Вероятность распределения

Рисковые активы характеризуются вероятностными значениями получения результата. Вероятность события можно определить как шанс того, что это событие произойдет. Если установлены все возможные исходы и выявлена вероятность каждого события, то мы получаем вероятность распределения изучаемого явления.

Вероятность распределения может быть представлено в виде таблицы или графически. Например, если рассматривается владение недвижимостью (квартирой) и известны возможные цены продажи через год при различной ситуации на рынке недвижимости (введение налога на недвижимость, ввод в эксплуатацию нового жилья и другие факторы могут повлиять на спрос), то вероятность распределения может быть представлено в виде табл.

Таблица

Вероятность получения дохода при инвестировании в недвижимость

Инвестируемые средства	Цена продажи	Вероятность (Р), %	Отдача (доход)	Доходность
				14,3 8,6

Ожидаемое значение результата определяется как сумма произведений возможных значений результата на соответствующие значения вероятности. Так ожидаемая доходность при инвестировании в недвижимость есть средневзвешенная величина возможных значений доходности:

R = 20 х 0,25 + 14,3 х 0,5 + 8,6 х 0,25 = 14,3%.

Можно определить вероятность получения дохода и от финансовых инвестиций. Если инвестор приобретает акции, то он рассчитывает получить прибыль, которая будет складываться из дивидендов и прироста курсовой стоимости акций. Риск в этом случае связан с невыплатой ожидаемых дивидендов или с низкими темпами роста или даже снижением курсовой стоимости акций.

Предположим, что у инвестора имеется возможность приобрести акции компаний «Дельта» и «Омега». Чтобы сделать правильный выбор, инвестору следует определить возможную норму прибыли на свои вложения а также требуемую величину риска. Компания «Дельта» оказывает услуги в области информации и компьютерных технологии. Ее прибыль растет и падает в соответствии с бизнес-циклом. Кроме того, фирма работает в обстановке острой конкуренции с другими фирмами, и если конкуренты опередят фирму, то она может оказаться на грани банкротства. В то же время компания «Омега» — это телефонная компания, которая занимает монопольное положение в регионе и ее прибыль является относительно стабильной и предсказуемой.

Допустим, что на следующий год возможны три состояния экономики — подъем, нормальное состояние и спад. Предположим, что нам удалось определить вероятность наступления каждого состояния и определить возможную норму прибыли на акции (дивиденды плюс прирост или потеря курсовой стоимости акции). Результаты прогноза представлены в табл.

Таблица

Вероятность получения нормы прибыли на акции

Состояние экономики	Вероятность	Норма прибыли на акцию
Дельта	Омега
Подъем Нормальное Спад	0,2 0,6 0,2	40% 15% -10%	20% 15% 10%

Мы установили, что имеется 20% вероятности подъема экономики, когда обе компании будут иметь высокую прибыль, но имеется и 20% вероятности спада производства, что приведет к снижению прибыли в обеих фирмах, но это состояние обернется для акционеров «Дельты» не просто снижением нормы прибыли, а прямыми потерями. Кроме того, имеется и 60% вероятности нормального развития экономики и умеренной нормы прибыли на инвестиции.

Каждое из названных состояний экономики возможно и, соответственно, возможен каждый из представленных вариантов получения дохода. Однако они имеют неодинаковую вероятность осуществления. Поэтому ожидаемая норма прибыли — это взвешенная средняя возможных результатов, где «весами» служит величина вероятности осуществления каждого результата. Она вычисляется следующим образом:

R_ож = R₁*P₁+ R₂*P₂+…+ R_n*P_n.

где R_i— i-й возможный результат нормы прибыли; P_i — вероятность i-гo результата, I = 1, 2 ..., п; R_ож— взвешенная средняя, ожидаемая норма прибыли.

Колебание нормы прибыли для «Дельты» составляет от +40% до -10% с ожидаемой нормой прибыли 15%. Для «Омеги» ожидаемая норма прибыли также составляет 15%, но разброс колебаний значительно меньше – от +20% до +10%. Ясно, что инвестор предпочтет вкладывать деньги во вторую компанию, так как разброс значений возможной прибыли здесь значительно ниже, а значит и ниже риск.

Мера риска

Для сравнения активов (реальных и финансовых) и принятия инвестиционных решений необходима количественная оценка риска, позволяющая ранжировать активы. В практике финансового менеджмента нашли применение несколько показателей для оценки риска:

1) дисперсия, как мера разброса возможных значений доходности;

2) стандартное отклонение, как мера разброса, выраженная в тех же единицах, что и результат (например, доходность);

3) коэффициент вариации для ранжирования активов с различными значениями ожидаемой доходности.

Мерой разброса возможных результатов доходности вокруг ожидаемого значения является дисперсия (или вариация). Чем больше дисперсия, тем сильнее разброс значений доходности. Дисперсия дискретного распределения рассчитывается по формуле

σ²=[(R_i - R_c)²*P_i].

п — число возможных отклонений от ожидаемого значения, R_i -i–е значение доходности, P_i вероятность получения доходности,R_c –ожидаемое значение доходности.

Если все значения R_iравновероятны, то последнее выражение может быть представлено в следующем виде

σ²= [(R_i - R_c)².]/n.

Известно, что в данном случае выборочная дисперсия представляет смещенную оценку теоретической дисперсии. Несмещенная оценка дисперсии определяется формулой

σ²= [(R_i - R_c)².]/(n-1).

Дисперсия измеряется в тех же единицах, что и результат (в процентах, если в качестве результата рассматривается доходность, и в денежных единицах, если в качестве результата рассматриваются денежные потоки — выручка, издержки, прибыль и т.д.), но возведенных в квадрат.

Для определения ожидаемого значения доходности(R_c)используется следующее выражение

R_c = R_i * P_i.,

или же

R_c = (R_i )/n

Таким образом, ожидаемое значение доходности находится как взвешенная средняя возможных результатов, где «весами» служит величина вероятности осуществления каждого результата. Для облегчения сравнения и анализа риска различных активов чаще используется квадратный корень из дисперсии – среднеквадратичное отклонение:

σ= √[(R_i-R_c)²*P_i].

Стандартное отклонение более удобно, чем дисперсия, так как измеряется в тех же единицах, что и результат, т.е в процентах, денежных единицах и т.д.

Еще один показатель риска – это коэффициент вариации, который определяется из следующего соотношения

V = σ/R_c.

Экономический смысл данного показателя состоит в том, что он определяет количество риска на единицу доходности.

Пример. Рассмотрим две ценные бумаги Х и У. Их среднемесячная доходность представлена в таблице.

	Доходность
Х	5,5	8,1	6,2	3,4	8,5	6,0	7,0	5,0	8,0	9,0	9,5	7,5
У

Средняя доходность активов Х и У будет равна:

R_cx = (5,5+8,1+6,2+3,4+8,5+6,0+7,0+5,0+8,0+9,0+9,5+7,5)/12 = 7,0

R_c_у= (10+30+20+40+25+10+5+30+10+15+50+20)/12 = 22,1

Для расчета дисперсии доходности ценой бумаги Х используем следующее выражение

σ² = [(R_i - R_c)².]/n.

σ² = [(5,5-7)²+(8,1-7)²+(6,2-7)²+(3,4-7)²+(8,5-7)²+(6,0-7)²+(7,0-7)²+(5,0-7)²+(8,0-7)²+(9,0-0)²+(9,5-7)²+(7,5-7)²]/12 = 2,98

Среднеквадратичное отклонение доходности ценных бумаг и коэффициент вариации равны:

= 1,73, V= 1,73/7 = 0,25.

Аналогичные расчеты можно произвести для ценной бумаги Y:

σ²= 168,58, σу= 12,98, V= 12,98/22,1 = 0,59.

Таким образом, мы видим, что инвестирование в ценные бумаги У связано с существенно более высоким риском. Так если стандартное отклонение доходности бумаг Х составляет всег7о 1,73%, то У – 12,98%. На единицу доходности у бумаг У приходится примерно вдвое больший риск, чем у бумаг Х.

Рассмотрим еще один пример. Имеется два проекта А и В. Проект А связан с инвестициями в приобретение оборудования для производства продукции на достаточно стабильном рынке. Проект В предполагает инвестиции в производство высококачественного и дорогостоящего продукта, спрос на который имеет высокую чувствительность к экономической ситуации.

Ожидаемая доходность обоих проектов равна нулю в случае рецессии, а в случае высоких темпов роста экономики доходность проекта А составляет – 10%, а проекта В – 15%. Значения ожидаемой доходности для различных состояний экономики представлены в таблице.

Взвешенное значение доходности получается путем умножения прогнозируемой для каждого состояния экономики доходности на вероятность данного состояния. Сумма этих взвешенных значений дает ожидаемую доходность, которая для проекта А составляет 6%, а для проекта В – 7%.

Таблица

Вероятность получения дохода

Состояние экономики	Годовая доходность	Вероятность Состояния %	Взвешенная доходность
А	В	А	В
Рецессия Слабый рост Умеренный рост Высокие темпы роста				1,8 3,2 1,0 6,0	1,5 4,0 1,5 7,0

Для проекта А разность между максимальным и минимальным доходом составляет 10%, а для проекта В – 15%. Расчет дисперсии и стандартного отклонения для проектов А и В представлен в таблицах.

Таблица

Стандартное отклонение для проекта А

Состояние экономики	Прогнозируемая доходность	Вероятность состояния %	Взвешенная доходность	Отклонение доходности	Квадрат отклонения доходности	Взвешенный квадрат отклонения
Рецессия Слабый рост Умеренный рост Высокие темпы роста			1,8 3,2 1,0	-6,0 +2,0 +4,0	0,0036 0,0004 0,0016	0,00072 0,0 0,00016 0,00016
	Ожидаемое значение	= 6%		Дисперсия	0,00104
		Стандартное отклонение= √0,00104 = 0,03225

Таблица

Стандартное отклонение для проекта В

Состояние экономики	Прогнозируемая доходность	Вероятность Состояния %	Взвешенная доходность	Отклонение доходности	Квадрат отклонения доходности	Взвешенный квадрат отклонения
Рецессия Слабый рост Умеренный рост Высокие темпы роста			1,5 4,0 1,5	-7,0 -2,0 + 3,0 +8,0	0,0049 0,0004 0,0009 0,0064	0,00098 0,00012 0,00036 0,00064
	Ожидаемое значение	= 7%		Дисперсия	0,00210
		Стандартное отклонение= √0,00210 = 0,04583

Расчеты показывают, что стандартное отклонение доходности для проекта А составляет 0,03225 (3,2 %), а для проекта В – 0,04583 (4,6%). Таким образом, реализация проекта В связано с большим риском.

Стандартное отклонение дает нам возможность оценить, насколько выше или ниже ожидаемой величины может быть действительная величина нормы прибыли. Для «А» это составляет 3,2%, для «В» — 4,6%. Это означает, что акции «В» являются более рисковыми, чем акции «А».

Если вероятность распределения является нормальной, то имеется 68 % вероятности того, что действительная отдача будет находиться в пределах ± одного стандартного отклонения, 95% - в пределах ± 2 и 99% - ± 3 стандартных отклонений. Таким образом, для акций «А» действительная норма прибыли будет колебаться в пределах от 2,8% (6% - 3,2%), до 9,2 (6% + 3,2%), а для акций «В» диапазон колебаний нормы прибыли будет находиться от +2,4% до +11,6%. (примерно с вероятностью 68%)