Дорога к уравнениям Максвелла

Первая значительная работа Максвелла по электричеству и магнетизму (электромагнетизму) была написана в 1856 г., почти на 10 лет раньше «Динамической теории». Она называлась «О силовых линиях Фарадея». Максвелл писал:

Мой замысел – показать, как с помощью строгого приложения идей и методов Фарадея открытая им связь между явлениями самого различного порядка может быть ясно изложена на языке математического мышления.

На 75 страницах своей содержательной работы Максвелл развивал воображаемые образы Фарадея в точные геометрические понятия, а затем – в математические уравнения.

Его вторая большая работа последовала в 1861 г.; она была озаглавлена «О физических силовых линиях». Предыдущая работа самого Максвелла и работы Фарадея облекали наблюдаемые явления электромагнетизма в новую форму. Последние интерпретировались как законы, управляющие возмущениями наполняющей пространство среды, электромагнитного флюида (состоящего, естественно, из электрического и магнитного флюидов). Теперь Максвелл был готов представить механическую модель самих флюидов. Вот так он изобразил ее (илл. 21).

Илл. 21. Представленная Максвеллом механическая модель пространства, заполненного материальной средой, движение которой вызывает электромагнитные поля и силы

Модель Максвелла включает магнитные вихревые атомы (шестиугольники), между которыми расположены проводящие электричество сферы. Эти сферы служат как бы смазкой, заполняющей пространство. Магнитные поля описывают скорость и направление магнитных вихревых движений, а электрические поля – поле скорости или «ветер», связанный с потоком сфер. Хотя эта модель была полностью умозрительной, она давала достоверное представление известных тогда законов электричества и магнетизма и предполагала существование новых.

Можно очень повеселиться и размять мозг, поиграв с моделью Максвелла, но это непростое развлечение, которое далеко не всем по вкусу, поэтому здесь я не буду превращать текст в руководство по нему. В любом случае детали этой модели были хорошо продуманы, хотя и не внушали доверия, что сам Максвелл понимал и охотно признавал.

Но огромное достоинство любой работающей модели – или раздумий над нею – в том, что она заставляет одновременно быть точным и последовательным. Написание уравнений или компьютерной программы требует дисциплины того же рода. Тому, кто это делает, приходится уравновешивать свои амбиции и точность.

В модели Максвелла, когда атомы магнитных вихрей вращаются, они становятся сплющенными – сжатыми на полюсах и расширенными у экватора, как вращающаяся Земля у Ньютона! – и расталкивают проводящие электричество сферы. И наоборот, потоки проводящих сфер действуют с определенной силой на вихревые атомы и могут заставлять их раскручиваться. Возбуждение любого из флюидов может привести к возбуждению другого. Значит, эта модель предсказывает, что магнитные поля специфическим образом порождают электрические поля, и наоборот.

Здесь-то в дополнение к известным явлениям электромагнетизма модель Максвелла предсказала нечто новое.

Фарадей экспериментально открыл, что, когда магнитные поля меняются во времени, они создают электрические поля. Закон индукции Фарадея, как его называют, лежит в основе конструкции электромоторов и генераторов. Он стал огромным стимулом к развитию техники. Также он был оправданием внутреннего ощущения Фарадея о том, что поля сами по себе являются независимыми элементами физической реальности. Ведь вот он, закон, который почти невозможно сформулировать, не сославшись на них! Модель Максвелла, построенная, чтобы дать место закону Фарадея, принесла дуальный эффект, при котором электрические и магнитные поля менялись ролями. Закон Максвелла, как я его называю, гласил, что электрические поля, которые меняются во времени, создают магнитные поля.

Комбинация этих двух эффектов вела, как увидел Максвелл, к новым потрясающим возможностям. Имея меняющиеся во времени магнитные поля, Фарадей приходил к полям электрическим, которые тоже менялись во времени. Максвелл начинал с меняющихся во времени электрических полей и приходил к полям магнитным, которые тоже менялись во времени. И этот ритм продолжался все дальше:

… → Фарадей → Максвелл → Фарадей → Максвелл → …

Итак, возмущение электрических и магнитных полей может вести свою собственную жизнь: поля в ней танцуют парами и каждое из них порождает другое.

Из своей модели Максвелл смог высчитать, как быстро такие возмущения будут передаваться через пространство. Он определил, что они двигаются со скоростью, которая совпадает с известной по измерениям скоростью света. И именно тут мы видим самое обширное использование курсива среди всех работ Максвелла:

Скорость поперечных волновых колебаний в нашей гипотетической среде… столь точно совпадает со скоростью света… что мы едва ли можем отказаться от вывода, что свет состоит из поперечных колебаний той же самой среды, которая является причиной электрических и электромагнитных явлений [40].

Для Максвелла было очевидно, что это совпадение скоростей не было случайным. Его электромагнитные возмущения – это и есть свет, а свет – это, в сущности, не что иное, как возмущение в электрических и магнитных полях.

Когда я читал этот отрывок, я обнаружил, что пытаюсь представить себе, что чувствовал Максвелл, и затем вспомнил несколько эпизодов из моей собственной работы, когда все неожиданно сходится, а потом мне в голову пришли строки Китса:

Я счастлив. Так ликует звездочет,

Когда, вглядевшись в звездные глубины,

Он вдруг светило новое найдет.

Так счастлив Кортес был, чей взор орлиный

Однажды различил над гладью вод

Безмолвных Андов снежные вершины[41].

Эти строки мне хочется перечитывать снова и снова!

Умозаключение Максвелла, если оно верно, давало фантастическое объединение электромагнетизма и оптики. Кроме того, оно обеспечивало новый, потрясающий взгляд на сам свет. Оно «упрощало» свет до электромагнетизма – экспансивное упрощение, если такое когда-нибудь бывало!

Но казавшееся диким предположение Максвелла, пока оно оставалось соединенным с абсурдной моделью, было как искра золота в грязи – обещанием красоты, которой еще нет. Лишь дикое предположение. Следующим шагом следовало избавиться от шлака.

Человек-паук

Прежде чем мы перейдем к самим уравнениям Максвелла, я бы хотел поделиться с вами фантазией, которая пришла мне в голову, когда я писал эту главу.

Представьте себе, что появилась раса пауков настолько умных, чтобы начать создавать паучью физику. На что это будет похоже?

Илл. 22. Интеллектуальные пауки ломают голову над зачатками теории поля. Сравните это паучье представление с илл. 20 и 21

У пауков плохое зрение, поэтому для них не станет отправной точкой взгляд, который преподносит нам наше визуальное восприятие: мир несвязанных объектов, свободно перемещающихся внутри своего хранилища – пространства. Вместо этого паучья сенсорная вселенная основана на прикосновении. Если говорить более точно, пауки чувствуют вибрацию нитей своей паутины, и из этой вибрации они делают вывод о существовании объектов, которые побуждают их на действие (в особенности о потенциальной пище). Для интеллектуальных пауков ввести понятие силовых линий не потребовало бы большого напряжения воображения. Передающие силу, наполняющие пространство сети – это их обычный способ существования. Их мир – это мир связей и колебаний.

Пауки, так сказать, до мозга костей знали бы, что силы передаются через наполняющую пространство среду и проходят через нее с конечной скоростью. Они инстинктивно избегали бы пустоты. Они все были бы Фарадеями и скорее, чем мы, породили бы идею Всемирной паутины (илл. 22).

Уравнения Максвелла

В «Динамической теории электродинамического поля» Максвелл начинает все заново. Работа «О физических силовых линиях» напоминала огромный Вопрос, касающийся выводов из одной спекулятивной Гипотезы, нуждающейся в поддержке от Природы. «Динамическая теория» следовала традиции «Начал», переходя от наблюдаемых фактов к системе основных уравнений.

В то время как Ньютон опирался на законы планетарного движения Кеплера, Максвелл в качестве основы взял четыре закона, открытые несколькими учеными ранее: два закона Гаусса, закон Ампера и закон индукции Фарадея. (Они описываются ниже, а также в разделе «Термины».) Максвелл выразил эти законы на языке электрического и магнитного флюидов Фарадея, который он сделал точным и математическим в своих более ранних работах.

Также Максвелл добавил свой собственный закон, дуальный закону Фарадея. Это дополнение не было основано на экспериментах[42]. Как мы уже говорили, Максвелл первоначально пришел к постулированию этого закона, работая со следствиями из своей абсурдной модели. В новой трактовке он показал, что новый закон необходим, чтобы сделать старые законы согласованными!

На цветной вклейке N воспроизведены уравнения Максвелла. То, что они могут быть представлены в рисунках, является важным аспектом их красоты! Эта система из четырех уравнений, объединяющих четыре уже известных закона с новым дополнением, сейчас всем известна как уравнения Максвелла. (В четырех уравнениях скрыто пять законов, поскольку одно из уравнений суммирует два физических явления.) Вплоть до настоящего времени они остаются лучшим фундаментальным описанием электромагнетизма и света.

Здесь я не могу устоять от того, чтобы воспроизвести действительное содержание уравнений Максвелла. После того как я их так разрекламировал, вам, возможно, будет любопытно в точности узнать, из-за чего весь этот шум!

Я пытался сделать это способом, который достаточно краток, точен и понятен. Но существует некоторое противоречие между этими целями, и в результате этот отрывок может показаться вам сложным. Я советую вам подходить к нему так, как вы, может быть, подходите к незнакомому произведению искусства – как к возможности, а не как к бремени. Вы можете вначале прочитать его бегло и рассмотреть картинки, чтобы получить общее представление. Затем вы сможете решить, хочется ли вам читать его более внимательно. И я надеюсь, что вы это сделаете, – в конце концов, уравнения Максвелла являются великим произведением искусства. Вы можете сделать это на досуге, поскольку в нашей дальнейшей медитации не будет отсылок к этим деталям. Также вы можете справиться в «Терминах», где то же самое рассматривается с немного иных точек зрения. В комментариях я также указал несколько великолепных бесплатных веб-сайтов, где вы можете интерактивно изучать уравнения Максвелла.

Вначале я приведу неформальную версию, затем – более точную, в описаниях и рисунках для каждого из пяти физических законов, приводящих к четырем уравнениям Максвелла. Чтобы следовать за ходом мысли, обратитесь к цветной вклейке N, поскольку мы прочтем ее всю, строчка за строчкой.

Вначале разрешите дать пояснения к обозначениям на рисунках:

обозначает электрическое поле,

– магнитное поле,

и

– скорости изменения этих величин во времени, Q – это электрический заряд, а

– электрический ток. (Маленькие стрелки напоминают о том, что все эти величины векторные – они имеют направление, так же как и величину.)

Теперь перейдем к законам:

• Электрический закон Гаусса выражает равенство между потоком электрического поля, уходящим из некоторого объема, и электрическим зарядом внутри этого объема. Он говорит о том, что электрические заряды – это точки зарождения электрических силовых линий (или точки их завершения). Они находятся там, где электрические силовые линии могут начаться или закончиться.

Определение потока проще всего понять по ассоциации с течением жидкости. Электрическое поле, как мы уже обсудили, это величина, которая в каждой точке имеет численное значение и направление. Поле скоростей в текущей жидкости имеет такой же характер. Если у нас есть некий объем и поле скоростей, мы можем рассчитать, насколько быстро жидкость покидает этот объем. Это, по определению, и есть поток жидкости, покидающей данный объем. Если мы произведем над электрическим полем те же самые математические операции, которые мы только что провели над полем скорости жидкости, чтобы высчитать его поток, мы получим (по определению) поток электрического поля.

• Магнитный закон Гаусса гласит, что поток магнитного поля, исходящего из любого объема, равен нулю. Магнитный закон Гаусса, конечно, очень похож на электрический закон Гаусса, но с дополнительным упрощением – ведь магнитного заряда не может быть! Он говорит, что у магнитных полей нет источников – магнитные силовые линии никогда не могут завершиться, но должны вместо этого продолжаться вечно или замыкаться сами на себя.

• Закон Фарадея особенно интересен, потому что он включает время. Закон устанавливает соотношение между электрическими полями и темпом изменения магнитных полей. Закон гласит, что, когда магнитные поля изменяются во времени, они порождают электрические поля, закручивающиеся вокруг магнитных.

Чтобы точно сформулировать закон Фарадея, рассмотрим кривую, которая образует границу поверхности. Закон Фарадея утверждает равенство циркуляции электрического поля по этому контуру (с отрицательным знаком) скорости изменения магнитного потока через поверхность. Циркуляцию, как и поток, проще всего понять через ассоциацию с полем скоростей в течении жидкости. Мысленно расширим нашу кривую, превратив ее в узкую трубку, и рассчитаем количество жидкости, проходящей по этой трубке в единицу времени. Это и будет циркуляция потока жидкости. Если мы проведем над электрическим полем те же математические операции, которые мы провели над полем скоростей жидкости, то получим (по определению) циркуляцию электрического поля.

Наконец, чтобы быть совершенно точными, мы должны разрешить неоднозначность с направлением: определяя циркуляцию, в каком направлении мы должны двигаться вокруг кривой? Определяя поток, в каком направлении мы должны двигаться сквозь поверхность? Чтобы получить определенное соотношение, мы должны установить соответствие между существующими вариантами выбора. Стандартным способом является так называемое правило правой руки: если мы двигаемся по кривой в направлении, указанном четырьмя пальцами правой руки, тогда мы должны считать поток направленным в сторону большого пальца.

• Закон Ампера устанавливает соотношение между магнитными полями и электрическими токами. Он гласит, что электрические токи порождают магнитные поля, закручивающиеся вокруг них.

Чтобы точно сформулировать закон Ампера, рассмотрим кривую, образующую границу поверхности. Закон Ампера утверждает равенство между циркуляцией магнитного поля вдоль кривой и потоком электрического тока сквозь поверхность.

Стоит отметить, что одни и те же понятия потока и циркуляции повторяются в этих законах несколько раз. Поток и циркуляция – это самые основные способы для мысленного восприятия полей. Они заключают в себе соответственно силовые линии, устремляющиеся прочь по прямой и завивающиеся в петли. Их выдающееся положение в физических законах – это дар Материи Уму.

Но когда Максвелл собрал все эти четыре закона вместе, он нашел… противоречие! (Но пятый закон Максвелла исправляет его.) Чтобы увидеть это, обратимся к цветной вклейке О.

Проблема возникает в том случае, если вы пытаетесь применить закон Ампера в ситуации, когда электрический ток прерывается. На иллюстрации на вклейке О показан электрический ток, втекающий в и вытекающий из пары пластин, разделенных промежутком. (Специалисты могут узнать модель конденсатора.) Согласно Амперу, магнитная циркуляция вдоль контура равна потоку тока, проходящему сквозь любую поверхность, которую он ограничивает. Но здесь мы получим различные значения для потока в зависимости от того, какую поверхность возьмем! Если мы берем диск внутри промежутка между пластинами (на иллюстрации он обозначен синим), мы получаем нуль. Если мы возьмем полусферу, которая пересекает провод (на иллюстрации показана желтым), мы получим полный поток.

Ой-й!

Чтобы справиться с этим противоречием, нам нужно что-то новое. Благодаря более ранней работе со своей моделью у Максвелла был готов

• Закон Максвелла , нечто вроде обратного утверждения к закону Фарадея с заменой ролей электрического и магнитного полей. Он гласит, что, когда электрические поля меняются со временем, они порождают магнитные поля, закручивающиеся вокруг них.

Диск, поставленный в промежуток между пластинами, не перехватывает поток тока, но он перекрывает изменяющееся электрическое поле. Желтая полусфера дает магнитную циркуляцию в соответствии с законом Ампера, тогда как голубой диск дает магнитную циркуляцию в соответствии с законом Максвелла, но оба они приводят к одному и тому же результату! Тем самым противоречие уходит. После добавления закона Максвелла полная система уравнений Максвелла становится согласованной.

В этом качестве – как приводящий в порядок версию «Динамической теории электродинамического поля» – закон Максвелла приобрел новый статус. Он потерял свои связи с механическими моделями, вихревыми атомами и смазкой из перекатывающихся сфер. Теперь мы видим, что он был логически необходим для согласования всех остальных законов, которые были выведены из экспериментов.

Вознесение Максвелла

Максвелл был верующим христианином и воспринимал свою веру очень серьезно. Размышляя о своей работе, провозглашающей мировые флюиды электричества и магнетизма, он был полностью вознагражден:

Огромные межпланетные и межзвездные пространства больше не будут рассматриваться как пустыни во вселенной, которые Создатель не посчитал подходящими, чтобы наполнить символами многообразного порядка Своего царствия. Теперь мы видим, что они полны чудесной средой; так полны, что никакая человеческая сила не может удалить ее из малейшей частички пространства или создать малейший изъян в этой бесконечной непрерывности.

«Умнее нас»

Джеймс Клерк Максвелл умер в 1879 г. в возрасте 48 лет. В то время его теория электромагнитных полей рассматривалась как интересная, но неубедительная. Продолжалась серьезная работа над конкурирующими теориями дальнодействия. Самое важное предсказание теории Максвелла о том, что электрические и магнитные поля могут давать жизнь друг другу и распространяться как самообновляющиеся волны, не было подтверждено.

Это сделал Генрих Герц, который первым разработал и в 1886 г. начал проводить эксперименты, способные подтвердить идею Максвелла. Задним числом мы должны признать, что именно Герц создал первое поколение радиопередатчиков и приемников.

Казавшаяся магической возможность вести связь на огромных расстояниях через пустое пространство с помощью радио появилась из представления о том, что это пустое пространство вовсе не является пустотой. Оно наполнено флюидами и беременно нерожденными возможностями.

Генрих Герц умер в 1894 г. в возрасте 36 лет. Но до своей смерти он написал эту прекрасную оду уравнениям Максвелла, которое нацелено прямо в суть нашего Вопроса:

Нельзя изучать эту удивительную теорию, не испытывая по временам такого чувства, будто математические формулы живут собственной жизнью, обладают собственным разумом, – кажется, что эти формулы умнее нас, умнее даже самого автора, как будто они дают нам больше, чем в свое время в них было заложено.

Мы рассмотрели уравнения Максвелла и восхитились их мудростью. В этом отрывке Герц говорит об уравнениях такие вещи, которые часто говорят о великих произведениях искусства – о том, что их значение простирается гораздо дальше, чем замышлял их творец.

Что же это за «дальше», о котором говорит Герц?

Это, по крайней мере, три вещи:

• сила;

• созидательная красота;

• зарождение новой идеи – симметрии уравнений.

Сила

Исходя из своих уравнений, Максвелл предположил, что свет – это электромагнитная волна. Но видимый свет – всего лишь вершина огромного айсберга, невидимого для нас и почти неизвестного во времена Максвелла. Можно получить электромагнитные волны любой заданной длины[43], и спектр видимого света Ньютона – всего лишь крохотная песчинка в этой бесконечности, как мы можем видеть на цветной вклейке P. Решение уравнений Максвелла описывает гораздо больше, чем один лишь видимый свет. Существуют решения, где колебания между электрическими и магнитными полями проходят на различных расстояниях (длинах волн). Видимый спектр соответствует узкому диапазону внутри бесконечного континуума чисто электромагнитных волн.

Я уже упоминал новаторскую работу Герца, которая предоставила в наше распоряжение радиоволны и стала основой для радиотехники. Радиоволны – это «свет» с гораздо большей длиной волны и более низкой частотой по сравнению с видимым светом. Другими словами, в радиоволнах колебания между электрическими и магнитными полями происходят в пространстве более плавно и протекают более медленно во времени. Переходя от радиоволн к волнам с более короткой длиной, мы получим микроволновое излучение, инфракрасные лучи, видимый свет, ультрафиолет, рентгеновские лучи и гамма-излучение. Каждая из этих многочисленных форм «света» берет свое начало в чисто теоретической конструкции – другими словами, мечта породила фонтан современных технологий. Они все – в уравнениях Максвелла. Разве это не сила?

Созидательная красота

Решая уравнения Максвелла, часто находишь, что они открывают прекрасные и удивительные структуры.

На вклейке Q, например, показана тень, которую отбрасывает лезвие бритвы или какой-то другой предмет с острым прямым краем, если осветить его «очищенным» светом. Если увеличить изображение тени, получившейся благодаря очищенному свету, мы обнаружим богатый и красивый узор.

Геометрические соображения, основанные на грубой идее о том, что свет распространяется лишь вдоль прямых линий, говорят нам, что тень – это четкое деление между светом и темнотой. Но когда мы рассчитываем волновые возмущения электрического и магнитного полей, у нас получается гораздо более замысловатая структура. Свет проникает в области темноты (в зону геометрической тени), а темнота появляется и там, где должен быть свет. Вид этой структуры можно точно рассчитать при помощи уравнений Максвелла. И теперь, когда у нас есть яркие монохроматические лазеры, можно напрямую сравнивать эти предсказания с реальностью. Теперь, глядя на эту фотографию, нам остается только воскликнуть: «Разве это не прекрасно?!»

Симметрия уравнений

Изучение уравнений Максвелла открыло нам совершенно новую идею, которая ранее не играла большой роли в науке. Это идея о том, что уравнения, как и предметы, могут быть симметричными и что уравнения, которые Природа любит использовать в своих фундаментальных законах, чрезвычайно симметричны. Сам Максвелл и не догадывался об этой идее; великолепный пример того, как из физической теории можно получить гораздо больше, чем было заложено автором!

Что означает, когда говорят, что уравнения симметричны? Хотя слово «симметрия» имеет различные, часто расплывчатые значения в повседневной жизни, в математике и физике оно определяется достаточно точно. Здесь симметрия означает Изменение без изменения. Это определение может звучать таинственно или даже парадоксально, но означает нечто совершенно конкретное.

Давайте вначале посмотрим, как это странное определение симметрии прилагается к предметам. Мы говорим, что предмет симметричен, если мы можем произвести над ним действие, которое могло бы изменить его – но в действительности не изменяет. Так, например, окружность очень симметрична, потому что вы можете повернуть ее вокруг центра и, хотя каждая ее точка сдвинется, в целом она останется той же самой окружностью, тогда как, если вы возьмете какую-то менее правильную форму и станете поворачивать ее, вы будете получать нечто совершенно иное. Правильный шестиугольник менее симметричен, потому что вы должны повернуть его на 60° (1/6 часть окружности), чтобы получить ту же самую форму, а в равностороннем треугольнике симметрии еще меньше, потому что вы должны повернуть его на 120° (1/3 часть окружности). Произвольная неправильная фигура не имеет симметрии вообще.

Можно пойти и в противоположном направлении. Мы можем начать с симметрии и прийти к объектам. Например, мы можем искать кривые, которые не меняются при вращении вокруг какой-либо точки, а затем открыть, что окружности являются уникальным воплощением такой симметрии.

Та же самая идея может быть приложена к уравнениям. Вот простое уравнение:

X = Y

…которое, как вы видите, идеально уравновешено между Х и Y. Появляется искушение сказать, что оно симметрично. И, в самом деле, так и есть, согласно математическому определению. Ведь если вы замените Х на Y, а Y на Х, вы получите другое уравнение, а именно

Y = X

Это новое уравнение отличается по форме, но имеет точно то же самое содержание, что и старое. Мы получаем Изменение без изменения, т. е. симметрию.

А вот если мы поменяем местами Х и Y, уравнение Х = Y + 2 изменится на Y = X + 2, что вовсе не означает то же самое. Таким образом, это уравнение несимметрично.

Симметрия – это свойство, которым одни уравнения и системы уравнений обладают, а другие – нет.

Уравнения Максвелла, как выясняется, обладают огромным количеством симметрии. Существует множество преобразований, которые вы можете провести с уравнениями Максвелла, и они изменят их форму, но не содержание в целом. Интересные симметрии уравнений Максвелла значительно более сложны, чем тот несерьезный пример, который мы только что рассмотрели, но принцип – тот же самый.

Как в случае с предметами, так и с уравнениями мы можем пойти противоположным путем. Вместо того, чтобы составлять уравнения и затем искать, какую симметрию они позволяют отразить, т. е. идти по пути

уравнения → симметрия,

…мы можем начать с симметрии и искать уравнения, которые позволяют ее выразить:

симметрия → уравнения

Замечательно, что этот путь возвращает нас к уравнениям Максвелла! Другими словами, уравнения Максвелла – это, по существу, единственные уравнения, которые имеют симметрию, которую сами же создают. Они подобны окружностям, которые определяются своей собственной высокой симметрией вращения. Таким образом, уравнения Максвелла воплощают идеальное соответствие:

уравнения ↔ симметрия

Не будет большой натяжкой увидеть в этом соотношении пример нашего желаемого соответствия:

Реальное ↔ Идеальное

В современной физике мы выучили этот урок досконально. Мы научились переходить от симметрии к истине. Вместо того, чтобы, используя эксперименты, создавать уравнения и потом находить (к нашему восторгу и изумлению), что в этих уравнениях много симметрии, мы предлагаем уравнения, в которых заложена изначальная обширная симметрия, а затем проверяем, использует ли их Природа. Это оказалось удивительно успешной стратегией.

Темы связи, симметрии и света, затронутые в этой главе, сходятся вместе в искусстве мандалы[44]. Мандалы – это символическое представление Вселенной. Они используются как инструменты для медитации и транса. Обычно мандалы отображают высокую степень симметрии между связанными замысловатыми частями. Часто они являются цветными. Я думаю, что мандала, изображенная на вклейке R, – подходящее заключение к этой главе.