Зависимость цены облигации от процентной ставки
Рассмотрим зависимость цены облигации от ставки процента (требуемой нормы прибыли R). Цена облигации складывается из дисконтированных купонных выплат и номинала облигации. Из представленной ниже формулы видно, что обе эти величины убывают при повышении процентной ставки R. Исходя из этого, мы можем сделать вывод о влиянии денежно-кредитной политики государства на рыночные цены облигаций.
P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n.
При повышении учетной ставки ЦБ происходит повышение стоимости денежно-кредитных ресурсов в экономике – растут процентные ставки. Соответственно повышаются требования инвесторов к доходности облигаций. Новые облигации эмитируются с большей величиной доходности, а стоимость ранее эмитированных облигаций понижается для обеспечения повысившихся требований к доходности. При снижении учетной ставки ситуации развивается в противоположном направлении.
Пример 3. Облигация имеет номинал 10000 рублей, купонную ставку 6% и срок погашения 15 лет. Определить размер премии (дисконта), если требуемая норма прибыли составляет 8%.
Найдем цену облигации с использованием следующего выражения
P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,08*[1-1/(1+0,08)15] + 10000/(1+0,08)15 =
5135,7 + 3152,4 = 8288,1.
Таким образом, в данном случае облигация продается с дисконтом размер которого составляет 10000 – 8288,1 = 1711,9 руб.
Рассмотрим далее случай, когда требуемая норма прибыли меньше купонной ставки, R = 4%.
P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,04*[1-1/(1+0,04)15] + 10000/(1+0,04)15 =
6671 + 5553 = 12224.
В данном случае облигация продается с премией, размер которой составляет 2224 руб.
Последний вариант соответствует равенству купонной ставки и нормы прибыли
P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,06*[1-1/(1+0,06)15] + 10000/(1+0,06)15 =
5827 + 4173 = 10000 руб.
Таким образом, мы можем сделать вывод, что при равенстве требуемой нормы прибыли и купонной ставки курсовая цена облигации равна ее номиналу. При превышении нормы прибыли купонной ставки облигация продается с дисконтом, а при понижении относительно купонной ставки – с премией. Цена облигации и требуемая норма прибыли связаны обратной зависимостью. При повышении процентной ставки цена облигации, которая определяется как приведенная стоимость будущих денежных поступлений, падает; при снижении ставок ситуации развивается в противоположном направлении.
Рассмотрим далее влияние фактора времени на стоимость облигации. В предыдущем примере рассмотрим эффект уменьшения срока погашения облигации до 10 лет:
P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,08*[1-1/(1+0,08)10] + 10000/(1+0,08)10 =
4026 + 4632 = 8658 руб.
P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,04*[1-1/(1+0,04)10] + 10000/(1+0,04)10 =
4867 + 6756 = 11623 руб.
P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,06*[1-1/(1+0,06)10] + 10000/(1+0,06)10 =
4416 + 5584 = 1000 руб.
На основе проделанных вычислений мы можем сделать вывод, что при уменьшении срока погашения облигации произошло снижение размера дисконта и премии. При равенстве купонной ставки и нормы прибыли курсовая цена равна номиналу вне зависимости от срока погашения.
Теперь рассмотрим эффект увеличения срока погашения до 20 лет:
P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,08*[1-1/(1+0,08)20] + 10000/(1+0,08)20 =
5891 + 2146 = 8037 руб.
P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,04*[1-1/(1+0,04)20] + 10000/(1+0,04)20 =
8154 + 4564 = 12718 руб.
Как и следовало ожидать, при увеличении срока погашения происходит возрастание как величины дисконта, так и премии.
Зависимость цены облигаций от процентной ставки обуславливает риск инвесторов, связанный с ее колебаниями. В связи с этим актуальной является задача анализа чувствительности цены облигации к изменению требуемой нормы прибыли. Выражение для цены облигации может быть представлено в следующем виде:
P = CF1/(1+R)1+ CF2/(1+R)2+ … + CF n/(1+R)n,
где CF i – доход инвестора от владения облигацией в соответствующий период. Для анализа чувствительности цены к процентной ставке необходимо вычислить производную цены по доходности:
dP/dR = (-1)*CF1/(1+R)2+ (-2)*CF2/(1+R)3+ … + (-n)*CF n/(1+R)n+1,
Разделим далее левую и правую части соотношения на цену облигации (Р):
dP/dR * 1/Р= [(-1)*CF1/(1+R)2+ (-2)*CF2/(1+R)3+ … + (-n)*CF n/(1+R)n+1]/P.
Таким образом, мы получили выражение нормализованной по цене облигации чувствительности цены к изменению нормы прибыли. Представленное ниже выражение определяет показатель «дюрации» облигации (D)
D= [(1)*CF1/(1+R)2+ (2)*CF2/(1+R)3+ … + (n)*CF n/(1+R)n+1]/P.
Дюрация характеризует процентный риск облигации, т.е.е риск, связанный с изменением процентных ставок. При увеличении значения дюрации возрастает чувствительность цены облигации к изменению процентной ставки и соответственно увеличивается риск ценной бумаги.
Пример. Необходимо рассчитать дюрацию облигации, имеющей номинальную цену 1000 руб., купонную ставку 10% и срок погашения 5 лет. Результаты расчетов сведены в таблицу
Таблица
Расчет дюрации облигации
| Номер платежа | Размер платежа CF i | Приведенная величина платежа CF i/(1+R) i | Нормализованная приведенная величина платежа CF i/(1+R) i/Р | Величина i * CF i/(1+R) i/Р |
| 90,91 | 0,09091 | 0,9091 | ||
| 82,64 | 0,08264 | 0,16528 | ||
| 75,13 | 0,07513 | 0,22539 | ||
| 68,3 | 0,06830 | 0,27320 | ||
| 683,02 | 0,68302 | 3,41510 | ||
| Итого | 1,0 | 4,1699 |
Таким образом, величина дюрации для анализируемой облигации составила 4,1699 лет. Дюрацию называют также эффективным сроком жизни облигации. Чем выше этот срок жизни, тем в большей мере облигация реагирует на изменение процентных ставок; иными словами тем она более чувствительна к изменению ставок.
В общем случае чувствительность цены к изменению процентных ставок зависит от времени до погашения облигации и купонной ставки; величина процентного риска возрастает при увеличении времени до погашения и снижении купонной ставки. Обусловлено это тем обстоятельством, что существенная часть цены облигации формируется за счет вклада приведенного значения номинальной цены, которую инвестор получает при погашении облигации. Чем дальше от текущего момента осуществляется эта выплата, тем она больше зависит от изменения процентной ставки. Что касается величины купонной ставки, то ситуация здесь примерно аналогична предыдущему случаю. При снижении купонной ставки повышается та часть цены облигации, которая формируется за счет приведенного значения номинальной цены, что, как было показано выше, приводит к росту процентного риска.
До сих пор мы рассматривали случаи, когда до погашения облигации остается целое число лет или купонных периодов. Однако облигации могут продаваться и покупаются в любой момент времени (в начале, середине и в конце купонного периода). Допустим, облигация, о которой шла речь в примере 1, продается не за 5 лет до погашения, а за 4 года и 300 дней до срока погашения. Покупатель получит годовой процентный доход по этой облигации (при условии выплаты процентов 1 раз в год) через 300 дней после покупки облигации. Между тем в течение 65 дней облигация находилась в руках продавца, которому по праву принадлежит процентный доход за этот период, в то время как покупателю причитается доход только за 300 дней. Процентный доход покупателя и продавца за время Т определяется по формуле:
Dr = D * T/365.
где D — процентный доход за год или купонный период; Т — время, в течение которого облигация находилась в руках продавца или покупателя (в днях); Dr — процентный доход за время Т.
В нашем примере процентный доход покупателя составит:
D300 = 1200 * 300/365 = 986,3 руб.
Процентный доход продавца будет равен:
D65 = 1200 * 65/365 = 213,7 руб.
Поскольку процентный доход в размере 213,7 руб., принадлежащий продавцу, получит покупатель облигации при оплате очередного купона, то цена облигации должна быть увеличена таким образом, чтобы продавец не понес ущерба. В рассматриваемом нами случае цена (цена, вычисленная в примере 1) должна быть увеличена на 213,7 руб. и составить 8954,68 руб.
Однако это лишь приблизительный результат, так как цена в размере 850,47 руб. была получена нами при дисконтировании доходов ровно за 5 лет. Поэтому чтобы получить более точный результат, нужно продисконтировать ожидаемые доходы за тот период времени, который остается до погашения облигации с момента совершения сделки.
Определим цену облигации для нашего примера:
P = 1200/(1+0,15)300/365+ 1200/(1+0,15)1+300/365+1200/(1+0,15)2+300/365 1200/(1+0,15)3+300/365 (1200+10000)/(1+0,15)4+300/365 = 1021,83+ 930,23+808,89+703,39+ 5708,64 = 9172,98 руб.
Выше речь шла об облигациях с постоянным купоном. Однако купонные облигации могут быть как с постоянной, так и переменной купонной ставкой. Изменения характеризуются тем, что величина процентного дохода изменяется в зависимости от изменения ситуации на финансовом рынке. Стоимость таких облигаций определяется по формуле:
P= I1/(1+R1) + I2/[(1+R1)*(1+R2)] + (IN + N)/[(1+R1)*(1+R2)*..(1+Rn)],
где I1, I2, In— процентный доход i-того периода (i = 1, 2, ..., п) R1, R2, Rnтребуемая норма прибыли (ставка дисконтирования) i-того периода. При расчете цены облигации в данном случае необходимо оценить величину процентных выплат и требуемую норму прибыли для всех периодов.
Рассмотрим далее задачу определения цены бескупонной облигации. Ее можно представить как купонную облигацию с нулевым размером купонных платежей. Поскольку процентные платежи при этом равны нулю, то рассмотренная ранее формула принимает следующий вид:
P = N/(1+R)n
Пример 4. Бескупонная облигация номиналом 10000 руб. погашается по номиналу через 3 года. Определить курсовую цену облигации, если ставка дисконтирования составляет 15% годовых.
P = 10000/(1+0,15)3 = 6575,16 руб.
Рассмотренная формула может быть использована и при определении курсовой стоимости краткосрочных ценных бумаг – со сроком действия менее 1 года.
Пример 6.
Определить цену краткосрочной облигации номиналом 1000 руб., погашение через 180 дней. Требуемая норма прибыли по данному типу облигаций составляет 20% годовых.
Используя полученную выше формулу получим:
P = 1000/(1+0,2)180/365= 914,01 руб.
Однако для определения цены краткосрочных облигаций обычно используется другая формула:
P = N/(1+R*T/365)
Применяя эту формулу, получаем:
P = 1000/(1+0,2*180/365)=910,22 руб.
Чтобы установить величину различий результатов вычислений при использовании представленных двух формул, рассмотрим ряд примеров.
Пример 7.
Номинал облигации — 1000 руб. Требуемая норма прибыли — 10% годовых, погашение — через 180 дней.
Цена облигации, вычисленная по первой формуле:
P = 1000/(1+0,1)180/365= 954,08 руб.
по второй формуле:
P= 1000/(1+0,1*180/365) = 953,00 руб.
Пример 8.
Номинал облигации — 1000 руб. Требуемая норма прибыли — 20% годовых, погашение — через 300 дней.
Цена облигации, вычисленная по первой формуле:
P = 1000/(1+0,2)300/365= 860,84 руб.
по второй формуле:
P= 1000/(1+0,2*300/365) = 858,83 руб.
Пример 9.
Номинал облигации — 1000 руб. Требуемая норма прибыли — 15% годовых, погашение — через 365 дней.
Цена облигации, вычисленная по первой формуле:
P = 1000/(1+0,15)= 869,56 руб.
по второй формуле:
P= 1000/(1+0,15*365/365) = 869,56 руб.
Приведенные выше примеры показывают следующее.
1. Расхождение в оценке курсовой стоимости облигации при использовании разных формул тем меньше, чем ниже ставка дисконтирования. Так, для полугодовой облигации при ставке дисконтирования 20% расхождение составляет около 0,4% цены, а при став дисконтирования 10% — около 0,1% цены.
2. При одной и той же ставке дисконтирования расхождение в цене тем меньше, чем больше срок до погашения облигации.
3. При сроке до погашения, равном 1 году (365 дней), обе формулы дают один и тот же результат расчетной цены облигации.
Поскольку величины расхождений расчетной цены, полученной с использованием разных формул, являются весьма незначительными, то при вычислениях с краткосрочными инструментами используется первую формулу.
Доходность облигаций
Облигации приобретаются инвесторами с целью получение дохода. Для анализа эффективности вложений в разные виды облигаций, а также в другие ценные бумаги следует сопоставить величину получаемого дохода с величиной инвестиций с затратами на приобретение ценной бумаги. Различают следующие показатели доходности: купонная доходность, текущая доходность, доходность к погашению, доходность за период владения.
Купонная доходность (RК) устанавливается при выпуске облигации и для ее расчета используется следующая формула:
RК=I/N,
где I— купонный доход, N— номинальная цена облигации.
Текущая доходность (RT) определяется как отношение величины процентного дохода к цене приобретения облигации:
RT= I /P,
где I — процентный доход, Р — цена приобретения облигации.
Пример. Облигация номиналом 1000 руб. продается по цене 900 руб. процентный доход в размере 15% годовых выплачивается один раз в год. Определить купонную и текущую доходность облигации.
Купонная доходность будет равна:
RК=I/N = 150/1000 = 0,15 или 15% годовых
Текущая доходность будет равна:
RT= I /P = 150/900 = 0,167 или 16,7% годовых.
Доходность к погашению равна требуемой норме прибыли инвестора R, при которой приведенная стоимость денежных платежей по облигации равна ее рыночной стоимости. В течение срока жизни облигации происходит изменение ее рыночной цены и доходности вследствие изменения процентных ставок. Если инвестор собирается держать облигацию до погашения, то он может сопоставить все полученные по облигации доходы (процентные платежи и сумму погашения) с ценой приобретения облигации. Полученная таким способом величина называется доходностью к погашению или внутренней нормой прибыли.
Доходность к погашению можно определить методом последовательных приближений, используя полученную ранее формулу
P = I/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n,
где P – рыночная цена облигации, R – доходность к погашению, n – число периодов владения облигацией.
Метод последовательных приближений реализуется путем подстановки в данную формулу различные значения R и определения для каждого значения Rсоответствующего значения цены. Если для выбранного значения R мы получаем цену выше заданного значения цены (Р), то следует увеличить значение Rи найти новое значение Р. Если получено значение Р ниже заданной цены, то необходимо уменьшить значение R. Такие действия необходимо продолжать до тех пор, пока расчетная цена не совпадет с заданной точностью с рыночной ценой. Полученное таким образом значение Rи будет являться доходностью облигации к погашению или внутренней нормой прибыли облигации.
Пример. Номинал облигации — 1000 руб. Срок погашения облигации — через 3 года. По облигации выплачивается 15% годовых, выплата производится один раз в год. Курсовая цена облигации — 920 руб. Определить доходность облигации к погашению. В качестве первого приближения возьмем ставку дисконтирования равной 17%. Найдем цену облигации:
P = 150/0,17*[1-1/(1+0,17)3] + 1000/(1+0,17)3 = 955,81 руб.
Мы получим цену, которая выше курсовой цены облигации. Следовательно, ставка дисконтирования должна быть увеличена. Увеличим ее до 19% и найдем новое значение цены облигации:
P = 150/0,19*[1-1/(1+0,19)3] + 1000/(1+0,19)3 == 914,4 руб.
Мы получили значение цены, которое ниже курсовой цены облигации. Следовательно, чтобы получить значение цены, равное курсовой стоимости облигации ставка дисконтирования должна быть ниже 19%. Искомое значение находится между 17% и 19%. Продолжая представленные расчеты, можно найти значение доходности к погашению – 18,7%. Цена облигации в этом случае будет равна
P = 150/0,187*[1-1/(1+0,187)3] + 1000/(1+0,187)3 = 920,45 руб.
Таким образом, при ставке дисконтирования равной 18,7% текущая стоимость процентных платежей и суммы погашения облигации равна покупной цене облигации – затратам инвестора. Это означает, что доходность облигации к погашению составляет 18,7%. Использование показателя доходности к погашению позволяет инвестору решить вопрос о приемлемости инвестиций в приобретение облигации.
В реальных ситуациях для принятия того или иного решения не всегда необходимо производить точные вычисления, так как многие факторы, определяющие доходность финансовых инструментов, остаются вне контроля инвестора. В этом случае для получения приблизительного результата можно использовать следующую формулу:
R = [(N-P)/n+I]/[(N+P)/2],
где N — номинал облигации; Р— цена облигации; п — число лет до погашения облигации; I — ежегодный процентный доход. Для приведенного выше примера имеем:
R = [(1000-920)/3+150]/[(1000+920)/2] = 18,4%.
Отклонение значения доходности, полученного с помощью приближенной формулы, весьма незначительно и находится в пределах допустимой ошибки.
Бескупонная облигация
Для определения доходности бескупонной облигации (облигации с нулевым купоном) необходимо воспользоваться формулой для определения цены облигации:
P = N/(1+R)n.
После преобразований получаем следующее выражение для доходности бескупонной облигации:
R= - 1
Пример. Определить доходность бескупонной облигации номинальной стоимостью 1000 руб. Рыночная цена облигации равна 700 руб. и до погашения остается 3 года. Доходность определяется из представленного выше выражения
R= - 1 = - 1 = 0,126 или же 12,6%.
Доходность краткосрочных облигаций (сроком действия до 1 года) обычно определяется по формуле:
R = (DI/P) * (365/T)
где DI — величина дисконта; Р –цена облигации; Т — число дней до погашения облигации. Подставляя вместо D = N-Р, получаем:
R = [(N-P)/P] * (365/T) = (N/P-1)*(365/T)
Пример. Облигация номиналом 1000 руб. продается с дисконтом по цене 950 рублей. До погашения облигации остается 60 дней. Определить доходность к погашению. Используя полученное выше выражение получаем:
R = (1000/950-1)*(365/60) = 0,320 или же 32,0%
Доходность за период владения
Наряду с показателем доходности к погашению инвестор может использовать показатель доходности за период владения. Методика расчета этих двух показателей различается незначительно. Отличие заключается лишь в том, что инвестор получает не сумму погашения (номинальная облигация), а цену продажи облигации, которая может отличаться от номинала. Поэтому в приведенных выше формулах вместо номинала облигации будет фигурировать цена продажи облигации.
Пример. Инвестор приобрел облигацию номиналом 1000 руб., купонным доходом 20% и сроком погашения через пять лет за 800 руб. и продал ее через три года за 900 руб. Необходимо определить доходность за период владения. В данном случае для получения приблизительного результата можно использовать следующую формулу:
R = [(Рs-Pp)/n+I]/[(Ps+Pp)/2],
где Рs — цена продажи облигации; Pp — цена приобретения облигации; п — число лет владения облигацией; I — ежегодный процентный доход. Для приведенного выше примера имеем:
R = [(900-800)/3+200]/[(900+800)/2] = 27,45%.
Пример. Инвестор приобрел бескупонную облигацию номиналом 1000 руб. за 600 руб. и продал ее через 2 года за 800 руб. Определить доходность за период владения. В данном случае необходимо использовать следующую формулу
R= - 1
получаем:
R= - 1= 0,1547 или 15,47% годовых.
Пример. Государственная краткосрочная облигация номиналом 1000 руб. была куплена инвестором за 800 руб. и продана через 160 дней за 900 руб. Определить доход за период владения.
R = (Рs / Pp -1)*(365/T)
R = (900/800-1)*(365/160) = 0,29 или 29% годовых.