть).

Поскольку уравнение Шрёдингера для электрона в атоме очень похоже на уравнение колебаний музыкального инструмента, мы должны рассмотреть его решения, которые выглядят подобно естественным колебаниям. И оказывается, что естественные колебания волновой функции означают нечто совершенно простое и замечательное по отношению к облаку вероятности – а именно, что оно не меняется совсем!

(Опишем это более подробно, используя комплексные числа. Когда мы говорим о вибрирующей струне, как на илл. 24, колеблется, т. е. меняется со временем, только положение элементов струны. Для волновой функции меняется только набор комплексных чисел, которые она присваивает различным точкам пространства. При естественных колебаниях изменение является простым: амплитуды комплексных чисел остаются одними и теми же, но меняются их фазы, причем все на одну и ту же величину. В результате квадраты модулей амплитуд, которые и проявляются в облаке вероятности, не меняются вообще.)

Эти естественные колебания волновой функции, которые соответствуют не меняющимся облакам вероятности, имеют как раз такие свойства, которых Бор ожидал от своих «стационарных состояний». Электрон будет сохраняться в любом режиме колебаний из этого набора, и ни один другой их вид не имеет этого свойства. Более того, можно рассчитать энергию, присущую этим естественным колебаниям, и окажется, что она совпадает с энергией «разрешенных орбит» Бора.

Давайте посмотрим на какое-нибудь из этих стационарных состояний. На илл. 26 изображены их облака вероятности. Во всех случаях протон находится в центре и то, на что вы смотрите, является двумерной проекцией трехмерного облака. Яркость облака обозначает его величину как математической функции, т. е., скорее всего, электрон в любом из своих состояний будет обнаружен там, где облако ярче. Более компактные облака соответствуют стационарным состояниям с более низкой энергией.

Илл. 26. Каждое изображение – это моментальный снимок облака вероятности электрона атома водорода в том или ином стационарном состоянии. Электрон скорее всего будет обнаружен там, где облако ярче. В каждом случае в центре облака находится единственный протон. (Те же самые формы орбит имеют и электроны других атомов, таких как углерод.)

Чтобы оценить по достоинству сами волновые функции в отличие от получаемых из них облаков вероятности, требуется как следует постараться, но и результаты получаются более богатые. На вклейке CC мы видим только одно из стационарных состояний. Изображенные поверхности – это поверхности, где амплитуда волновой функции имеет постоянное значение. Они показаны в разрезе, так что вы можете видеть, что у них внутри. Цвета обозначают фазу волновой функции как комплексного числа. Вы должны воспринимать эту иллюстрацию как моментальный снимок. С течением времени цвета изменяются циклически. Воистину атомы – психоделичны!

Современная квантовая теория, несмотря на свою большую сложность, дает ошеломляющие преимущества по сравнению с пионерской моделью Бора:

• В современной квантовой теории переходы между стационарными состояниями происходят как логическое следствие из уравнений. Физически они вырастают из взаимодействия между электронами и электромагнитным флюидом. Поскольку это взаимодействие достаточно слабо по сравнению с основными электрическими силами, которые связывают электроны, у нас часто хорошо получается рассматривать его как поправку, отталкиваясь от стационарного состояния как от начальной точки. При таком отношении мы не считаем эти переходы настоящими скачками, хотя они происходят достаточно быстро.

• Правило Бора, определяющее «разрешенные» орбиты, было четко сформулировано только для единичных электронов. За годы «игры в Jeopardy», примерно с 1913 по 1925 г., было много попыток угадать правила для более сложных ситуаций. Но когда Шрёдингер (а ранее – Гейзенберг) придумал свои уравнения, они оказались настолько превосходящими прошлые подходы и даже настолько «очевидно правильными», что более или менее сразу были приняты как консенсус и быстро развились в современную квантовую теорию. И, судя по ее ошеломляющему и все еще продолжающемуся успеху, Природе, кажется, тоже нравится квантовая теория.

• Квантовая теория более музыкальна!

Процесс, который заменяет квантовые скачки, особенно интересен. В нем электрон порождает электромагнитную энергию в форме фотона там, где изначально не было ничего. Это происходит, когда электрон встречает спонтанную активность в электромагнитном флюиде и, передавая часть своей энергии, усиливает эту активность. При этом электрон переходит в состояние с более низкой энергией, виртуальный фотон становится настоящим фотоном и возникает Свет.