Формулы для определения численности простой случайной выборки

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Калининградский государственный технический университет»

Кубина Наталья Ефимовна,

к.э.н.,доцент

С Т А Т И С Т И К А

Методические указания с контрольными заданиями для студентов заочной формы обучения направлений подготовки: 080100.62 «Экономика»; 080200.62 «Менеджмент», 100700,62 «Торговое дело» и специальностей: 080507.65 «Менеджмент организации»; 080301.65 «Коммерция(Торговое дело)»: 080502.65 «Экономика и управление на предприятии (в АПК)»;080502.65 «Экономика и управление на предприятии (в пищевой промышленности)»; 080105.65 «Финансы и кредит»; 080109.65 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

Калининград

УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Каждый вариант контрольной работы включает 7 задач по наиболее важным разделам курса. Их выполнение предполагает изуче­ние студентами основных теоретических положений курса "Общая тео­рия статистики".

Вариант контрольной работы определяется в зависимости от на­чальной буквы фамилии студента. Номера задач, включаемых в каждый вариант, приводятся в таблице 1.

Контрольную работу необходимо представить на проверку в электронном виде и сдать после этого на кафедру УАА, в ауд. 221 М.

Таблица I.

Начальная буква Номер Номера задач

фамилии варианта

А,Д,М,Щ,Ю 1

Б,Л,Ш,У,С 2

Г,Н,0,Р,Т 3

И,Х,Ф,Ц,Х 4

Е,Ж,П,Ч К 5

В,3,Э,Я 6

3, 10, 14, 25, 33, 37 40

1,	3,	16,	13,		29,
4,		13,	23,	28,
2,		15,
6,	9,	17,	20,	24,	30,

5, 12, 18, 21, 26, 32, 38

Методические указания по выполнению задач.

Задачи 1-6 составлены по двум темам: "Группировка и сводка" и "Средние величины". Для их решения необходимо понять смысл ана­литической группировки. Из двух приведенных в условии задачи признаков один рассматривается как фактор, положенный в основание группировки, а второй - как резуль­тативный признак. Выделите группы по значению признака-фактора, определив чис­ло групп и величину интервала в них.

При решении вопроса о количестве групп нужно принимать во внимание количество единиц наблюдения и размах вариации. В предлагаемых задачах рекомендуется образовать 3-4 группы с равны­ми интервалами. Величина, интервала в этом случае определяется по формуле:

где x_max , x_min - соответственно наибольшее и наименьшее значения при­знака в изучаемой совокупности;

m — принятое число групп.

Для расчета величины интервала по этой формуле необходи­мо заранее установить число групп (при числе наблюдений более 200 используют 10 — 15 групп).

Возможен и другой способ определения величины интервала, не требующий предварительного установления числа групп. В этом случае используется формула Стерджесса:

где п — число наблюдений.

Задачи 7-15 предполагают расчет средних показателейДля их решения следует изучить, какие виды и формы средних существуют, и усвоить методы их расчета.

По видам средние величины делятся на арифметические, гармо­нические, геометрические, квадратические, хронологические; по форме - на простые и взвешенные. Вид средней и ее форма зависят от того, какими данными для расчета мы располагаем.

Ниже приводятся формулы для расчета средних величин:

средняя арифметическая простая:

п

где х_i - варианты (отдельные значения признака);

п — число единиц в совокупности.

средняя арифметическая взве­шенная:

Средняя гармоническая:

где F_i – значение произведения варианты на соответствующую ей частоту;

x_i - значения вариант.

средняя геометрическая простая

где n – число единиц в совокупности.

Для сгруппированных данных с неравными частотами приме­няется средняя геометрическая взвешенная

средняя квадратическая:

взвешенная (для сгруппированных данных):

простая (для несгруппированных данных):

средняя хронологическая:

Структурные средние: мода и медиана

Помимо перечисленных средних, в статистике используются и структурные средине: мода и медиана. Их расчет требуется произ­вести в задача:: 13-18.

Для определения моды в интервальных вариационных рядах с равными интервалами сначала находят модальный интервал, ко­торым является интервал с наибольшей частотой, а затем ведут расчет по формуле:

где x_Mo- нижняя граница модального интервала;

d - величина интервала;

f_Mo – частота модального интервала;

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Расчет медианы проводят по формуле:

:

где x_Me - нижняя граница медианного интервала;

d_Me - величина медианного интервала;

S_Me-1- сумма накопленных частот интервала, предшествующего медиан­ному;

f_Me — частота медианного интервала.

Медианный интервал - это интервал, кумулятивная (накоплен­ная) частота которого равна или превышает половину суммы частот всего вариационного ряда.

Для выполнения задач 16-18 необходимо ознакомиться с темами "Показатели вариации" и "Средние величины".

Показатели вариации имеют две формы: простые и взвешенные, и зависят от формы средней величины. Если средняя по искомому пока­зателю рассчитывается как простая, то и показатели вариации расс­читываются в форме простых, и наоборот.

Для характеристики размера вариации признака используются абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям относятся:

• размах колебаний;

• среднее линейное отклонение;

• среднее квадратическое отклонение;

• дисперсия;

Размах колебаний (размах вариации)

где х_max, x_min – соответственно максимальное и минимальное значения признака

Среднее линейное отклонение определяется по формулам:

а) для несгруппированных данных (первичного ряда)

б) для вариационного ряда

Среднее квадратическое отклонение показывает, насколько в среднем каждый из признаков отклоняется от среднего значения признака. Оно равно квадратному корню из дисперсии.

Среднее квадратическое отклонение и дисперсияопределяются так:

а) для несгруппированных данных

б) для вариационного ряда

Формула для расчета дисперсии может быть преобразована:

Формулы расчета относительных показателей вариации следующие:

коэффициент вариации

Последний показатель исчисляется в процентах и показывает, на сколько процентов в среднем каждый из признаков отклоняется "от среднего значения признака.

Для решения задач 19-24 следует изучить тему "Выборочное наблюдение", понять смысл предельной и средней ошибки выборочной средней и выборочной доли.

Границы генеральной средней определяются как :

где - генеральная средняя; х - выборочная средняя:

Δ – предельная ошибка выборочной средней, определяемая по формуле:

где

- предельная (максимально возможная) ошибка средней;

- предельная (максимально возможная) ошибка доли;

м - величина средней квадратической стандартной ошибки;

t - коэффициент кратности средней ошибки выборки, зависящий от вероятности, с которой гарантируется величина предельной ошибки.

В зависимости от принятой вероятности Р определяется зна­чение коэффициента кратности (t) по специальным таблицам доверия.

Величина средней ошибки в условиях большой выборки (n > 30) рассчитывается по известным из теории вероятностей формулам:

а) при случайной повторной выборке:

б) при случайной бесповторной выборке:

N - объем генеральной совокупности (число входящих в нее единиц);

п - объем выборочной совокупности (число единиц, попавших_в выборку);

- генеральная средняя (среднее значение признака в гене­ральной совокупности);

- выборочная средняя (среднее значение признака в выбо­рочной совокупности);

р - генеральная доля (доля единиц, обладающих данным при­знаком в генеральной совокупности);

w- выборочная доля (доля единиц, обладающих данным при­знаком в выборочной совокупности);

где t- коэффициент доверия, зависящий от того, с какой веро­ятностью определяется предельная ошибка: при вероятности 0,-954 он равен 2, при вероятности 0,997 - 3;

Доверительная вероятность является функцией от t, опреде­ляемой по формуле

Доверительныеинтервалы для генеральной доли—

Формулы для определения численности простой случайной выборки

	Способ отбора единиц
повторный	бесповторный
Численность выборки (n): для средней
для доли1
____________ 1 В случаях, когда частность w даже приблизительно неизвестна, в расчет вводят максимальную величину дисперсии доли, равную 0,25 (если w = 0,5, то w(1-w) = 0,25)

Задачи 25 - 28 предполагают проведение анализа связей между показателями. Для их решения следует усвоить тему "Статистические методы изучения взаимосвязей".

Для определения степени тесноты парной линейной зависи­мости служит линейный коэффициент корреляции(r); при любой форме зависимости (линейной и криволинейной) - эмпирическое корреляционное отношение

Для расчета линейного коэффициента корреляциипо несгруппированным данным могут быть использованы следующие фор­мулы:

Где -отклонение вариантов значений признака-фактора от их средней величины;

-отклонения вариантов значений результативного признака от их средней величины;

n – число единиц в совокупности;

у_x, у_y среднее квадратическое отклонение соответственно признака-фактора и результативного признака.

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения в пределах от -1 до +1. Чем ближе он по абсолютной вели­чине к 1, тем теснее связь. Знак при нем указывает направление связи: знак «+» соответствует прямой зависимости, знак «-» - обратной.

Если коэффициент корреляции равен нулю, то связи между признаками нет; если он равен единице (с любым знаком), то между признаками существует функциональная связь.