Учет фактора времени в финансовых операциях

Взаимосвязь между величинами простой учетной ставки, дисконта, временем финансовой операции

Простые и сложные учетные ставки

При многократном начислении простых процентов начисление делается по отношению к исходной сумме ипредставляет собой каждый раз одну и ту же величину. Иначе говоря,

, (1)

Где

- P — исходная сумма

- S — наращенная сумма (исходная сумма вместе с начисленными процентами)

- i — процентная ставка, выраженная в долях

- n — число периодов начисления

В этом случае говорят о простой процентной ставке.

При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается по отношению к суммес уже начисленными ранее процентами. Иначе говоря,

S = (1 + i)ⁿP (2)

(при тех же обозначениях).

В этом случае говорят о сложной процентной ставке.

Ставка дисконта

С математической точки зрения ставка дисконта – это процентная ставка, которая используется для пересчета будущих потоков доходов в единичную величину текущей стоимости, являющуюся базой для определения рыночной стоимости бизнеса.

В экономическом смысле ставка дисконта – это требуемая инвесторами ставка дохода на вложенный капитал в сопоставимые по уровню риска объекты инвестирования.

Расчет ставки дисконта (стоимости привлечения капитала ) рассчитывается с учетом трех факторов:

1. Наличие у многих предприятий различных источников привлекаемого капитала, которые требуют разных уровней компенсации.

2. Необходимостью учета для инвесторов стоимости денег во времени.

3. Факторов риска (степень вероятности получения ожидаемых в будущем доходов)

Существуют различные методики определения ставки дисконта денежного потока.

Для денежного потока для собственного капитала:

• модель оценки капитальных активов;
• модель кумулятивного построения;

Для денежного потока для всего инвестируемого капитала:

• модель средневзвешенной стоимости капитала.

Расчет ставки дисконта зависит от того, какой тип денежного потока используется для оценки в качестве базы:

- Тип потока для собственного капитала. Применяется ставка дисконта, равная требуемой собственником ставке отдачи на вложенный капитал.

- Тип потока для всего инвестированного капитала. Применяется ставка дисконта, равная сумме взвешенных ставок отдачи на собственный капитал и заемные средства (ставка отдачи на заемные средства является процентной ставкой банка по кредитам), где в качестве весов выступают доли заемных и собственных средств в структуре капитала. Такая ставка дисконта называется средневзвешенной стоимостью капитала.

В то же время, отдавая должное теоретическим основам дисконтирования, ниже мы приводим основные положения выбора ставки дисконтирования.

(3)

Учет фактора времени в финансовых операциях

Решения инвестиционно-финансового характера, во-первых, не являются одномоментными в плане их реализации и ожидаемых или возможных последствий, и, во-вторых, здесь значительную роль играет оценка возможных затрат в сопоставлении с ожидаемыми доходами или поступлениями. Иными словами, время и деньги (привлекаемые или затрачиваемые в абсолютном и относительном выражении) выступают важнейшими параметрами, принимаемыми в этом случае во внимание. Учет фактора времени при принятии подобных решений просто необходим, а соответствующие алгоритмы расчета рассматриваются в курсе финансовых вычислений, имеющих давние традиции в том числе и в отечественной учетно-аналитической практике (краткий экскурс в историю становления финансовых вычислений можно найти в работе [Ковалев, Уланов]).

Финансовые вычисления базируются на понятии временной стоимости денег; именно с их помощью удается принимать управленческие решения, эффективные во временном аспекте. Наиболее интенсивно они применяются для оценки инвестиционных проектов, в операциях на рынке ценных бумаг, в ссудо-заем- ных операциях, в оценке бизнеса и др.

Ключевыми моментами методов оценки эффективности финансовых операций, определяющими их логику, являются следующие утверждения:

• практически любую финансово-хозяйственную операцию можно выразить в терминах финансов;

• в подавляющем большинстве случаев собственно операции или их последствия "растянуты" во времени;

• с каждой операцией можно увязать некоторый денежный поток;

• денежные средства должны эффективно оборачиваться, т.е. с течением времени приносить определенный доход;

• элементы денежного потока, относящиеся к разным моментам времени, без определенных преобразований не сопоставимы;

• преобразования элементов денежного потока осуществляются путем применения операций наращения и дисконтирования;

• наращение и дисконтирование могут выполняться по различным схемам и с различными параметрами.

Практическая часть

Задача 1.

Рассчитать недостающие параметры кредитной операции, используя «английскую», «французскую», «германскую» практики начисления простых процентов и данные табл. 2. Построить график кредитной операции.

Таблица 2 - Параметры кредитной операции

Вариант	Первоначальная сумма долга, д. е.	Дата	Срок, дни	Годовая ставка процентов, %	Наращенная сумма, д. е.	Сумма процентных денег, д. е.	Коэффициент наращения
выдачи	погаше-ния
		20.02	15.09					1,05

Решение:

1) Определим срок долга в днях:

Точное число дней ссуды по месяцам: февраль - 20,сентябрь - 15. Тот же результат может быть получен при вычитании порядковых номеров дат окончания (20.02) и начала (15.09) начисления процентов (табл. 10). = 258-51= 207день.

Определим приближенное число дней ссуды.

1.1) Рассчитаем сумму процентных денег:

При «английской» практике р.

При «французской» практике р.

При «германской» практике р.

1.2) При расчете наращенной суммы воспользуемся формулой .

При «английской» практике .р.

д.е.

При «французской» практике р.

д.е.

При «германской» практике р.

д.е.

Вариант	Первоначальная сумма долга, д. е.	Дата	Срок, дни	Годовая ставка процентов, %	Наращенная сумма, д. е.	Сумма процентных денег, д. е.	Коэффициент наращения
выдачи	погаше-ния
англ.	405,71	20.фев	15.сен		8,82		20,29	1,05
франц.	405,71	20.фев	15.сен		8,70		20,29	1,05
нем.	405,71	20.фев	15.сен		8,78		20,29	1,05

2) Построим график наращения по простой процентной ставке с использованием «английской» практики

Задача 2.

По данным рассчитать сумму, полученную клиентом при закрытии депозитного счета, сумму процентных денег и среднюю процентную ставку при условии:

А) использования «английской» практики начисления простых процентов, если проценты начисляются только на первоначальную сумму вклада;

Б) использования «английской» практики начисления простых процентов, если с изменением ставки происходит одновременно капитализация процентного дохода;

В) ежемесячного начисления сложных процентов.

Вариант	Первоначальная сумма вклада, р.	Годовая процентная ставка, %	Дата открытия счета	Изменение процентной ставки	Дата закрытия счета
Дата	Годовая процентная ставка, %	Дата	Годовая процентная ставка, %
	4 000	5,5	01.04	01.05		01.06		01.07

Решение:

А) (2.6)

(2.7)

Б) (2.8)

(2.9)

В) (2.10)

Таким образом, сумма процентных денег составила:

А) если проценты начисляются только на первоначальную сумму вклада:

Б) если с изменением ставки происходит одновременно капитализация процентного дохода: .

В) ежемесячного начисления сложных процентов:

Задача 3.

Используя данные, оценить с точки зрения покупательной способности сумму, которую получит вкладчик по окончании депозитного договора; рассчитать сложную ставку процентов, характеризующую реальную доходность операции. Построить график депозитной операции.

Вариант	Первоначальная сумма вклада, д. е.	Номинальная ставка банка, %	Периодичность начисления процентов	Годовой темп инфляции, %	Срок депозитного договора, лет
			Раз в 4 месяца

Решение. Расчет реального значения наращенной суммы и ставки сложных процентов, характеризующей реальную доходность, в условиях инфляции

(3.1)

2.2) Рассчитаем наращенную сумму при условии начисления процентов по постоянной ставке сложных процентов:

(3.2)

д. е.

2.3) Номинальное значение наращенной суммы рассчитаем:

(3.3)

2.4) Рассчитаем сложную ставку процентов, характеризующую реальную доходность:

(3.4)

Таким образом,

1) реальное значение наращенной суммы в условиях инфляции составила: 1,22987;

2) наращенную сумму при условии начисления процентов по постоянной ставке сложных процентов составила: 14960,7 д. е.

3) номинальное значение наращенной суммы составила: 4164,4 д. е., т.е. вкладчик получит прибыль.

4) при расчёте сложной ставки процентов, характеризующую реальную доходность, получили 0,06012 или 6,012 %, т.е. операция прибыльная.

Задача 4.

Используя данные табл., рассчитать сумму, полученную предъявителем векселя, и дисконт при условии применения:

А) простых учетных ставок;

Б) сложных учетных ставок, ежемесячного дисконтирования.

Для условия А определить значение эквивалентной простой ставки процентов, для условия Б - эффективной учетной ставки. Построить графики дисконтирования по простой и сложной учетной ставке.

Вариант	Дата	Номинал, р.	Годовая учетная ставка, %
выдачи	погашения	Учета
	30.06	18.10	18.09	90 000

Решение:

Срок от даты учета (14.04.) до даты погашения векселя (14.06) по «германской» практике равен 0,083 месяца.

А) Рассчитаем простую процентную ставку, эквивалентную заданной учетной ставке (24%)

(14)

Рассчитаем дисконтированную величину векселя при использовании простой учетной ставки по формуле

(15)

руб.

(16)

Б) Рассчитаем эффективную учетную ставку

(17)

Рассчитаем дисконтированную величину векселя при условии применения сложной учетной ставки по формуле

, (18)

где - номинальная учетная ставка

m=12

(19)

Для построения графика степенной функции зададим следующее множество точек.

Таблица 5 - Расчет значений функции

	0,083333	0,166667	0,25	0,333333	0,416667	0,5
			84707,28	83013,13	81352,87	79725,81

Рисунок 2. График функции

Таким образом,

А) дисконтированная величина векселя при использовании простой учетной ставки составила: 88200 д. е.

Б) дисконтированная величина векселя при условии применения сложной учетной ставки составила: 88200 д. е.

Задача 5.

Используя данные табл. 6, рассчитать коэффициент наращения, наращенную сумму, коэффициент приведения, современную величину ренты постнумерандо и пренумерандо.

Таблица 6 - Параметры финансовой ренты

Вариант	Годовой платеж, р.	Периодичность взносов и начисления процентов	Срок ренты, лет	Номинальная ставка процентов, %
	100 000	Ежеквартально		4,0

Решение:

2.1) Определим параметры ренты.

Размер годового платежа = 100000 • 4 = 400000 руб., номинальная ставка = 4 %; срок ренты = 35; количество выплат в году = 4, количество периодов начисления процентов в году = 4.

2.2) Наращенная сумма -срочной ренты постнумерандо.

2.3) Современная стоимость -срочной ренты постнумерандо.

2.4) Наращенная сумма -срочной ренты пренумерандо.

2.5) Современная стоимость -срочной ренты пренумерандо.

Таким образом,

1) Наращенная сумма -срочной ренты постнумерандо составила: 7567748,04руб.

Коэффициент наращения составил: 75,6775

Современная стоимость -срочной ренты постнумерандо составила:

Коэффициент наращения составил: 99,49

2) Наращенная сумма -срочной ренты пренумерандо составила:

Коэффициент наращения составил: 18,7921

Современная стоимость -срочной ренты пренумерандо составила:

Коэффициент наращения составил: 76,4343

Задача 6.

В банке установлены следующие котировки валют: евро / рубль – Х - Y, доллар США / рубль – V - Z. Определить кросс-курс евро к доллару США. Рассчитать, какое количество долларов США можно приобрести на 150 евро, и сколько заработает банк на этой операции.

Таблица 7 - Котировки валют

Вариант	X, р.	Y, р.	V, р.	Z, р.
	33,69	34,12	27,45	29,00

Решение:

1) Определим кросс-курс евро к доллару США

При покупке евро на доллары США необходимо обменять доллары США на рубли по курсу 27,45. Затем полученные рубли надо обменять на евро по курсу 34,12.

1 евро = доллара США.

При продаже евро за доллары США необходимо сначала обменять евро на рубли по курсу 33,69, а затем полученные рубли обменять на доллары США по курсу 29,00.

1 евро = доллара США.

Таким образом, кросс-курс евро к доллару США равен 1,16 – 1,24.

2) Рассчитаем эквивалентную 150 евро сумму в долларах США.

150 • 1,24 = 174,26 доллара США.

3) Определим прибыль банка от обменной операции как прибыль от покупки и продажи 1 евро, умноженную на количество евро:

150 • (1,24-1,16) = 12,19 долларов США.

Таким образом, на 150 евро можно приобрести 174,26 долларов США, прибыль банка от обменной операции составит 12,19 долларов США.

Задача 7.

Используя данные табл. 8, определить общие расходы заемщика по погашению долга и составить план погашения долга, если кредитным договором предусмотрено:

А) погашение основной суммы долга равными суммами;

Б) погашение равными срочными уплатами.

Таблица 8 - Параметры кредитной операции

Вариант	Основной долг, р.	Ставка процентов, начисляемых на сумму долга, %	Срок долга, годы
	40 000

Решение:

А) Рассчитаем план погашения долга при погашении основного долга равными частями.

1) Ежегодный платеж по основному долгу = 40 000 / 4 = 10000 д. е.

2) Рассчитаем расходы по погашению долга по годам, используя формулы:

(25)

(26)

(27)

д. е

д. е.

д. е.

д. е.

д. е.

д. е.

д. е.

д. е.

д. е.

д. е.

д. е.

д. е.

3) Рассчитаем общие расходы заемщика по погашению долга.

16000 + 14500 + 13000 + 11500 = 55000 д. е.

Таблица 9 - План погашения долга, д. е.

Год	Остаток долга на начало года	Годовые взносы
Проценты	Погашение основного долга	Срочная уплата

Б) Рассчитаем план погашения долга, если предусмотрено погашение равными срочными уплатами.

1) Размер срочной уплаты определим по формуле:

(28)

д. е.

2) Определим расходы заемщика по годам, используя формулы

(29)

(30)

(31)

д. е.

д. е.

д. е.

д. е.

д. е.

д. е.

д. е.

д. е.

д. е.

д. е.

д. е.

3) Составим план погашения долга.

Таблица - План погашения долга, д. е.

Год	Остаток долга на начало года	Годовые взносы
Проценты	Погашение основного долга	Срочная уплата
		6000,00	8010,61	14010,61
	31989,39	4798,41	9212,21	14010,61
	22777,18	3416,58	10594,04	14010,61
	12183,14	1827,47	12183,14	14010,61

4) Определим общие расходы по погашению долга.

4 • 14010,61 = 56042,46 д. е.

Таким образом, рассчитав план погашения долга при погашении основного долга равными частями:

1) Ежегодный платеж по основному долгу составил: 6 000 д. е

2) Расходы по погашению долга по годам составили: 55000 д. е.

Рассчитав план погашения долга, если предусмотрено погашение равными срочными уплатами:

1) Размер срочной уплаты составил: 14010,61 д. е.

2) Общие расходы по погашению долга составили: 56042,46 д. е.

Задача 8.

Облигации номиналом А д. е. со сроком погашения В продаются в день выпуска С по цене D д. е., а в день E - по цене G д. е. Временная база 365 дней.

Определить:

А) экономическую целесообразность продажи ценных бумаг на основе расчета доходности облигаций к погашению и доходности при продаже в виде простой процентной ставки;

Б) курс облигации в день выпуска;

В) доход владельца 50 облигаций, купленных в день их выпуска и предъявленных к погашению по окончании срока обращения.

Таблица 9 - Параметры выпуска облигаций

Вариант	А, д. е.	В	С	D, д. е.	E	G, д. е.
		30.07.06	01.04.06		21.04.06

Решение:

А) Доходность облигаций рассчитаем по формуле

(32).

2) Срок между датами покупки и погашения в срок облигации равен

211-91=120 дней.

3) Срок между датами покупки и продажи облигации 111-91=20дней.

4) Доходность к погашению

5) Доходность при продаже

Сравнение доходности к погашению и доходности при продаже (0,84>0,73) позволяет сделать вывод об экономической нецелесообразности продажи облигаций через 30 дней после выпуска.

Б) Рассчитаем курс облигации в день выпуска:

В) Доход владельца 50 облигаций, купленных в день их выпуска и предъявленных к погашению по окончании срока обращения составит: р.

Таким образом, доходность к погашению составила: 0,913;

доходность при продаже составила: 1,004.

Курс облигации в день выпуска:76,92.

Продажи облигаций через 20 дней после выпуска при сравнении доходности к погашению и доходности при продаже ().