Основные постулаты теории Марковица

Модель Марковица (1951г) – математическая формализация задачи нахождения оптимальной структуры портфеля ценных бумаг.

Основные постулаты теории:

1) Рынок состоит из конечно числа активов, доходности которых для заданного периода считаются случайными величинами;

2) Инвестор в состоянии исходя из статистических данных получить оценку ожидаемых (средних) значений доходностей и их попарных ковариаций и степеней возможности диверсификации риска;

3) Инвестор может формировать любые допустимые (для данной модели) портфели;

4) Сравнение портфелей основывается на 2х критериях – доходности и риске;

5) Инвестор не склонен к риску.

Показатели оценки дохода и риска в модели Марковица.

В качестве ожидаемого дохода из ряда возможных доходов на практике используют наиболее вероятное значение, которое в случае нормально распределения совпадает с математическим ожиданием.

Математическое ожидание дохода по i-й ценной бумаге (m_i) рассчитывается следующим образом:

,

где R_i – возможный доход по i-й ценной бумаге, руб.;

P_ij - вероятность получения дохода;

n – количество ценных бумаг.

Для измерения риска служат показатели рассеивания, поэтому, чем больше разброс величин возможных доходов, тем больше опасность, что ожидаемый доход не будет получен. Мерой рассеивания является среднеквадратическое отклонение:

,

В отличие от вероятностной модели, параметрическая модель допускает эффективную статистическую оценку. Параметры этой модели можно оценить исходя из имеющихся статистических данных за прошлые периоды. Эти статистические данные представляют собой ряды доходностей за последовательные периоды в прошлом.

Любой портфель ценных бумаг характеризуется двумя величинами: ожидаемой доходностью

,

где X_i - доля общего вложения, приходящаяся на i-ю ценную бумагу;

m_i- ожидаемая доходность i-й ценной бумаги, %;

т_р — ожидаемая доходность портфеля, %.

и мерой риска - среднеквадратическим отклонением доходности от ожидаемого значения

,

где σ_р - мера риска портфеля;

σ_ij - ковариация между доходностями i-й и j-й ценных бумаг;

X_i и X_j - доли общего вложения, приходящиеся на i-ю и j-ю ценные бумаги;

п - число ценных бумаг портфеля.

Ковариация доходностей ценных бумаг (σ_ij) равна корреляции между ними, умноженной на произведение их стандартных отклонений:

,

где p_ij - коэффициент корреляции доходностей i-ой и j-ой ценными бумагами;

σ_j иσ_i - стандартные отклонения доходностей i-ой и j-ой ценных бумаг.

Для i =j ковариация равна дисперсии акции.

Модель Шарпа

Шарп провел регрессионный анализ рынка акций США. Для снижения высокой трудоемкости ранее применяемых моделей, Шарп предложил индексную модель. Он ввел β-фактор, который играет особую роль в теории портфеля:

βi= σiM/σ²М,

где βi-β-фактор i-той ценной бумаги;

σiM-ковариация между темпами роста курса ценной бумаги и темпами роста рынка;

σ²М-дисперсия доходности рынка.

Показатель «бета» характеризует степень риска бумаги и показывает, во сколько раз изменение цены бумаги превышает изменение рынка в целом. Если β-фактор>1, то данную бумагу можно отнести к инструментам с повышенной степенью риска, т.к ее цена движется в среднем быстрее рынка. Если β-фактор<1, то степень риска этой относительно низкая, поскольку в течение периода глубины расчета ее цена изменялась медленнее, чем рынок. Если β-фактор<0, то в среднем движение этой бумаги было противоположно движению рынка в течение периода глубины расчета.

Предполагается, что необходимые входные данные можно приблизительно определить при помощи всего лишь1 базисного фактора и отношений, связывающих его с изменением курсов отдельных акций. Как правило, за такой фактор берется значение какого-либо индекса. Зависимость доходности ценной бумаги от индекса описывается следующей формулой:

ri=αiI+βiI+εiI, где

ri-доходность ценной бумаги i за данный период;

rI-доходность на рыночный индекс I за этот же период;

αiI-коэф-т смещения;

βiI-коэф-т наклона;

εiI-случайная погрешность.

Оптимальный портфель

Оптимальный портфель - эффективный портфель, которому инвестор отдает предпочтение, поскольку параметры риска/воз­награждения этого портфеля приближены к функции полезности инвестора.

Цель оптимального портфеля - обеспечить оптимальное соче­тание выгодности, надежности и ликвидности ценных бумаг, фи­нансовых вложений для инвестора.

Нынешнее состояние финансового рынка заставляет быстро и адекватно реагировать на его изменения, поэтому роль управления инвестиционным портфелем резко возрастает и заключается в нахождении той грани между ликвидностью, доходностью и рискованностью, которая позволила бы выбрать оптимальную структуру портфеля. Этой цели служат различные модели выбора оптимального портфеля (модель Шарпа, Марковица)