Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния.

При исследовании динамических моделей эк-ки часто оказывается необходимо не только уметь численно решать возникающие в ходе моделирования уравнения, но и получить некоторое общее описание структуры множества всех возможных траекторий динамической системы. Важную роль при таком описании играют траектории, имеющие максимально простую структуру.

Определение: Последовательность Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru , являющаяся решением разностного уравнения Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru (1), называется стационарной траекторией динамической системы (1), если она представляет собой последовательность: Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru , Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru .

Из определения непосредственно вытекает метод отыскания стационарных траекторий системы (1): достаточно найти корни следующего уравнения: Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru (2), где Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru .

Определение: Всякое решение Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru ур-ния (2) называют стационарным состоянием, или состоянием динамического равновесия системы (1).

Последовательности вида Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru , и только они, являются стационарными траекториями этой системы.

Следующая теорема поясняет роль стационарных траекторий при исследовании динамических систем в дискретном времени.

Теорема. Пусть последовательность Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru является траекторией динамической системы (1) и при этом имеет предел Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru . Тогда Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru есть стационарное состояние системы (1).

Доказательство: Переход к пределу в обеих частях уравнения (1) с учетом предположения о непрерывности ф-ии F приводит к равенству: Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru . Т.о., Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru есть стационарное состояние системы (1). Теорема доказана.

Теперь введем одно из важнейших с точки зрения моделирования эк.динамики понятий – понятие об устойчивости динамического равновесия. Ограничимся при этом частным случаем системы (1), когда порядок разностного уравнения – первый, т.е. когда это уравнение имеет вид: Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru (3).

Пусть динамическая система, описываемая разностным уравнением (3) обладает стационарным состоянием Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru .

Определение: Стационарное состояние Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru называется локально устойчивым, если существует такая ε-окрестность точки Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru , что все траектории, начальные состояния Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru которых принадлежат этой окрестности, сходятся к Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru .

Смысл локальной устойчивости состоит в том, что если система изначально не слишком удалена от стационарной траектории, то есть если величина Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru не слишком велика, то с течением времени система оказывается все ближе (в асимптотике сколько угодно близко) к стационарной траектории.

Существует также другой, более сильный тип устойчивости.

Определение: Стационар. состояние Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru называется глобально устойчивым, если все траектории уравнения (3) сходятся к Стационарные траектории и стационарные состояния динамической системы. Понятие устойчивости стационарного состояния. - student2.ru .

Ясно, что глобально устойчивое динамическое равновесие одновременно является локально устойчивым. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Однако оно верно для достаточно узкого, но важного класса разностных уравнений – линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.


Наши рекомендации